2025-2026学年甘肃省张掖市部分学校高二上学期12月联考数学试题 [附解析]

这是一份2025-2026学年甘肃省张掖市部分学校高二上学期12月联考数学试题 [附解析]，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．设数列的前n项和为,若,且的等差中项为）,则( )
A.4B.8C.10D.12
2．直线的倾斜角为( )
A.B.0C.D.
3．已知数列,,,3,,…,则是这个数列的第_____项( )
A.10B.11C.12D.13
4．直线与两坐标轴所围成三角形的面积为( )
A.B.C.3D.6
5．“”是“直线与直线互相垂直”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．已知等比数列的前n项和为，若，则( )
A.4B.2C.D.
7．已知双曲线的渐近线方程为,实轴长为4,则该双曲线的标准方程为( )
A.B.或
C.D.或
8．双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率为( )
A.B.3C.D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．
9．已知数列的前n项和为，，且，则( )
A.
B.“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件
C.若为单调递增数列，则
D.若，则数列的前n（n为奇数）项和为
10．下列说法正确的有( ).
A.直线过定点
B.过点且斜率为的直线的点斜式方程为
C.斜率为,在y轴上的截距为3的直线方程为
D.经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为
11．当m变化时,方程表示的曲线形状,下列说法中正确的是( )
A.时,方程表示一条直线
B.或是方程表示双曲线的充要条件
C.时,方程表示椭圆
D.该方程不可能表示抛物线
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设等差数列的前n项和为,若,,则________.
13．已知双曲线的半焦距为c，直线l过点且与E的一条渐近线平行，若原点到l的距离为，则E的离心率为________.
14．已知的顶点,高所在直线方程为,角B的平分线所在直线方程为，则边所在直线方程________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．
15．（13分）已知是等差数列,公差,,且是与的等比中项.
（1）求的通项公式
（2）数列满足,且.
（ⅰ）求的前n项和.
（ⅱ）是否存在正整数m,n（）,使得,,成等差数列,若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
16．（15分）已知半径为的圆C的圆心在y轴的正半轴上,且直线与圆C相切.
(1)求圆C的标准方程.
(2)已知,P为圆C上任意一点,试问在y 轴上是否存在定点B（异于点A）,使得为定值？若存在,求点B的坐标；若不存在,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,若点,试求 的最小值.
17．（15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，的周长为，面积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线与椭圆C交于P，Q两点，若，求直线l的方程.
18．（17分）已知正项数列的前n项积为,且满足.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)令,求数列的前n项和.
19．（17分）已知点,动点Q在直线上,过Q且垂直于y轴的直线与线段的垂直平分线交于点P,记点P的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程.
（2）已知经过点的直线l与C交于A,B两点.
①求A,B纵坐标的乘积;
②若的面积为,求l的斜率.
甘肃省张掖市部分学校2025-2026学年12月联考
高二数学答案
1．答案：D
解析：因为,
当时,,得,
当时,,
所以,则,
所以,又,
所以,所以是等差数列.
因为,所以.
故选:D
2．答案：B
解析：直线为平行于x轴的直线,
所以倾斜角为0.
故选：B.
3．答案：A
解析：由题意可知,被开方数是首项为3,公差为2的等差数列,
则该数列的通项公式为,令,解得,故A正确.
故选：A.
4．答案：D
解析：令,则；令,则；
所以两坐标轴所围成三角形的面积为.
故选：D.
5．答案：A
解析：“直线与直线互相垂直”的充要条件为:或.
因为“”是“或”的充分不必要条件,
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.
故选:A
6．答案：C
解析：设等比数列的首项为，公比为q.
当时，，不满足，舍去；
当时，，
所以，
所以，解得.所以.
故选：C.
7．答案：B
解析：当双曲线焦点在x轴上时,设双曲线方程为,
则渐近线方程为,实轴长为,
由题意得,,解得,
则该双曲线的标准方程为.
当双曲线焦点在y轴上时,设双曲线方程为,
则渐近线方程为,实轴长为,
由题意得,,解得,
则该双曲线的标准方程为.
综上,该双曲线的标准方程为或.
故选:B.
8．答案：A
解析：易知双曲线的渐近线方程为,
点在上,代入可得,
所以离心率为.
故选:A
9．答案：ACD
解析：因为，所以当时，，
因为，所以，
又因为，所以，所以选项A正确；
因为①，
当时，②，
①-②得：，
因为，所以，
所以数列奇数项与偶数项分别成等差数列.
若，又，因为，
所以数列的奇数项以1为首项，2为公差的等差数列，
即，
列的偶数项以2为首项，2为公差的等差数列，
即，
所以有，所以数列是等差数列；
若数列是等差数列，则有，所以有，
因此“”是“数列为等差数列”的充要条件，所以B错误；
若数列为单调递增数列，对于任意，都有，
当n为偶数时，，
当n为奇数时，，
解得，所以C正确；
若，当n为奇数时，，故；
当n为偶数时，，故，
则当n为奇数时，，
所以
，
即当n为奇数时，的前n项和为，所以D正确，
故选：ACD
10．答案：AB
解析：对于A,直线恒过定点,A正确；
对于B,过点且斜率为的直线的点斜式方程为,B正确；
对于C,斜率为,在y轴上的截距为3的直线方程为,C错误；
对于D,经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线过原点时,方程为,
当该直线不过原点时,方程为,D错误.
故选：AB.
11．答案：ABD
解析：对于A:当时方程为,所以此时曲线为直线,此时图像是一条直线,A正确;
对于B:方程可以化为,
当时方程为,表示焦点在x轴上的双曲线,
当时方程为,表示焦点在y轴上的双曲线,所以是充分条件;
若方程表示双曲线,则或,解得或者,所以是必要条件,
所以是充要条件,B正确;
对于C:方程可以化为,当时方程为,此时曲线为圆,C错误;
对于D:因为方程可以化为,所以不可能是抛物线,D正确,
故选:ABD
12．答案：50
解析：利用等差数列中的等差中项性质可知:,
由等差数列的通项公式可得:,
所以,
则,
故答案为:50
13．答案：
解析：易知双曲线渐近线方程为：，
故可设l方程为：，即，
由题意可得：，
所以，即，
化简可得：，
可得：或
又，所以，
所以，可得，
故
14．答案.
解析：的顶点,高所在直线方程为,
角B的平分线所在直线方程为,
直线的斜率,
直线的方程为:,即,
联立,得,
B点坐标为;
,,角B的平分线所在直线方程为,
,
,解得或（舍）,
直线的方程为:,即.
故答案为:.
15．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）因为为等差数列,且,所以.
又是与的等比中项,所以,即.
化简得,解得或（舍）,
所以.
（2）（i）由,得,所以（）,又,
当时,
,
又也适合上式,所以,
则,
所以.
（ⅱ）假设存在正整数m,n,使得,,成等差数列,
则,即,整理得,
显然是25的正约数,又,则或,
当,即时,与矛盾;
当,即时,,符合题意,
所以存在正整数使得,,成等差数列,此时,.
16．答案：(1)
(2)存在,
(3)5
解析：(1)由题意设圆心坐标为,则圆C的方程为,
因为直线与圆C相切,
所以点到直线的距离,
因为,所以,
故圆C的标准方程为；
(2)假设存在定点B,设,
设,则,
则,
当,即舍去）时,为定值,且定值为,
故存在定点B使得为定值,B的坐标为；
(3)由(2)知,故,从而,
当且仅当P、B、D三点共线时,最小,
且.
所以的最小值为5.
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设O为坐标原点，由题意得，，，，，
因为的周长为，面积为，
所以，，
又因为，所以，，，故椭圆C的方程为.
（2）由题意得，直线l的斜率存在，设l的方程为，，，，，
由得，
则，
即，
所以，，
因为，，
所以，
，
因为，
所以，解得，
所以直线l的方程为或.
18．答案：(1)证明见详解
(2)
解析：(1)证明：当时,,又,,所以,
当时,,又,所以,即,
所以数列是首项为3,公差为2的等差数列.
(2)由(1)知数列是首项为3,公差为2的等差数列,
则,,
,
所以数列的前n项和.
19．答案：（1）;
（2）①;
②.
解析：（1）由题意,得P到的距离等于P到直线的距离,
所以C是以F为焦点,直线为准线的抛物线,故C的方程为;
（2）①易得l的斜率不为0,设,,,
由,得,得,故A,B纵坐标的乘积为.
②由,
所以,则,故l的斜率为.