湖南省衡阳市2026届高三上学期一模数学试卷（Word版附解析）

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法、指数函数的单调性，结合交集的定义进行求解即可.
【详解】由，
所以，
由，
所以，
故.
故选：C
2. 在复平面内，对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数乘方及除法求出复数，再求出对应点的坐标作答.
【详解】，由复数的几何意义可知对应的点位于第四象限.
故选：D.
3. 若一个等差数列的第4项为5，前5项和为15，则该数列的首项为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列的性质与前n项和性质计算即可.
【详解】记数列为，前项和为，则，得，公差，
所以.
故选：A
4. 已知函数的定义域为，设甲：，乙：是偶函数，则甲是乙的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由偶函数的定义，以及充要条件的概念即可判断.
【详解】对任意，若，则，所以是偶函数，即甲能推出乙.
反之，若是偶函数，则，
当时，，有，
当时，，有，
综上，对任意恒成立，故乙能推出甲.
则甲是乙的充要条件.
故选：A.
5. 已知抛物线的焦点为，是上的动点，点，则的最小值为（ ）
A. 841B. 2026C. 2027D. 4111
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的定义计算即可.
【详解】注意到，故在内，过点作的准线的垂线，垂足为，
过点作的准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义知，当且仅当点在线段上时等号成立.
故选：C.
6. 已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱的体积，若三者的体积之和为，则圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设三者半径均为，根据圆锥、圆柱、球的体积公式结合题设可求得，再求得圆锥的高、母线长，进而根据圆锥的侧面积公式求解即可.
【详解】不妨设三者半径均为，由题意知圆柱的高为，故其体积为，
故圆锥的体积为，而球的体积为，
故，解得，
记圆锥的高为，由，得，
故圆锥的母线长，
于是圆锥的侧面积.
故选：D
7. 已知函数，记的非零极值点为，则取最大值时，（ ）
A 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】求导，令，得出，设，再求导分析单调性，则可得的最大值，以及此时的值.
【详解】，
令，得或，则.
设，，则，
当时， ，单调递增，
当时， ，单调递减，
由的单调性可知，当为整数时，最大值在或处取得，
又，
故.
故选：B.
8. 设是两个随机事件，已知，，，记，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用相互独立事件的概率与条件概率计算即可.
【详解】由已知得，
注意到，所以相互独立，
故，
，
又因为，故，
所以.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 在菱形中，，点满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据数量积的定义结合可判断A；由题意判断出的位置，利用反证的思想可判断B；根据向量线性运算可判断C；根据数量积的运算律可判断D.
【详解】对于A，在菱形中，由，
得，所以，故A正确；
对于B，由得是的中点，由，知是上靠近点的三等分点，
若，则F为的中点，与是的三等分点矛盾，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，
,故D错误,
故选 ；AC
10. 已知，且，，成等比数列，则（ ）
A.
B.
C. 不可能成等比数列
D. 可能成等比数列
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据等比数列的定义得，结合指数对数运算、基本不等式即可判断AB，对C假设成等比数列，得到矛盾点即可；对D，根据等比数列定义得到方程，解出即可.
【详解】设，则，
由题意知，且.
对于A，由基本不等式得，所以，
所以，即，故A错误；
对于B，由A知，故B正确；
对于C，若成等比数列，
则，得，
又，可得，与矛盾，故不可能成等比数列，故C正确；
对于D，若成等比数列，
则，得，
可得，取，符合条件，故D正确.
故选：BCD
11. 已知函数，，都是奇函数，是偶函数.当时，，则（ ）
A.
B 对任意，
C. 当且仅当，
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性、对称性可判断A；构造函数，根据奇偶性、对称性可判断B；构造，由对称性、周期性画出函数图像可判断C；根据对称性、周期性，以及与的值域可判断D.
【详解】对于A，由是奇函数可得，
可知曲线关于对称，
又是奇函数，关于对称，
可知对于任意整数，关于对称，
于是，故A正确；
对于B，由A,成立，
构造，
由于是偶函数，则是偶函数，
则关于对称，
由于是奇函数，是奇函数，则是奇函数，
则，，
即周期为4，
而，，，，
则，故B正确；
对于C，令，则为奇函数，
，
关于对称，则周期为4，
当时，
在一个周期内画出和图像，

则可得即，当且仅当或，，
故C错误；
对于D，当时，，
则在上，，，
则，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量服从正态分布，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据正态分布的性质求得，进而求解即可.
【详解】由，则，
因为，而，所以，
则.
故答案为：.
13. 已知，函数在区间上单调递增，则的最大值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】利用辅助角公式将化成，由在区间上单调递增，利用正弦函数的图象与性质可得，从而得到的最大值.
【详解】，
，，
，，的最大值为.
故答案为：.
14. 若对任意，点总在一个椭圆上运动，则该椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】运用三角恒等变换，确定点横纵坐标之间的关系，得到点在椭圆上，再由该曲线方程的特点可知椭圆的对称中心为原点，故长轴短轴均经过原点，再将椭圆上的点到原点距离的最大值作为长半轴长，将与长轴所在直线垂直且经过原点的直线与椭圆相交所得弦长作为短轴长，再利用离心率公式，即可得解.
【详解】设，
则，
得，
注意到，若点在该椭圆上，则点也在该椭圆上，故椭圆关于原点对称，
即椭圆的长轴与短轴均经过原点.
记椭圆的长半轴长为，则为的最大值.
因为，所以，当且仅当（由对称性，不妨设）时等号成立，此时取得最大值，
即，且此时长轴所在直线为，
由于椭圆的长轴与短轴互相垂直，且短轴过原点，故易知短轴所在的直线为.
联立得，可得，可得，故短轴长，得，
故该椭圆半焦距，
于是离心率为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某中学象棋社为了解学生对象棋的兴趣程度，对本校学生进行了随机问卷调查，调查结果统计如下：
（1）从参与问卷调查的学生中随机抽取1人，设事件“该学生是男生”为A，事件“该学生对象棋不感兴趣”为B，求和；
（2）将“非常感兴趣”与“有一点兴趣”统称为“感兴趣”，兴趣程度按照“感兴趣”和“不感兴趣”分类，根据小概率值的独立性检验，能否认为该校男生和女生对象棋的兴趣程度有差异？
附：.
【答案】（1），
（2）能
【解析】
【分析】（1）利用古典概型概率公式计算可求得，利用条件概率的意义可求得；
（2）根据题中的数据可得列联表，由列联表可求得，从而可得结论.
【小问1详解】
参与调查的总人数为，
所以，
.
【小问2详解】
由题意，可得如下2×2列联表：
零假设：该校男生和女生对象棋的兴趣程度没有差异，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即该校男生与女生对象棋的兴趣程度有差异.
16. 在中，内角所对的边分别为，已知.
（1）证明：；
（2）若的面积为，.求.
【答案】（1）证明见解析
（2）4
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理结合条件得出，再利用正弦定理及正弦的和角公式计算即可证明；
（2）结合（1）先得出三个内角，法一、构造直角三角形利用勾股定理及三角形面积公式计算即可；
法二、利用正弦定理及三角形面积公式建立方程计算即可.
【小问1详解】
由余弦定理得，
又，所以，于是，
由正弦定理得，
再结合，
可得 ，
由，知.
【小问2详解】
方法一：当时，，，.
如图，不妨作，垂足为.
设，则，，
由，得，
故

方法二：当时，，.
由，得.
由正弦定理得.
又，所以，.
所以，解得.
17. 如图，为圆柱的母线，分别为圆柱上、下底面的直径，点在下底面圆周上（不与重合），为的中点.

（1）证明:平面平面；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）要证明面面垂直，则需要证明线面垂直，即证明平面.
（2）建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面与平面的法向量坐标，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果.
【小问1详解】
因为是下底面圆的直径，点在下底面圆周上，所以.
由是母线，可知平面，所以.
又平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
如图，以为坐标原点，垂直于平面的直线为轴，直线，分别为轴、轴建立空间直角坐标系.

由已知
设平面的法向量为，因为，
所以，取.
设平面的法向量为，因为，
所以，取
所以.
即平面与平面的夹角的余弦值为.
18. 已知函数.
（1）当为偶函数时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，证明：；
（3）若实数使得对任意恒成立，当取最大值时，求.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据为偶函数，求出a，可得函数解析式，根据导数的几何意义即可求得答案；
（2）将原不等式转化为证，构造函数，利用导数判断其单调性，即可证明结论；
（3）将对任意恒成立转化为恒成立，构造函数，利用导数求解的最小值，即可求得答案.
【小问1详解】
若为偶函数，即，
则，即得，
即，由于，则，
此时，
所以，
故所求的切线方程为，即；
【小问2详解】
当时，，要证，
即证.
设，则.
令，得，由于，故，
等号仅在时取得，故是R上的增函数，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，得证.
【小问3详解】
恒成立，即恒成立，则.
设函数，即，
则，由（2）可知是增函数，且易知其值域为，
故存在，使得，即，
当时， ，单调递减，当时， ，单调递增，
所以，
要使最大，则取，再分析的最大值.
设函数，
则，
因为，且仅在处等号成立，
所以当时， ，单调递增，当时， ， 单调递减，
所以
即的最大值为，当时， ，
得.
19. 已知双曲线E:的左、右顶点分别为和，过右焦点且垂直于轴的直线与交于两点，其中点在第一象限，.
（1）求E的方程.
（2）已知点在直线上，满足，记点的横坐标为.
（i）求点的坐标（用表示）；
（ii）若的中点在的外接圆内，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）因为双曲线E:的左、右顶点分别为和，得到，设，将代入双曲线，解得，过右焦点且垂直于轴的直线与交于两点，得到的坐标，求出，由，解得，从而得到的方程.
（2）（ i）由（1） 可得的坐标，从而得到直线的方程即，设，利用数量积求出，又，从而得到，继而得到，从而得到的坐标.
（ii）由和的坐标利用中点坐标公式求出中点的坐标，利用两点间距离公式求出，设的外接圆的圆心为，设利用两点间距离公式通过计算得到的值，从而得到圆心的坐标，求出圆的半径，从而求出的外接圆的方程.直线和的外接圆联立方程组，解得的值即为圆与直线的两个交点的横坐标.因为点在的外接圆内，从而得到不等式组，法一：利用整体换元即可得到范围.法二：由，解得的范围，
利用“对勾函数”得到的单调性，从而求出值域，继而得到的取值范围.
【小问1详解】
因为双曲线E:的左、右顶点分别为和，
所以，
设，
过右焦点且垂直于轴的直线与交于两点，，
将代入双曲线，
得到，即，解得，
则，
，得，
故的方程为.
【小问2详解】
（ i）由（1） 可得 ，所以直线，，
设，则，
所以，从而，
于是.
（ii）和，中点，
，
即，
设的外接圆的圆心为，，点在轴上，
设，，，
，，
，
，，，
的外接圆的半径为，
圆心为，
的外接圆方程为.
直线和的外接圆方程为联立方程组
，解得或，
则圆与直线的两个交点的横坐标为或.
点在的外接圆内，
，
令，解得，
则，
法一：则转化为，
解得，
，，
，
，，
，
，
，
，
因此，的取值范围是.
法二：同理得，解得，
则.
设，则，
则转化为，
是奇函数，当时，，
当且仅当，即时等号成立，
则在上单调递增，值域是，
在上单调递减，值域是.
则，，
故的取值范围为.非常感兴趣
有一点兴趣
不感兴趣
男生
100
60
40
女生
50
50
100
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
感兴趣
不感兴趣
合计
男生
160
40
200
女生
100
100
200
合计
260
140
400