2025-2026学年山西省大同市第一中学校高二上学期12月学情检测数学试题 [附解析]

这是一份2025-2026学年山西省大同市第一中学校高二上学期12月学情检测数学试题 [附解析]，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知直线l的方向向量为，则l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．在数列中，若，，，则（ ）
A．2B．1C．0D．
4．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．18B．19C．20D．
5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．若数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆的左，右焦点分别为，点P为E的上顶点，点Q在E上且满足，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．南宋数学家杨辉在《解析九章算法•商功》一书中记载的三角垛､方垛､刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列结论错误的是（ ）
A．过点的直线的倾斜角为
B．若直线与直线垂直，则
C．直线与直线之间的距离是
D．已知，点在轴上，则的最小值是6
10．若数列为递增数列，则的通项公式可以为（ ）
A．B．C．D．
11．已知直线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．圆D的面积为B．l过定点
C．面积的最大值为D．
12．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．
C．的最小值为D．的最小值为
三、填空题
13．若直线与直线平行，则 ．
14．圆与圆的公共弦的长为 ．
15．已知数满足，则数列的通项公式 ．
16．已知分别是双曲线的左右焦点，过的直线l与C只有一个公共点P，且，则C的离心率为 ．
四、解答题
17．已知数列中，，是数列的前项和，且对任意，有（为常数）．
(1)当时，求、的值；
(2)试判断数列是否为等比数列？请说明理由．
18．记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
19．已知动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，设动点P的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)已知过点的直线l交E于A，B两点，且（O为坐标原点）的面积为32，求l的方程．
20．已知等差数列满足，，等比数列是首项为的递增数列，且.
(1)求数列与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
21．已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程．
22．已知椭圆的短轴长，离心率为．
(1)求C的标准方程：
(2)过点的直线与C交于P，Q两点，P关于x轴对称的点为R，求面积的最大值．
答案
1．D
【详解】解：由，得，
所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，
所以，，
所以焦点坐标为，
故选：D
2．B
【详解】直线的一个方向向量为，则直线斜率为，
所以直线的倾斜角为.
故选：B.
3．D
【详解】在数列中，，则，
因此数列数列的周期为3，所以.
故选：D
4．C
【详解】由题意，
所以.
故选：C.
5．C
【详解】解：因为双曲线的离心率为，
所以，解得，
且焦点在x轴上，
所以其渐近线方程为，
故选：C
6．B
【详解】因为数列的前项和，
当时，，
当时，，
也满足，所以，对任意的，，
所以，，
，
故选：B.
7．A
【详解】由题意,其中.
设，由，得，即，
代入椭圆得，解得离心率.
故选：A
8．D
【详解】由题意可得，，，，，
于是有，
所以，，，
，，，
将以上个式子相加，得，
所以，
所以
.
故选：D.
9．ABCD
【详解】选项A： 过点、的直线斜率，倾斜角满足，
而，A选项错误.
选项B： 直线垂直的条件为斜率乘积为. 直线的斜率为，
直线的斜率为，故，解得，B选项错误.
选项C： 将直线化为，
两平行直线距离为，C选项错误.
选项D： 取关于轴的对称点，
的最小值为，D选项错误.
故选：ABCD
10．ABD
【详解】对于A：，
所以，所以为递增数列，故A正确；
对于B：，所以，所以为递增数列，故B正确；
对于C：因为，则，，所以不单调，故C错误；
对于D：，所以，所以为递增数列，故D正确；
故选：ABD
11．ABD
【详解】对于A：圆即的圆心为，
半径，故圆D的面积为，正确；
对于B：将直线整理为：，
令，解得，即直线过定点，正确；
对于C：定点到圆心的距离，
设点到直线的距离为，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的面积的最大值为，错误；
对于D：当直线与垂直时，弦的长度最小，
当直线过圆心时，弦的长度最大，
所以可得，正确.
故选：ABD
12．ACD
【详解】由，得，即，
由，得，即，所以.
A：由，可知，故A正确；
B：由，可知数列的公差，故B错误；
C：，由知随的增大而增大，
则，所以的最小值为，故C正确；
D：当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以当时，；当时，；当时，，
又，，
所以，，
所以，即，
所以的最小值为，故D正确；
故选：ACD
13．
【详解】因为直线与直线平行，则，解得.
故答案为.
14．
【详解】由，得，
即两圆公共弦所在直线的方程为，
圆，圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
所以公共弦长为.
故
15．
【详解】由可得：，又,
，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
故
16．
【详解】由题意可知：，
若过的直线l与C只有一个公共点P，可知直线l与双曲线C的一条渐近线平行，
且，可知为锐角，
不妨设直线l的斜率，即，
联立，解得，
且，可得，
又因为，即，可得，
所以C的离心率为.
故答案为.
17．(1)，；
(2)当时，不是等比数列；当时，是等比数列．
【详解】（1）由题意可得，，.
（2）当时，.
由，两式相减得.
当时，不是等比数列；
当时，可得，,当时,,,所以,故对任意的都有，此时数列是等比数列.
综上，当时，不是等比数列；当时，是等比数列．
18．(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述.
19．(1)；
(2)或．
【详解】（1）因为动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，
所以动点P到直线的距离和到点距离相等，
故曲线E是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线E的方程为．
（2）设，
易知直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为，
联立，消去x得，，
所以，
，
解得，
所以直线l的方程为或．
20．(1)，
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因，，则，得，
所以，
所以，即，解得或，
因数列为单调递增的等比数列，所以数列的公比为，即.
所以，
则数列的通项公式为，的通项公式为.
（2）由（1）知，
所以，
所以，
两式相减得
，
所以.
21．(1)
(2)，或
【详解】（1）由点到直线的距离公式可知：
右焦点到渐近线的距离为，
又双曲线C过点，所以，解得，
所以双曲线C的方程为；
（2）由（1）可知：右焦点坐标为，
当直线的斜率不存在时，，，满足题意；
当直线的斜率存在时，
设，联立
消去y得：，
所以，
设，则，
所以
．
则，解得，即，满足；
所以直线的方程为 ，或．
22．(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，解得，
所以C的标准方程为．
（2）
由题意直线斜率存在且不为0，设直线的方程为，，
联立消去y得，，
则，又，
所以，，
所以
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为．