2025-2026学年广西部分学校高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年广西部分学校高二（上）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列{an}为等差数列，首项a1=3，公差d=2，则a3的值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
2.椭圆x2100+y236=1的短轴长为( )
A. 6B. 10C. 12D. 20
3.已知a=(1,0,1)，则|a|=( )
A. 3B. 2C. 3D. 2
4.双曲线y24−x2=1的顶点坐标是( )
A. (−1,0)，(1,0)B. (−2,0)，(2,0)C. (0,−1)，(0,1)D. (0,−2)，(0,2)
5.已知数列{an}为等比数列，首项a1=3，公比q=2，前n项和Sn=189，则n=( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
6.已知直线l：x−y+1=0，圆O：x2+y2=1，则直线l与圆O的位置关系是( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定
7.在平面ABC中，AB=(−1,1,1)，BC=(−1,1,0)，则平面ABC的一个法向量n=( )
A. (1,1,1)B. (1,1,0)C. (0,1,1)D. (1,0,1)
8.已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=16，直线l：mx+y−m−3=0，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为( )
A. 2 11B. 2 10C. 2 7D. 2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若AB=a，AD=b，AA1=c，则下列式子正确的是( )
A. AC1=a+b+c
B. AD1=a+b
C. AC=a+b−c
D. A1M=12a+12b−c
10.已知椭圆C：x29+y28=1的两个焦点为F1，F2，P为C上不与F1，F2共线的点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的焦距为1B. 椭圆的离心率为13
C. △PF1F2的周长为8D. |PF1|⋅|PF2|的最大值为9
11.已知数列{an}满足an=−2n+32，其前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. 数列{an}是单调递减数列B. Sn中的最大项只有S15
C. a1+a3+a5+…+a13a2+a4+a6+⋯+a12=76D. |a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=450
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1,−2)，则抛物线的标准方程为 ．
13.已知数列{an}前n项和Sn=n2+2n，则数列{an}的通项公式为 ．
14.点A(1,2,1)，B(3,3,2)，C(λ+1,4,3)，若AB,AC的夹角为锐角，则λ的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l1：2x+y−2=0，l2：mx+(2m−1)y+1=0，其中m为实数．
(1)当l1//l2，求实数m的值．
(2)当m=1时，求过直线l1，l2的交点，且垂直于直线x−3y+4=0的直线方程．
16.(本小题15分)
已知等差数列{an}的公差d≠0，若a3=5，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；
(2)令bn=2an⋅an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=1，AC=2，AA1= 6．
(1)求证：AB⊥平面BCC1B1；
(2)求直线BA1与平面A1B1C所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求该圆弧所在圆的方程．
(2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有刚蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？(将汽车看作长方体)
参考数据： 7≈2.65
19.(本小题17分)
已知点A( 2,1)是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，且椭圆的长轴长是短轴长的 2倍.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆C上，点A关于坐标原点的对称点为点B，直线AP和BP的斜率都存在且不为0，试问直线AP和BP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；
(3)斜率为 22的直线l交椭圆C于M，N两点，求△AMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：首项a1=3，公差d=2，则a3=a1+2d=3+4=7．
故选：D．
结合等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：椭圆x2100+y236=1，
则b2=36，解得b=6，故短轴长为2b=12．
故选：C．
利用椭圆方程直接求解即可．
本题主要考查椭圆的性质，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，已知a=(1,0,1)，则|a|= 12+02+12= 2．
故选：D．
由空间向量模长的坐标公式直接计算即可．
本题考查空间向量模的计算，涉及空间向量的坐标，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由双曲线方程y24−x2=1可知：
顶点在y轴上，且a2=4，即a=2，
则顶点坐标为(0,−2)，(0,2)．
故选：D．
利用双曲线方程直接求解即可．
本题主要考查双曲线的顶点，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵数列{an}为等比数列，首项a1=3，公比q=2，前n项和Sn=189，
∴由等比数列的前n项和公式得：
Sn=a1(1−qn)1−q=3[1−2n]1−2=189，整理得2n=64，
解得n=6．
故选：C．
根据等比数列求和公式直接计算即可．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意得圆O的圆心是(0,0)，半径r=1．
圆心O到直线l的距离d=|0−0+1| 2= 2216时，an0，且不能同向共线，解出即可得出．
【解答】
解：AB=(2,1,1)，AC=(λ,2,2)，
∵AB,AC的夹角为锐角，
∴AB⋅AC=2λ+2+2>0，且不能同向共线，
解得λ>−2，λ≠4．
则λ的取值范围为(−2,4)∪(4,+∞)．
故答案为(−2,4)∪(4,+∞)．
15.【答案】m=23 3x+y−5=0
【解析】解：(1)直线l1：2x+y−2=0，l2：mx+(2m−1)y+1=0
因为l1//l2，可得2(2m−1)=m且1≠−2(2m−1)，
解得m=23；
(2)当m=1时，直线l2的方程为：x+y+1=0，
联立2x+y−2=0x+y+1=0，解得x=3y=−4，
可得两条直线的交点P(3,−4)，
又因为所求直线垂直于x−3y+4=0，设所求直线的方程为3x+y+a=0，
将P(3,−4)代入可得3×3−4+a=0，解得a=−5，
即直线方程3x+y−5=0．
(1)根据两直线平行，列出关于m的方程，即可求得答案；
(2)解方程组求出直线l1，l2的交点，再根据直线的垂直关系，利用直线的点斜式，即可求得答案．
本题考查两条直线平行，垂直的充要条件的应用及两条直线的交点坐标的求法，属于基础题．
16.【答案】an=2n−1；Sn=n2 2n2n+1
【解析】解：(1)依题意有a3=5a1⋅a5=a22，a1+2d=5a1(a1+4d)=(a1+d)2，又d≠0，
解得a1=1d=2，
所以an=1+(n−1)×2=2n−1．Sn=n(1+2n−1)2=n2；
(2)bn=2an⋅an+1=2(2n−1)(2n+1)=1(2n−1)−1(2n+1)，
所以Tn=b1+b2+⋯+bn=(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)
=1−12n+1=2n2n+1．
(1)根据等差数列的通项公式求和公式，即可求解；
(2)根据裂项求和法，即可求解．
本题考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，裂项求和法的应用，属中档题．
17.【答案】证明：由题意得AB⊥BC
又BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴AB⊥BB1，
又∵BB1∩BC=B，
∴AB⊥平面BCC1B1 4221
【解析】解：(1)证明：由题意得AB⊥BC
又BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴AB⊥BB1，
又∵BB1∩BC=B，
∴AB⊥平面BCC1B1；
(2)如图所示建立空间直角坐标系B−xyz，
则B(0,0,0)，A1(0, 3, 6)，B1(0,0, 6)，C(1,0,0)，
A1B1=(0,− 3,0)，B1C=(1,0,− 6)，BA1=(0, 3, 6)，
设平面A1B1C的法向量为n2=(x2,y2,z2)，
∴n2⋅A1B1=0n2⋅B1C=0，即− 3y=0x− 6z=0，
令z=1，得n2=( 6,0,1)，
设直线BA1与平面A1B1C所成角为θ，
sinθ=|cs|=|BA1⋅n2|BA1|⋅|n2||=| 63× 7|= 4221，
∴.直线BA1与平面A1B1C所成角的正弦值为 4221．
(1)利用线面垂直的判定定理即可得证；
(2)建立空间直角坐标系B−xyz，求出平面A1B1C的法向量，利用向量夹角公式求解即可．
本题考查线面垂直的判定，以及向量法求线面角，属于中档题．
18.【答案】圆弧所在的圆的方程为x2+(y+6)2=100 该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车
【解析】解：(1)由圆的对称性可知，该圆弧所在的圆的圆心在y轴上．
设圆心为(0,b)，该圆的半径为r米，则r2=82+(r−4)2，
∴r=10，∴b=−(10−4)=−6，
∴圆弧所在的圆的方程为x2+(y+6)2=100；
(2)设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，
∴(d2)2+(6+1.5)2=102，
∴d=5 7．
若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度应为5×2.5+4×0.5=14.5>5 7，
故该隧道不能并排通过5辆该种汽车；
若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度应为54×2.5+3×0.5=11.5b>0)上的一点，
且椭圆的长轴长是短轴长的 2倍，
所以a= 2b2a2+1b2=1，
解得a=2b= 2，
所以椭圆C的方程为x24+y22=1．
(2)是定值．理由如下：
由题意得点B坐标为(− 2,−1)，
设P(x,y)，因为P在椭圆C上，
所以y2=2(1−x24)=2−x22，
因为直线AP和BP的斜率都存在且不为0，
则kAP=y−1x− 2，kBP=y+1x+ 2，
所以kAP⋅kBP=y−1x− 2⋅y+1x+ 2=y2−1x2−2=(2−x22)−1x2−2=1−x22x2−2=−12，
所以直线AP和BP的斜率之积是为−12．
(3)如图，
设直线l的方程为y= 22x+t，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由y= 22x+tx24+y22=1，
得x2+ 2tx+t2−2=0，
所以Δ=2t2−4(t2−2)=2(4−t2)>0，则−2