2025-2026学年河北省承德市高新区第一中学高二上学期第（12月）月考数学试题 [附解析]

这是一份2025-2026学年河北省承德市高新区第一中学高二上学期第（12月）月考数学试题 [附解析]，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a4等于（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 9
2.过点(−1,3)且平行于直线x−2y+3=0的直线方程为（ ）
A. x−2y+7=0 B. 2x+y−1=0 C. x−2y−5=0 D. 2x+y−5=0
3.若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D. 且
4.已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=2x，则E的离心率是（ ）
A. 52 B. 52 C. 5 D. 5
5.已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A. B. 1C. D. 3
6.定义数列{4n+1}，{5n+3}的公共项组成的新数列为{an}，则数列{an}的第101项为（ ）
A. 2025 B. 2021 C. 2017 D. 2013
7.已知抛物线C: y2=2px（p>0）的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若△AFB是边长为6的等边三角形，则p的值是（ ）
A. 3 B. 33 C. 6 D. 63
8.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为直线x=32a上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A. 33 B. 12 C. 32 D. 34
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则圆和圆相离
B. 若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是
C. 若圆和圆外切，则或
D. 若圆和圆内切，则
10.已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列的首项为1B. C. D. 数列的公比为
11.已知椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆C的离心率为32
B. 满足条件PF1⊥PF2的点P有两个
C. 以A1，A2为焦点，以F1，F2为顶点的双曲线的渐近线方程为y=±33x
D. △PF1F2的内切圆面积的最大值为(21−123)π
三、填空题（本大题共3小题，共15分
12.若数列的通项公式为，，数列的前30项和___________.
13.已知曲线与直线有且仅有一个公共点，那么实数的取值范围是______.
14.设点P是曲线x2=4y上一点，则点P到直线l:3x+4y+6=0最小的距离为_________________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本题13分）在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积是.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若点的轨迹与直线相交于两个不同的点，线段的中点为.若直线的斜率为 ，求线段的长.
16.（本题15分）已知{an}为等差数列，公差d=12，且a1,a3,a9成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn=1an，求数列{bnbn+1}的前n项和为Sn．
17.（本题15分）已知直线，直线平分圆．
（1）若，直线与圆交于，两点，求的周长；
（2）若直线过定点，过点作圆的切线，求定点的坐标及切线方程．
18. （本题17分）已知抛物线的焦点为F，P是C上一点，线段PF的中点为．
（1）求C的方程；
（2）若，O为原点，点M，N在C上，且直线OM，ON的斜率之积为2024，求证：直线MN过定点．
19. （本题17分）已知公差大于0的等差数列{an}和公比大于0的等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2b3=1，a6b5=1．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和．
答案：
1. Ca4=1+3×2=7.
故选C.
2. A依题可设所求直线方程为x−2y+c=0（c≠3）.
将点(−1,3)代入方程得−1−2×3+c=0.
解得c=7，所以直线方程是x−2y+7=0.
故A.
3. D方程x2m+y24−m=1表示椭圆，
则需满足m>04−m>0m≠4−m.
解得00)，左右焦点F1,F2，P在x=32a上，
△F2PF1是底角为30∘的等腰三角形，则|PF2|=|F1F2|=2c.
设直线x=32a与x轴交点为E，∠PF1F2=∠F1PF2=30∘，
则∠PF2E=60∘，∠F2PE=30∘.
在Rt△PF2E中，|PF2|=2|F2E|，|F2E|=32a−c，所以2c=2(32a−c).
化简得3a=4c，根据离心率公式e=ca，
可得e=34.
故选：D．
二、多选题
9. BCD对于圆：，其圆心，半径；
对于圆：，其圆心，半径.
对于A选项，当时，，，则，
因为，故两圆相交，故A错误；
对于B选项，当时，两圆相交，且圆为：，
故公共弦所在直线方程为：，即，故B正确；
对于C选项，两圆圆心距为，由两圆外切，得，解得故C正确；
对于D选项，由两圆内切，得，解得，故D正确.
故选：BCD.
10. BCD设的公差为，的公比为.
对于A，在等差数列中；由，所以，整理可得，，所以不确定，故错误；
对于B，由A可知，在等差数列中有，故B正确；
对于C，在等比数列中，，因为，因为，；所以，故C正确；
对于D，由C项知，，所以，故D正确.
故选：BCD.
11. ACDA选项：椭圆C:x24+y2=1，a=2，b=1，c=a2−b2=3，
离心率e=ca=32，A正确，
B选项:F1(−3，0)，F2(3，0)，设P(x，y)，
由PF1→⋅PF2→=0得(x+3)(x−3)+y2=0，
又x24+y2=1，
所以x=±263，y=±33，
点P有4个，B错误，
C选项:A1(−2，0)，A2(2，0)，F1(−3，0)，F2(3，0)，
双曲线中a1=3，c1=2，b1=1，
渐近线方程y=±b1a1x=±33x，C正确，
D选项:△PF1F2周长C=2a+2c=4+23，
当P为上顶点(0，1)时，S△PF1F2最大为12×2c×b=3，
内切圆半径r=2S△PF1F2C，
rmax=234+23，
内切圆面积最大值πrmax2=(21−123)π，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12. 因为an=n，
所以bn=1nn+1=1n−1n+1.
T30=b1+b2+⋯+b30=1−12+12−13+⋯+130−131=1−131=3031.
13. 直线恒过点.
由，表示以为圆心，为半径的上半圆，

当直线与半圆相切于时，圆心到直线的距离等于半径；因为直线方程可化为： ，
所以，
当直线过点时，，此时直线与曲线有两个公共点，
当直线过点时，直线斜率不存在，此时直线与曲线有一个公共点，
综上得，实数的取值范围是.
14. 34因为点P在曲线x2=4y上，设P(t,t24).
则点P到直线l:3x+4y+6=0的距离d=|3t+4×t24+6|32+42=|t2+3t+6|5=|(t+32)2+154|5.
因为(t+32)2⩾0，所以(t+32)2+154⩾154，
当t=−32时，d取得最小值1545=34.
四、解答题
15. 解：（1）设,由直线斜率之积是得
，即动点的轨迹方程为
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，故,
由线段的中点得Mx1+x22,y1+y22，
由斜率公式得,则,
得,故,
因为,故,
所以直线的方程为,
由,得或,
所以.
16. 解：（1）已知{an}是等差数列，公差d=12，
得a3=a1+2×12=a1+1；
a9=a1+8d=a1+8×12=a1+4，
因为a1，a3，a9成等比数列，
所以a1a9=a32，即a1(a1+4)=(a1+1)2，
解得a1=12，
所以an=a1+(n−1)d=12+(n−1)×12=1+n−12=n2，
即数列{an}的通项公式为an=n2.
（2）由（1）知an=n2，
则bn=1an=2n，
所以bnbn+1=2n×2n+1=4n(n+1)=4(1n−1n+1)，
那么数列{bnbn+1}的前n项和Sn为：
Sn=b1b2+b2b3+⋯+bnbn+1=4(1−12)+4(12−13)+⋯+4(1n−1n+1)=4[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)]=4(1−1n+1)=4nn+1.
17. 解：（1）当k=1时，直线l：x−y+2=0.
因为直线m：x−y=0平分圆C：(x−2)2+(y−t)2=4，所以圆心C(2,t)在直线m上，即2−t=0，得t=2，则圆心C(2,2)，半径r=2.
根据点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0距离公式d=|Ax0+By0+C|A2+B2，圆心C(2,2)到直线l的距离d=|2−2+2|12+(−1)2=2.
由垂径定理，弦长|AB|=2r2−d2=222−(2)2=22.
所以△ABC的周长为2r+|AB|=4+22.
（2）直线l：kx−y−4k+6=0，变形为(x−4)k−y+6=0.
令x−4=0−y+6=0，解得x=4y=6，所以定点M(4,6).
切线斜率不存在时：直线方程为x=4，圆心C(2,2)到直线x=4的距离为4−2=2=r，所以x=4是圆C的切线.
切线斜率存在时：设切线方程为y−6=k(x−4)，即kx−y−4k+6=0.
根据圆心到切线距离等于半径，由点到直线距离公式得|2k−2−4k+6|k2+1=2，即|−2k+4|=2k2+1，两边平方得4k2−16k+16=4k2+4，解得k=34.
切线方程为y−6=34(x−4)，即3x−4y+12=0.
综上，切线方程为x=4或3x−4y+12=0.
18. （1）解：抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F(p2,0)，
设P(x0,y0)，由线段PF中点为Q(52,2)，
则根据中点坐标公式x0+p22=52，y0+02=2，
可得x0=5−p2，y0=4．
将其代入C方程y2=2px，
得16=2p(5−p2)，即p2−10p+16=0，
解得p=2或p=8，
所以C的方程为y2=4x或y2=16x．
（2）证明：因为p0)，等比数列{bn}的公比为q(q>0).
可得{a2b3=(1+d)q2=1①a6b5=(1+5d)q4=1②
将①式两边平方得(1+d)2q4=1 ③，
用③除以②式：(1+d)2q4(1+5d)q4=1，即d(d−3)=0，
解得d=0或d=3，
因为d>0，所以舍去d=0.
把d=3代入①式：(1+3)q2=1，即4q2=1，
又q>0，解得q=12.
所以an=1+3(n−1)=3n−2，bn=(12)n−1.
（2）记数列{anbn}的前n项和为Sn，
则Sn=1×(12)0+4×(12)1+⋯+(3n−2)×(12)n−1 ④
12Sn=1×(12)1+4×(12)2+⋯+(3n−2)×(12)n ⑤
④−⑤得(1−12)Sn=1+3×(12)1+3×(12)2+⋯+3×(12)n−1−(3n−2)×(12)n，
即12Sn=1+3×(1−12n−1)−(3n−2)×(12)n=4−3n+42n，
所以Sn=8−3n+42n−1.