2026中考数学高频考点一轮复习：三角形（试题含解析）

这是一份2026中考数学高频考点一轮复习：三角形（试题含解析），共32页。

A．11B．10C．9D．8
2．（2025春•裕华区）下列长度的三根木条（单位：分米）首尾顺次相接能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4B．1，3，5C．4，5，10D．2，5，8
3．（2025春•两江新区）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，AD为斜边BC上的高，则CD的长是（ ）
A．3B．95C．165D．125
4．（2025•嵊州市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三边向外作正方形ACFG，正方形BDEC，正方形AMNB．连结DN，若DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），则下列各式为定值的是（ ）
A．x+yB．x2+y2C．xyD．x2﹣y2
5．（2025春•兴宁区）如图，分别以Rt△ABC的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝6时，“希波克拉底月牙”的面积是（ ）
A．18B．410C．24D．48
6．（2025春•潮南区）如图，A，B两点被一座小山隔开，在AB外平地选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，现测得DE＝60m，则AB长为（ ）m．
A．30B．60C．90D．120
7．（2025春•竞秀区）小颖在学习三角形时发现三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分，课后小颖和同学们进一步研究三角形中线的问题．如图，已知△ABC的面积为2，分别延长BC至点D，使CD＝BC，延长CA至点E，使AE＝AC，延长AB至点F，使BF＝AB，依次连接DE，EF，FD，则阴影部分的面积为（ ）
A．6B．12C．18D．24
8．（2025•浙江三模）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形ABCD，中间是一个小正方形EFGH，连结DE与FG相交于点M，延长DE交BC于点N，若M是DE的中点，AB＝8，则EN的长（ ）
A．32B．53C．2D．6
9．（2025•衢州四模）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图，四边形ABDE为正方形，若Rt△ABC的斜边AB＝10，BC＝6，则图中线段CE的长为（ ）
A．6B．210C．8D．217
10．（2025•永嘉县三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别在线段OD，OC上，且CN＝x，DM＝y，且x＞y，若CM＝DN＝5，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．xyB．x+yC．x﹣yD．x2+y2
11．（2024秋•恩施市）如图，已知∠CAE＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共4小题）
12．（2025春•黄埔区）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，则四边形ABCD的面积为 ．
13．（2025春•两江新区）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是8，大正方形的面积是100，则小正方形的面积是 ．
14．（2025春•沙坪坝区）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ADC＝60°，AD＝4，BD＝1.5，则CD＝ ．
15．（2025春•锦江区）如图，在△ABC中，∠A＝60°，△ABC的角平分线BD，CE交于点O，若OEOC=35，则OCOB的值为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025•蓝田县三模）问题提出：
（1）如图①，点D是等边三角形△ABC边AB延长线上的一点，以BD为边作等边三角形△BDE，连接AE、CD相交于点O，已知AE＝8，则CD的长为 ，∠AOD的大小为 ；
问题解决：
（2）如图②，某公园有距离300米的两个水源A、C，设计部门计划修建一块四边形鲜花区域（四边形ABCD），其中△ABD中∠A＝90°，AB＝AD，内部用来种植郁金香，使用水源A进行浇灌；△BCD中∠BCD＝45°，内部用来种植牡丹花，使用水源C进行浇灌，请利用所学知识求出牡丹花区域的最大面积．
17．（2025春•青岛）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F，连接CE，BF；以点F为圆心，FB的长为半径画弧，交BC的延长线于点D．请你判断CE与DF的位置关系和数量关系，并说明理由．
18．（2025•潮阳区三模）【项目式学习】
问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题．
问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形的概率是多少？
理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是x，y，z．
根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：
x+y+z＝1，x+y＞z，x﹣y＜z，y﹣x＜z等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．
如，将x+y＝1﹣z，代入x+y＞z，这就是一个一元一次不等式，可以得到z的取值范围是0＜z＜12．
解决问题：
任务1：
（1）同理可得，x的取值范围是 ，y的取值范围是 ．
（2）如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点O，连接OA，OB，OC，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2．
可以发现，h1，h2，h3与h存在数量关系：h1+h2+h3＝h．请给出证明．
任务2：
根据以上构造，设x＝h1，y＝h2，z＝h3，则x+y+z＝h1+h2+h3＝1，x，y，z只需要满足以上的不等式即可．请在图3的△ABC中，用阴影部分标记出x，y，z满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识）
任务3：
阴影部分的面积与△ABC面积之比即为所求的概率．则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是 ．
19．（2025•嵊州市模拟）八年级教材下册5.1《矩形》的作业题中有如下题目：
利用矩形的性质定理“矩形的对角线相等”证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
小嵊同学将该问题输入DeepSeek，DeepSeek给出如下分析：
（1）请根据提供的思路完成证明．
（2）好学的小州同学展开了探索：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，延长AB至点E．
①如图2，若BE=12AC，D为边AC的中点，连结DE，∠E＝18°，求∠A的度数．
②如图3，若BE=12AB，AC＝4，点F是边BC中点，连结EF，求EF的长．
20．（2025春•新城区）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，数学研究小组设计了如下方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向，测量方案如下表，测量示意图如图：
小明认为只要测得CD就能得到河宽AH，你认为上述方案可行吗？如果可行，请给出证明，并求出河宽；如果不可行，请说明理由．
中考数学一轮复习 三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．（2025春•西安）如图，点A、B在直线m上，点P、H在直线n上，m⊥n于点O，连接AP、BP、AH、BH，AP＝BP，若AH＝11，则BH的长为（ ）
A．11B．10C．9D．8
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】A
【分析】根据题意可证明PH垂直平分AB，则由线段垂直平分线的性质即可得到答案．
【解答】解：∵点A、B在直线m上，点P、H在直线n上，AP＝BP，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
又∵m⊥n，AH＝11，
∴PH垂直平分AB，
∴BH＝AH＝11，
故选：A．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
2．（2025春•裕华区）下列长度的三根木条（单位：分米）首尾顺次相接能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4B．1，3，5C．4，5，10D．2，5，8
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】判断两条较短木条的长度和与较长木条的长度的大小关系，进行判断即可．
【解答】解：A、2+3＝5＞4，能构成三角形，符合题意；
B、1+3＝4＜5，不能构成三角形，不符合题意；
C、4+5＝9＜10，不能构成三角形，不符合题意；
D、2+5＝7＜8，不能构成三角形，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查构成三角形的条件，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3．（2025春•两江新区）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，AD为斜边BC上的高，则CD的长是（ ）
A．3B．95C．165D．125
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】先运用勾股定理算出BC＝5，再结合等面积法求出AD＝2.4，最后在Rt△ACD，根据勾股定理列式计算，即可作答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，
由勾股定理得：BC=AC2+AB2=5，
∵AD为斜边BC上的高，
∴S△ABC=12AB×AC=12AD×BC，
∴AB×AC＝AD×BC，
∴3×4＝AD×5，
∴AD＝2.4，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=AC2-AD2=16-5.76=165，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
4．（2025•嵊州市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三边向外作正方形ACFG，正方形BDEC，正方形AMNB．连结DN，若DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），则下列各式为定值的是（ ）
A．x+yB．x2+y2C．xyD．x2﹣y2
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】连接AD、CD、AN、CN，CN分别交AD、AB于点I、点L，由正方形的性质得BD＝BC，AB＝NB，∠CBD＝∠ABN＝90°，则∠ABD＝∠NBC，即可证明△ABD≌△NBC，得∠BAD＝∠BNC，推导出∠AIC＝90°，可证明AC2+DN2＝CD2+AN2，由DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），∠ACB＝90°，得CD2＝2BC2＝2a2，AN2＝2AB2＝2（AC2+BC2）＝2y2+2a2，则y2+x2＝2a2+2y2+2a2，整理得x2﹣y2＝4a2，所以x2﹣y2为定值，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AD、CD、AN、CN，CN分别交AD、AB于点I、点L，
∵四边形BDEC和四边形AMNB都是正方形，
∴BD＝BC，AB＝NB，∠CBD＝∠ABN＝90°，
∴∠ABD＝∠NBC＝90°+∠ABC，
在△ABD和△NBC中，
BD=BC∠ABD=∠NBCAB=NB，
∴△ABD≌△NBC（SAS），
∴∠BAD＝∠BNC，
∵∠ALI＝∠BLN，
∴∠AIC＝∠BAD+∠ALI＝∠BNC+∠BLN＝90°，
∴∠AIN＝∠DIN＝∠CID＝90°，
∵AC2+DN2＝AI2+CI2+DI2+NI2，CD2+AN2＝AI2+CI2+DI2+NI2，
∴AC2+DN2＝CD2+AN2，
∵DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），∠ACB＝90°，
∴CD2＝BD2+BC2＝2BC2＝2a2，AN2＝AB2+NB2＝2AB2＝2（AC2+BC2）＝2y2+2a2，
∴y2+x2＝2a2+2y2+2a2，
∴x2﹣y2＝4a2，
∴x2﹣y2为定值，
故选：D．
【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
5．（2025春•兴宁区）如图，分别以Rt△ABC的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝6时，“希波克拉底月牙”的面积是（ ）
A．18B．410C．24D．48
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求出AB，然后根据 S明形＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB计算即可．
【解答】解：根解据勾股定理可得AB=AC2+BC2=82+62=10，
S阴形＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB
=12π（AC2）2+12π（BC2）2+12AC•BC-12π（AB2）2
=12π（82）2+12π（62）2+12×8×6-12π（102）2
＝24．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，掌握用勾股定理解直角三角形、半圆的面积公式和三角形的面积公式是解决此题的关键．
6．（2025春•潮南区）如图，A，B两点被一座小山隔开，在AB外平地选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，现测得DE＝60m，则AB长为（ ）m．
A．30B．60C．90D．120
【考点】三角形中位线定理．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】D
【分析】根据中位线定理可得：AB＝2DE＝120米．
【解答】解：∵D是AC的中点，E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AB，
∵DE＝60米，
∴AB＝2DE＝120米，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解决问题的关键．
7．（2025春•竞秀区）小颖在学习三角形时发现三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分，课后小颖和同学们进一步研究三角形中线的问题．如图，已知△ABC的面积为2，分别延长BC至点D，使CD＝BC，延长CA至点E，使AE＝AC，延长AB至点F，使BF＝AB，依次连接DE，EF，FD，则阴影部分的面积为（ ）
A．6B．12C．18D．24
【考点】三角形的面积．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】连接AD、BE、CF，可得S△ABE＝S△ABC＝2，即得S△BEF＝S△ABE＝2进而得到S△AEF＝S△ABE+S△BEF＝4同理可得S△BDF＝4，S△CDE＝4，再根据S阴能＝S△AEF+S△BDF+S△CDE即可求解．
【解答】解：如图，连接AD、BE、CF，
∵AE＝AC，△ABC的面积为2，
S△ABE＝S△ABC＝2，
∵BF＝AB，
S△BEF＝S△ABE＝2，S△AEF＝S△ABE+S△BEF＝2+2＝4，
同理可得，S△BDF＝4，S△CDE＝4，
S阴影＝S△AEF+S△BDF+S△CDE＝4+4+4＝12，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握该知识点是关键．
8．（2025•浙江三模）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形ABCD，中间是一个小正方形EFGH，连结DE与FG相交于点M，延长DE交BC于点N，若M是DE的中点，AB＝8，则EN的长（ ）
A．32B．53C．2D．6
【考点】勾股定理的证明．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据正方形性质得AB＝BC＝CD＝AD＝8，∠BCD＝90°，FG∥EH，GH∥EH，∠EHG＝90°，GH＝EH，由全等三角形的性质得DG＝AH，∠ADH＝∠CBF，证明MG是△FEH的中位线得AH＝GH＝EH，进而得DH是线段AE的垂直平分线，则DE＝AD＝8，在证明Rt△EDH和Rt△ADH全等得∠EDH＝∠ADH，进而得∠CBF＝∠NEB，设BN＝EN＝x，则CN＝8﹣x，DN＝8+x，在Rt△DCN中，由勾股定理求出x即可得出EN的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝8，∠BCD＝90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴FG∥EH，GH∥EH，∠EHG＝90°，GH＝EH，
由全等三角形的性质得：DG＝AH，∠ADH＝∠CBF，
∵点M是DE的中点，MG∥EH，
∴MG是△FEH的中位线，
∴DG＝GH，
∴AH＝GH＝EH，
∵∠EHG＝90°，
∴DH是线段AE的垂直平分线，
∴DE＝AD＝8，
在Rt△EDH和Rt△ADH中，
DE=ADDH=DH，
∴Rt△EDH和Rt△ADH（HL），
∴∠EDH＝∠ADH，
∴∠EDH＝∠CBF，
∵GH∥EH，
∴∠EDH＝∠DEF，
∵∠NEB＝∠DEF，
∴∠EDH＝∠NEB，
∴∠CBF＝∠NEB，
∴BN＝EN，
设BN＝EN＝x，
∴CN＝BC﹣BN＝8﹣x，DN＝DE+EN＝8+x，
在Rt△DCN中，由勾股定理得：DN2＝CD2+CN2，
∴（8+x）2＝（8﹣x）2+82，
解得：x＝2，
∴EN＝x＝2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的中位线定理，勾股定理是解决问题的关键．
9．（2025•衢州四模）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图，四边形ABDE为正方形，若Rt△ABC的斜边AB＝10，BC＝6，则图中线段CE的长为（ ）
A．6B．210C．8D．217
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的证明．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】由勾股定理可求AC的长，由全等三角形的性质可求AF＝BC＝6，EF＝AC＝8，由勾股定理可求解．全等三角形的对应边相等是解题的关键．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC=AB2-BC2=100-36=8，
∵Rt△ACB≌Rt△EFA，
∴AF＝BC＝6，EF＝AC＝8，
∴FC＝AC﹣AF＝8﹣6＝2，
∴CE=EF2+CF2=4+64=217，
即图中线段CE的长为217，
故选：D．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的证明，关键是掌握勾股定理的应用．
10．（2025•永嘉县三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别在线段OD，OC上，且CN＝x，DM＝y，且x＞y，若CM＝DN＝5，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．xyB．x+yC．x﹣yD．x2+y2
【考点】勾股定理；代数式求值；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】在OD上取一点P，使得DP＝CN＝x，过C作CQ⊥OD于Q，先根据三角形全等得出CP＝DN＝CM，根据等腰三角形的性质求出QM，从而求出DQ，再根据勾股定理列出等式，化简即可得出xy为定值．
【解答】解：在OD上取一点P，使得DP＝CN＝x，过C作CQ⊥OD于Q，如图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴OD＝OC，
∴∠CDP＝∠DCN，
∵CD＝CD，
∴△CDP≌△DCN（SAS），
∴CP＝DN＝CM＝5，
∵CQ⊥OD，
∴PQ＝QM=12（x﹣y），
∴DQ＝QM+DM=x+y2，
由勾股定理可知，CQ2＝CM2﹣QM2＝CD2﹣DQ2，
∴25-(x-y)24=36-(x+y)24，
整理得：xy＝11，
∴xy的值是不变的．
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，合理的构造全等三角形是本题解题的关键．
11．（2024秋•恩施市）如图，已知∠CAE＝∠BAD，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定解决此题．
【解答】解：①由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．增加AB＝AE，那么AB＝AE，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，推断出△ABC≌△AED，故①符合题意．
②由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．添加BC＝ED，△ABC与△AED不一定全等，故②不符合题意．
③由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．增加∠C＝∠D，那么∠C＝∠D，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，推断出△ABC≌△AED，故③符合题意．
④由∠CAE＝∠BAD，得∠CAB＝∠DAE．增加∠B＝∠E，那么∠B＝∠E，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，推断出△ABC≌△AED，故④符合题意．
综上：符合题意的有①③④，共3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．
二．填空题（共4小题）
12．（2025春•黄埔区）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，则四边形ABCD的面积为 2+2 ．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；三角形的面积．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】2+2．
【分析】由勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形，且∠DAC＝90°，然后根据四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD列式计算即可．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC=AB2+BC2=22+22=22，
∵AD＝1，CD＝3，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴△ACD为直角三角形，且∠DAC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD=12AB•BC+12AD•AC=12×2×2+12×1×22=2+2，
故答案为：2+2．
【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
13．（2025春•两江新区）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是8，大正方形的面积是100，则小正方形的面积是 4 ．
【考点】勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】4．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以由勾股定理求出直角三角形的短直角边的长，进而计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积．
【解答】解：∵图中的直角三角形的长直角边是8，大正方形的面积是100，
∴大正方形的边长为100=10，
∴直角三角形的短直角边的长为102-82=6，
小正方形的边长＝8﹣6＝2，
∴小正方形的面积为22＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
14．（2025春•沙坪坝区）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ADC＝60°，AD＝4，BD＝1.5，则CD＝ 5.5 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观；运算能力．
【答案】5.5．
【分析】根据等腰三角形的性质以及含30度直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵∠ADC＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴DE=12AD＝2，
∵AB＝AC，
∴CE＝BE＝BD+DE＝1.5+2＝3.5，
∴CD＝DE+CE＝2+3.5＝5.5．
故答案为：5.5．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、含30度角直角三角形性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．
15．（2025春•锦江区）如图，在△ABC中，∠A＝60°，△ABC的角平分线BD，CE交于点O，若OEOC=35，则OCOB的值为 23 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】23．
【分析】由三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠BOC＝120°，则，∠BOE＝∠COD＝180°﹣∠BOC＝60°；由角平分线的性质可得点O到△ABC三边的距离相等，设点O到△ABC三边的距离为h，则可得S△BOES△BOC=BEBC=OEOC=35，作∠BOC的角平分线交BC于T，设BE＝3x，BC＝5x，证明△BOE≌△BOT（ASA），得到BT＝BE＝3x，则TC＝BC﹣BT＝2x，同理可得OCOB=CTBT=23．
【解答】解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵△ABC的角平分线BD，CE交于点O，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝120°，
∴∠BOE＝∠COD＝180°﹣∠BOC＝60°，
∵△ABC的角平分线BD，CE交于点O，
∴点O到△ABC三边的距离相等，
设点O到△ABC三边的距离为h，
∴S△BOES△BOC=12BE⋅h12BC⋅h=BEBC=OEOC=35；
如图所示，作∠BOC的角平分线交BC于T，
设BE＝3x，BC＝5x，
∴∠BOT＝∠BOE＝∠COT＝∠COD＝60°，
由角平分线的定义可得∠OBE＝∠OBT，
又∵OB＝OB，
∴△BOE≌△BOT（ASA），
∴BT＝BE＝3x，
∴TC＝BC﹣BT＝2x，
同理可得OCOB=CTBT=23，
故答案为：23．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线有关的三角形内角和问题，掌握角平分线的性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025•蓝田县三模）问题提出：
（1）如图①，点D是等边三角形△ABC边AB延长线上的一点，以BD为边作等边三角形△BDE，连接AE、CD相交于点O，已知AE＝8，则CD的长为 8 ，∠AOD的大小为 120° ；
问题解决：
（2）如图②，某公园有距离300米的两个水源A、C，设计部门计划修建一块四边形鲜花区域（四边形ABCD），其中△ABD中∠A＝90°，AB＝AD，内部用来种植郁金香，使用水源A进行浇灌；△BCD中∠BCD＝45°，内部用来种植牡丹花，使用水源C进行浇灌，请利用所学知识求出牡丹花区域的最大面积．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）8；120°；
（2）(450002-45000)平方米．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE、∠ABC＝60°，则∠ABE＝∠CBD，易证△ABE≌△CBD（SAS）可得CD＝AE＝8、∠BAE＝∠BCD，再根据三角形的内角和定理以及对顶角相等可得∠AOC＝∠ABC＝60°，再根据邻补角的性质即可解答；
（2）如图，连接AC，将△ADC绕点A逆时针旋转得△ABC′，连接CC′．根据旋转的性质以及勾股定理可得CC'=AC2+AC'2=3002，进而得到∠CBC′＝135°；如图：过点B作BN⊥CD，垂足为N，过点C′作C′M⊥CB，垂足为M．解直角三角形可得BN=22BC、C'M=22BC'=22CD．再说明S△BCD＝S△BCC′，进而得到点B在以CC′为弦，所含圆周角为135°的CBC'上．设点O为CBC'所在圆的圆心，连接OC、OC′，OB．如图：过点O作OF⊥CC′，垂足为F；过点B作BE⊥CC'，垂足为E，则∠COC′＝90°．易得OF=1502、OB＝OC＝300．最后根据三角形的三边关系以及三角形的面积公式即可解答．
【解答】（1）证明：如图：点D是等边三角形△ABC边AB延长线上的一点，以BD为边作等边三角形△BDE，连接AE、CD相交于点O，
由题意可得：AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
AB=BC∠ABE=∠CBDBD=BE，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴CD＝AE＝8；
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAE＝∠BCD，
∵∠APB＝∠CPO，∠APB+∠ABC+∠BAE＝180°，∠CPO+∠POC+∠BCD＝180°，
∴∠AOC＝∠ABC＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝120°．
故答案为：8；120°；
（2）连接AC，将△ADC绕点A逆时针旋转得△ABC′，连接CC′．
∴AC′＝AC＝300，∠CAC′＝90°，∠ABC′＝∠ADC，BC′＝DC．
∴CC'=AC2+AC'2=3002．
∵∠DAB＝90°，∠DCB＝45°，
∴∠ABC+∠ABC′＝∠ABC+∠ADC＝225°．
∴∠CBC′＝135°．
过点B作BN⊥CD，垂足为N，过点C′作C′M⊥CB，垂足为M．
则∠C′BM＝180°﹣∠CBC′＝45°．
∴BN=22BC，C'M=22BC'=22CD．
∵S△BCD=12CD×BN=24CD⋅BC，S△BCC'=12BC×C'M=24CD⋅BC，
∴S△BCD＝S△BCC′．
∵CC'=3002，∠CBC′＝135°，
∴点B在以CC′为弦，所含圆周角为135°的弧CBC上．
设点O为CBC'所在圆的圆心，连接OC、OC′，OB．
过点O作OF⊥CC′，垂足为F；过点B作BE⊥CC'，垂足为E，则∠COC′＝90°．
∴OF=1502，OB＝OC＝300．
∵BE+OF≤OB，
∴BE≤OB-OF=300-1502．
∴BE最大值为300-1502．
∵S△BCC'=12CC'⋅BE=1502BE，
∴1502(300-1502)=450002-45000．
∴最大面积为(450002-45000)平方米．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、解直角三角形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
17．（2025春•青岛）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F，连接CE，BF；以点F为圆心，FB的长为半径画弧，交BC的延长线于点D．请你判断CE与DF的位置关系和数量关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】CE∥DF，CE＝DF，理由见解析．
【分析】由题意得到AE＝AF，FB＝FD，由等腰三角形的性质推出∠EBC＝∠FCB，判定△EBC≌△FCB（SAS），推出∠ECB＝∠FBC，BF＝CE，得到CE＝DF，由等腰三角形的性质推出∠FDB＝∠FBD，因此∠FDB＝∠ECB，判定CE∥FD．
【解答】解：CE∥DF，CE＝DF，理由如下：
由题意得到：AE＝AF，FB＝FD，
∵AB＝AC，
∴∠EBC＝∠FCB，
∵AB﹣AE＝AC﹣AF，
∴EB＝CF，
∵BC＝CB，
∴△EBC≌△FCB（SAS），
∴∠ECB＝∠FBC，BF＝CE，
∴CE＝DF，
∵FB＝FD，
∴∠FDB＝∠FBD，
∴∠FDB＝∠ECB，
∴CE∥FD．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是判定△EBC≌△FCB（SAS），推出∠ECB＝∠FBC，BF＝CE．
18．（2025•潮阳区三模）【项目式学习】
问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题．
问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形的概率是多少？
理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是x，y，z．
根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：
x+y+z＝1，x+y＞z，x﹣y＜z，y﹣x＜z等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．
如，将x+y＝1﹣z，代入x+y＞z，这就是一个一元一次不等式，可以得到z的取值范围是0＜z＜12．
解决问题：
任务1：
（1）同理可得，x的取值范围是 0＜x＜12 ，y的取值范围是 0＜y＜12 ．
（2）如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点O，连接OA，OB，OC，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2．
可以发现，h1，h2，h3与h存在数量关系：h1+h2+h3＝h．请给出证明．
任务2：
根据以上构造，设x＝h1，y＝h2，z＝h3，则x+y+z＝h1+h2+h3＝1，x，y，z只需要满足以上的不等式即可．请在图3的△ABC中，用阴影部分标记出x，y，z满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识）
任务3：
阴影部分的面积与△ABC面积之比即为所求的概率．则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是 14 ．
【考点】三角形综合题．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】任务1：（1）0＜x＜12；0＜y＜12；（2）见解析；
任务2：见解析；
任务3：14．
【分析】任务1：（1）同题干中的方法求解即可；
（2）首先得到AB＝BC＝AC，然后利用S△ABC＝S△AOB+S△COB+S△AOC代入求解即可；
任务2：根据题意得到0＜h1＜12，0＜h2＜12，0＜h3＜12，然后作△ABC三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF，进而求解即可；
任务3：根据题意得到S△DEFS△ABC=14即可求解．
【解答】任务1：解：（1）∵x+y+z＝1，
∴y+z＝1﹣x，
∵y+z＞x，
∴1﹣x＞x，
解得x＜12，
∴0＜x＜12，
∵x+y+z＝1，
∴x+z＝1﹣y，
∵x+z＞y，
∴1﹣y＞y，
解得y＜12，
∴0＜y＜12，
故答案为：0＜x＜12；0＜y＜12；
证明：（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵S△ABC＝S△AOB+S△COB+S△AOC，
∴12BC⋅h=12AB⋅h1+12BC⋅h2+12AC⋅h3，
∴BC•h＝BC•h1+BC•h2+BC•h3，
∴h＝h1+h2+h3；
任务2：解：设x＝h1，y＝h2，z＝h3，
∵0＜x＜12，0＜y＜12，0＜z＜12，
∴0＜h1＜12，0＜h2＜12，0＜h3＜12，
∴如图所示，作△ABC三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF，
∴△DEF内部即为所求范围．
任务3：解：∵△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴S△DEFS△ABC=14，
∴一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了几何概率，等边三角形的性质，三角形三边关系的应用，不等式的性质等知识，解题的关键是正确分析题意构造图形．
19．（2025•嵊州市模拟）八年级教材下册5.1《矩形》的作业题中有如下题目：
利用矩形的性质定理“矩形的对角线相等”证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
小嵊同学将该问题输入DeepSeek，DeepSeek给出如下分析：
（1）请根据提供的思路完成证明．
（2）好学的小州同学展开了探索：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，延长AB至点E．
①如图2，若BE=12AC，D为边AC的中点，连结DE，∠E＝18°，求∠A的度数．
②如图3，若BE=12AB，AC＝4，点F是边BC中点，连结EF，求EF的长．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）①36°；
②2．
【分析】（1）证明：延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE、CE，如图2所示：由BD是斜边AC上的中线，得到AD＝CD，推出∠ABC＝90°，得到平行四边形ABCE是矩形，于是得到结论；
（2）①连接BD，由∠ABC＝90°，D为边AC的中点，得到BD=12AC，求得BE＝BD，根据等腰三角形的性质得到∠BDE＝∠E＝180°，求得∠ABD＝∠E+∠BDE＝36°，得到BD＝AD=12AC，于是得到∠A＝∠ABD＝36°；
②取AB的中点M，连接MF，由点F是边BC中点，得到FM是△ABC的中位线，求得FM＝AC=12×4=2，得到BM＝BE，根据线段垂直平分线的性质得到结论．
【解答】（1）证明：延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE、CE，如图2所示：
∵BD是斜边AC上的中线，
∴AD＝CD，
又∵DE＝BD，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCE是矩形，
∴BE＝AC，
∵DE＝BD=12BE，
∴BD=12AC；
（2）解：①连接BD，
∵∠ABC＝90°，D为边AC的中点，
∴BD=12AC，
∵BE=12AC，
∴BE＝BD，
∴∠BDE＝∠E＝180°，
∴∠ABD＝∠E+∠BDE＝36°，
∵D为边AC的中点，
∴BD＝AD=12AC，
∴∠A＝∠ABD＝36°；
②取AB的中点M，连接MF，
∵点F是边BC中点，
∴FM是△ABC的中位线，
∴FM＝AC=12×4=2，
∵BE=12AB，BM=12AB，
∴BM＝BE，
∵FB⊥EM，
∴EF＝MF＝2．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
20．（2025春•新城区）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，数学研究小组设计了如下方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向，测量方案如下表，测量示意图如图：
小明认为只要测得CD就能得到河宽AH，你认为上述方案可行吗？如果可行，请给出证明，并求出河宽；如果不可行，请说明理由．
【考点】全等三角形的应用；列代数式．
【专题】图形的全等；应用意识．
【答案】我认为第二小组的方案可行，证明过程见解答．
【分析】根据题意可得：∠HAB＝∠DCB＝90°，AB＝BC，然后利用ASA证明△ABH≌△CBD，从而利用全等三角形的性质可得AH＝CD＝40m，即可解答．
【解答】解：我认为第二小组的方案可行，
证明：由题意得：
∠HAB＝∠DCB＝90°，AB＝BC，
∵∠ABH＝∠CBD，
∴△ABH≌△CBD（ASA），
∴AH＝CD＝40m，
∴河宽为40m．
【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点．
求证：BD=12AC．
证明思路：
延长BD至点E，使DE＝BD，连接AE，CE，证明构造的四边形ABCE是平行四边形，再根据∠ABC＝90°，证明四边形ABCE是矩形，最后利用矩形的性质来证明结论．
课题
测量河流宽度
工具
测量角度的仪器，标杆，皮尺等
测量方案
从A点向东走到B点并插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达C点，再向南走40m到达D点，恰好使得树、标杆、人在同一直线上．
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点．
求证：BD=12AC．
证明思路：
延长BD至点E，使DE＝BD，连接AE，CE，证明构造的四边形ABCE是平行四边形，再根据∠ABC＝90°，证明四边形ABCE是矩形，最后利用矩形的性质来证明结论．
课题
测量河流宽度
工具
测量角度的仪器，标杆，皮尺等
测量方案
从A点向东走到B点并插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达C点，再向南走40m到达D点，恰好使得树、标杆、人在同一直线上．