2026年希望杯IHC六年级数学竞赛试卷（B卷）含答案

这是一份2026年希望杯IHC六年级数学竞赛试卷（B卷）含答案，共25页。试卷主要包含了计算，如图所示，一个正十二面体等内容，欢迎下载使用。
1．计算：2×1000+5×5+1＝ 。
2．计算：1+3+5+…+2023+2025＝ 。
3．有一个等比数列{an}，它的前n项之和记为Sn，已知S20＝4，S40＝40，则S10＝ 。
4．算式的整数部分是 。
5．小望参加社区组织的“周末农贸小超市”活动。他先去农贸批发市场分别花了60元和90元买了一些新鲜的番茄和土豆，然后到小超市活动现场摆摊标价售卖。如果按照他的标价卖完所有的番茄和土豆，一共可以获和16%，而如果他在批发市场买番茄和土豆花的钱一样多，按照现标价卖完，一共可获利15%。那么，小望只将所有的番茄卖完，可以获利 元。
6．甲、乙、丙三人同时从同地同向出发，沿着周长为900米的环行跑道跑步，甲每分钟跑360米，乙每分钟跑300米，丙每分钟跑210米，他们至少绕多少圈后三人再次相遇？（ ）
A．甲12圈，乙10圈，丙8圈
B．甲15圈，乙12圈，丙9圈
C．甲12圈，乙10圈，丙7圈
D．甲18圈，乙15圈，丙9圈
7．如图所示，一个正十二面体（由12个全等的正五边形组成的立体图形）悬浮在空间中且上下底面水平，注意到和顶面相邻的是5个斜面形成的环（称为顶环），和底面相邻的面也是5个斜面形成的环（称为底环）。如果沿着一系列相邻的面从顶面移动到底面，每个面最多访问一次且不允许从下往上移动，一共有 种移动方法。
8．将1、2、3、4、5、6写在一个圆周上，如图所示是其中一种写法。然后把圆周上相邻三个数之和写下来，得到六个数a1、a2、a3、a4、a5、a6，将这六个数中最大的数记为A。那么在各种写法中，A的最小值是 。
9．曾爷爷卖玩具时发现，如果每件玩具定价16元，一周可以卖出500件，但价格每上涨1元，这一周就会少卖出10件。那么曾爷爷想要一周的销售额最大，每件玩具应该定价 元。
10．一个2×2的长方形中有如图所示的3种不同形状的长方形，分别为2×2，2×1，1×1的长方形。若一个m×n（m≥2，n≥2）的长方形中有24种不同形状的长方形，则m与n的乘积为 。（注：长方形包含正方形）
11．新年快到了，小希设计了一个灯笼，如图是灯笼轮廓的平面图。这个图的画法是：先画一个圆，在圆里面画一个长方形（4个顶点都在圆周上），然后分别以长方形的4条边为直径画4个半圆。已知图中长方形的面积为100平方厘米，那么阴影部分面积为 平方厘米。
12．从1～2025中取出若干个数，要使取出的数中任意两个数的和都不等于取出的数的个数，最多可以取出 个数。
13．两兄弟一起养了一群牛，有一天他们去集市将牛卖掉，每头牛的钱数恰好等于牛的只数。兄弟二人在回家的路上遇到有人卖羊，每只大羊10文钱。他们买了若干只大羊，剩余的钱又恰好买了一只小羊。兄弟二人回家后分羊，最后剩了一只大羊和一只小羊，哥哥分到大羊，弟弟分到小羊。为了公平，哥哥应该再给弟弟 文钱。
14．在11!的所有因数中，个位为1的正因数有 个。
（注：正整数的阶乘定义为所有小于及等于该数的正整数的积，记为n!，例如5的阶乘表示为5!，其值为1×2×3×4×5＝120）
15．牧羊人在一片均匀生长的草地上放羊，每天放羊结束都会卖掉一只羊。如果最初有30只羊，那么恰好11天吃完这片草；如果最初有25只羊，那么恰好21天吃完这片草。如果这片草地至少能供应15天，那么牧羊人最初放养的羊最多是 只。
16．甲、乙、丙三个工程队要完成A、B两项工程，两项工程的工作量相同。甲、乙、丙单独完成A工程所需时间分别是10天、12天、20天。为了尽快同时完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程；经过若干天后，又调其中一队与甲队共同做A工程，调动途中花了整整2天的时间。那么，丙队与乙队共同做B工程的天数为 天。
17．在1～2025的所有正整数中，有 个整数n使得2n与n2被7除的余数相同。
18．如图，正方形ABCD的边长为51，E、F、G、H分别为所在边的四等分点，那么阴影部分面积为 。
19．有一台特殊的计算器，输入一个整数后，它会进行如下操作中的一种：
①将这个数+1；
②将这个数×2。
已知这两种操作发生的概率相同。现在小希将整数1输入计算器，输出一个结果后将这个结果再输入计算器，不断重复。在机器运行10次后得到一个数，这个数是奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
20．正整数A的2024倍和2025倍的因数个数相同，则A最小是 。
21．如表所示，将由1，2，3，4组成的所有整数从小到大排在第一行；再将由0，1，2，3组成的所有整数从小到大排在第二行。在表格的前2025列中，共有 列中的两个数的位数相同。
22．六位同学站成一排照相，他们拍了若干张照片，每张照片中他们的排列顺序都不完全相同。对于任意的两位同学，记他们分别为A和B，满足A最多在一张照片中位于B左侧的相邻位置，B也最多在一张照片中位于A左侧的相邻位置。那么他们最多拍了 张照片。
23．甲、乙、丙三人从周长2千米的环形道路的同一点同时出发，每人环行两周。现有自行车两辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑。已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，三人骑车的速度都是每小时20千米。那么，要使三人和两辆自行车同时到达终点，三人环行两周最少要用 分钟。
24．一个多位数，从它任意一位起连续的数字可以形成一些新数。例如，整数128可以形成的全部新数有1、2、8、12、28、128。若一个多位数按如上方式形成的新数都不是9的倍数，则称它是“安全数”。那么五位数中最大的无重复数字的“安全数”是 。
25．正整数n是两个不同质数的乘积，且n的所有因数的平均数能被25整除，那么n的最小值是 。
2026年希望杯IHC六年级数学竞赛试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．计算：2×1000+5×5+1＝ 2026 。
【分析】先算乘法，再算加法。
【解答】解：2×1000+5×5+1
＝2000+25+1
＝2026。
故答案为：2026。
2．计算：1+3+5+…+2023+2025＝ 1026169 。
【分析】从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方。据此解答。
【解答】解：1+3+5+…+2023+2025
＝10132
＝1026169。
故答案为：1026169。
3．有一个等比数列{an}，它的前n项之和记为Sn，已知S20＝4，S40＝40，则S10＝ 1 。
【分析】设等比数列的首项是a1，公比是q，利用等比数列的求和公式列方程组计算，然后计算S10。
【解答】解：设等比数列的首项是a1，公比是q，
，
解得：，
S10＝
＝﹣×（1﹣3）
＝1。
故答案为：1。
4．算式的整数部分是 200 。
【分析】因为＝＝＝1﹣，找出题中算式的规律，由此解答本题。
【解答】解：
＝1++1++1++1++……+1++（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）+……+（1﹣）
＝1×99+2×（1++……+）+1×99﹣2×（+……+）
＝99+2×1+2×+2×（+……+）+99﹣2×（+……+）
＝99+2+1+99+2×（+……+）﹣2×（+……+）
＝200+1﹣2×﹣2×，
算式的整数部分是200。
故答案为：200。
5．小望参加社区组织的“周末农贸小超市”活动。他先去农贸批发市场分别花了60元和90元买了一些新鲜的番茄和土豆，然后到小超市活动现场摆摊标价售卖。如果按照他的标价卖完所有的番茄和土豆，一共可以获和16%，而如果他在批发市场买番茄和土豆花的钱一样多，按照现标价卖完，一共可获利15%。那么，小望只将所有的番茄卖完，可以获利 6 元。
【分析】60元的番茄和90元土豆比（60+90）÷2＝75（元）的番茄和75元土豆，摆摊标价售卖完多获利（60+90）×（16%﹣15%）＝1.5（元），即90﹣75＝15（元）的土豆比15元是番茄多获利1.5元，那么，75元的番茄和75元土豆少获利75÷15×1.5＝7.5，则75元的番茄获利是[（60+90）×15%﹣7.5]÷2＝7.5（元），那么，60元的番茄获利是7.5÷75×60＝6（元）。
【解答】解：60元的番茄和90元土豆比（60+90）÷2＝75（元）的番茄和75元土豆售卖完多获利：
（60+90）×（16%﹣15%）＝1.5（元），
即90﹣75＝15（元）的土豆比15元是番茄多获利1.5元，
75元的番茄和75元土豆少获利：
75÷15×1.5＝7.5，
75元的番茄获利：
[（60+90）×15%﹣7.5]÷2＝7.5（元），
60元的番茄获利：
7.5÷75×60＝6（元）。
答：可以获利6元。
故答案为：6。
6．甲、乙、丙三人同时从同地同向出发，沿着周长为900米的环行跑道跑步，甲每分钟跑360米，乙每分钟跑300米，丙每分钟跑210米，他们至少绕多少圈后三人再次相遇？（ ）
A．甲12圈，乙10圈，丙8圈
B．甲15圈，乙12圈，丙9圈
C．甲12圈，乙10圈，丙7圈
D．甲18圈，乙15圈，丙9圈
【分析】甲每次追上乙的用时是900÷（360﹣300）＝15（分钟），乙每次追上丙的用时是900÷（300﹣210）＝10（分钟），可见，他们三人相遇的用时是15分钟与10分钟的最小公倍数5×3×2＝30（分钟），此时，甲共走了360×30÷900＝12（圈），乙共走了300×30÷900＝10（圈），丙共走了210×30÷900＝7（圈）。
【解答】解：甲每次追上乙的用时：
900÷（360﹣300）＝15（分钟），
乙每次追上丙的用时：
900÷（300﹣210）＝10（分钟），
他们三人相遇的用时是15分钟与10分钟的最小公倍数：
5×3×2＝30（分钟），
甲共走的圈数：
360×30÷900＝12（圈），
乙共走的圈数：
300×30÷900＝10（圈），
丙共走的圈数：
210×30÷900＝7（圈）。
故选：C。
7．如图所示，一个正十二面体（由12个全等的正五边形组成的立体图形）悬浮在空间中且上下底面水平，注意到和顶面相邻的是5个斜面形成的环（称为顶环），和底面相邻的面也是5个斜面形成的环（称为底环）。如果沿着一系列相邻的面从顶面移动到底面，每个面最多访问一次且不允许从下往上移动，一共有 810 种移动方法。
【分析】顶面只和顶环的5个面相邻，所以第一步有5种选择，从顶环的任意一个面出发，有9种合法的路径策略来进入底环（直接下降：从当前面直接进入2个相邻的底环面→2种；移动1步后下降：顺时针或逆时针移动到相邻的顶环面，再从那里进入底环→2×2＝4种，移动2步后下降：顺时针或逆时针移动两步到另一个顶环面，再从那里进入底环→2×2＝4种，合计2+4+4＝9种策略）；进入底环后，规则与顶环类似，从底环的任意一个面出发，也有9种合法的路径策略最终到达底面；顶环和底环都是5个面的环，存在顺时针和逆时针两种全局方向，这对应了一个系数2。根据乘法原理即可解答。
【解答】解：根据题意，路径需从顶面出发，经顶环、底环至底面，且仅允许从上向下移动。
顶面到顶环：顶面与5个顶环面相邻，共5种选择，
顶环内策略：每个顶环面均有9种路径策略可进入底环，共9种，
底环到底面：底环面均与底面相邻，共9种选择；
底环到顶面的对称系数：全局存在顺时针与逆时针2种路径方向，共2种。
总数：5×9×9×2＝810（种）。
答：一共有810种移动方法。
故答案为：810。
8．将1、2、3、4、5、6写在一个圆周上，如图所示是其中一种写法。然后把圆周上相邻三个数之和写下来，得到六个数a1、a2、a3、a4、a5、a6，将这六个数中最大的数记为A。那么在各种写法中，A的最小值是 11 。
【分析】将数字1、2、3、4、5、6写在一个圆周上，数字1到6的总和为1+2+3+4+5+6＝21，当计算所有相邻三个数的和时，圆周上的每个数字都会被计算三次（因为它属于三个不同的“相邻三数”组），因此六个和值的总和为21×3＝63，则六个和值的平均数为63÷6＝10.5，由于和值必须是整数，且平均值为10.5，因此六个和值中‌最大值至少为11‌（不可能所有和值都小于或等于10）；据此解答即可。
【解答】解：圆周上所有数字的和：1+2+3+4+5+6＝21，
六个和值的总和为：21×3＝63，
六个和值的平均数为：63÷6＝10.5，
由于和值必须是整数，且平均值为10.5，因此六个和值中‌最大值至少为11‌。
答：A的最小值是11。
故答案为：11。
9．曾爷爷卖玩具时发现，如果每件玩具定价16元，一周可以卖出500件，但价格每上涨1元，这一周就会少卖出10件。那么曾爷爷想要一周的销售额最大，每件玩具应该定价 33 元。
【分析】先根据题意设出价格上涨的金额，再表示出定价和销量，从而建立销售额的函数表达式，最后利用二次函数顶点坐标求出使销售额最大的定价。
【解答】解：设每件玩具涨价x元，则：
定价：（16+x）元，
销量：（500﹣10x）件，
销售额：y＝（16+x）（500﹣10x），
即y＝﹣10x2+340x+8000，
这是开口向下的二次函数，最大值在顶点处：
x＝﹣＝﹣＝17，
此时定价：16+17＝33（元）。
答：曾爷爷想要一周的销售额最大，每件玩具应该定价33元。
故答案为：33。
10．一个2×2的长方形中有如图所示的3种不同形状的长方形，分别为2×2，2×1，1×1的长方形。若一个m×n（m≥2，n≥2）的长方形中有24种不同形状的长方形，则m与n的乘积为 27 。（注：长方形包含正方形）
【分析】“不同形状的长方形”指的是长和宽的组合不同（不计方向，即a×b与b×a视为同一种），在m×n的网格中，能出现的长方形的长a满足1≤a≤m，宽b满足1≤b≤n。因此，不同形状的数量即为所有满足1≤a≤m、1≤b≤n的（a，b）对，不计顺序。在m×n（m≥n）的网格中，不同形状的长方形数量：（a≤b或a≥b），去重后等价于当a≤n时，a可以和1、……、n中所有b≥a配对，共n﹣a+1种；当a＞n时，a只能和1、……、n配对，共n种，所以总数为（n﹣a+1）+n＝n（n+1）+n（m﹣n），题意说有24种不同形状，且m≥2，n≥2，试算即可解答。
【解答】解：假设m≥n，则：
n（n+1）+n（m﹣n）＝24，
即n（2m﹣n+1）＝48，
枚举n≥2的整数解：
当n＝2时，2×（2m﹣2+1）＝48，
即m＝12.5（非整数，舍去）；
当n＝3时，3×（2m﹣3+1）＝48，
即m＝9（整数，有效）；
当n＝4时，4×（2m﹣4+1）＝48，
即m＝7.5（非整数，舍去）；
当n＝6时，6×（2m﹣6+1）＝48，
即m＝6.5（非整数，舍去）；
当n＝8时，8×（2m﹣8+1）＝48，
即m＝6.5（m＜n，与假设m≥n矛盾，舍去）。
所以唯一符合条件的整数解是：
n＝3，m＝9（或m＝3，n＝9）。
验证：当m＝9，n＝3时，
a从1到3：
a＝1，可配b＝1，2，3（3种）；
a＝2，可配b＝2，3（2种）；
a＝3，可配b＝3（1种），
共3+2+1＝6（种）。
a从4到9：
每个a可配b＝1，2，3，
共6×3＝18（种），
总计：6+18＝24（种），
与题目条件一致。
因此m×n＝9×3＝27。
答：m与n的乘积为27。
故答案为：27。
11．新年快到了，小希设计了一个灯笼，如图是灯笼轮廓的平面图。这个图的画法是：先画一个圆，在圆里面画一个长方形（4个顶点都在圆周上），然后分别以长方形的4条边为直径画4个半圆。已知图中长方形的面积为100平方厘米，那么阴影部分面积为 100 平方厘米。
【分析】设长方形的长为a、宽为b，已知ab＝100平方厘米。计算4个半圆的面积和：以长为直径的两个半圆面积和为，以宽为直径的两个半圆面积和为，总和为。计算大圆的面积：长方形对角线为大圆直径，由勾股定理得直径平方为a2+b2，大圆面积为。阴影部分面积 ＝ 4个半圆面积和﹣大圆面积+长方形面积（通过割补法转化），最终结果为ab＝100平方厘米。
【解答】解：设长方形的长为a厘米，宽为b厘米，
因为ab＝100平方厘米。
阴影部分面积＝
＝
＝ab
＝100（平方厘米）。
答：阴影部分面积为100平方厘米。
12．从1～2025中取出若干个数，要使取出的数中任意两个数的和都不等于取出的数的个数，最多可以取出 1350 个数。
【分析】要取最多数，优先取较大数，使任意两数之和尽量大；让最小的两个数之和大于取出数的个数，即可保证所有两数之和都不等于个数；列出不等式求出最大整数k，再验证可行性。通过构造最大的连续k个数并利用不等式约束，得到最多可取1350个数。
【解答】解：设最多取出k个数，要使任意两个数的和≠k。
为了取最多的数，我们尽量取大数：
取2025，2024，……，2025﹣k+1这k个数，
这些数中最小的两个数之和为：
（2025﹣k+1）+（2025﹣k+2）＝4053﹣2k，
要让任意两数之和≠k，
只需让最小两数之和＞k，
则所有两数之和都大于k，自然不会等于k。
列不等式：4053﹣2k＞k，
即k＜1351，
因为k是整数，
所以k＝1350。
验证：取1350个最大数：2025，2024，……，676，
最小两数之和：
676+677＝1353＞1350，
任意两数之和都大于1350，
满足任意两数之和≠取出数的个数。
若取1351个数，则最小两数之和为1351，恰好等于个数，违反条件。
故最多可取1350个数。
答：从1～2025中取出若干个数，要使取出的数中任意两个数的和都不等于取出的数的个数，最多可以取出1350个数。
故答案为：1350。
13．两兄弟一起养了一群牛，有一天他们去集市将牛卖掉，每头牛的钱数恰好等于牛的只数。兄弟二人在回家的路上遇到有人卖羊，每只大羊10文钱。他们买了若干只大羊，剩余的钱又恰好买了一只小羊。兄弟二人回家后分羊，最后剩了一只大羊和一只小羊，哥哥分到大羊，弟弟分到小羊。为了公平，哥哥应该再给弟弟 2 文钱。
【分析】大羊的只数是奇数，小羊的价钱小于10文，两人每次分两只大羊，最后一次分一只大羊和一只小羊，所以卖得的总钱数除以（10+10）余数大于10，设一共有牛（10a+b）只，且a≥0，0＜b＜10，则（10a+b）2＝100a2+20ab+b2，所以是除以（10+10）余数大于10的，由此解答本题。
【解答】解：设一共有牛（10a+b）只，且a≥0，0＜b＜10，
则（10a+b）2＝100a2+20ab+b2，
10+10＝20（文），
大羊的只数是奇数，小羊的价钱小于10文，两人每次分两只大羊，最后一次分一只大羊和一只小羊，所以卖得的总钱数除以20余数大于10，
则b2是除以20余数大于10的，
当b＝1时，则b2＝1，b2是除以20余数是1，不符合要求；
当b＝2时，则b2＝4，b2是除以20余数是4，不符合要求；
当b＝3时，则b2＝9，b2是除以20余数是9，不符合要求；
当b＝4时，则b2＝16，b2是除以20余数是16，符合要求；
当b＝5时，则b2＝25，b2是除以20余数是5，不符合要求；
当b＝6时，则b2＝36，b2是除以20余数是16，符合要求；
当b＝7时，则b2＝49，b2是除以20余数是9，不符合要求；
当b＝8时，则b2＝64，b2是除以20余数是4，不符合要求；
当b＝9时，则b2＝81，b2是除以20余数是1，不符合要求；
所以b＝4或6，
小羊价格：16﹣10＝6（文），
（10﹣6）÷2
＝4÷2
＝2（文）。
答：哥哥应该再给弟弟2文钱。
故答案为：2。
14．在11!的所有因数中，个位为1的正因数有 6 个。
（注：正整数的阶乘定义为所有小于及等于该数的正整数的积，记为n!，例如5的阶乘表示为5!，其值为1×2×3×4×5＝120）
【分析】根据在11!的所有因数的特点，找到个位为1的正因数即可。
【解答】解：11!＝1×2×3×4×……×11，
个位为1的正因数有：1、11、3×7＝21、9×9＝81、11×7×3＝231、81×11＝891，共6个。
答：在11!的所有因数中，个位为1的正因数有6个。
故答案为：6。
15．牧羊人在一片均匀生长的草地上放羊，每天放羊结束都会卖掉一只羊。如果最初有30只羊，那么恰好11天吃完这片草；如果最初有25只羊，那么恰好21天吃完这片草。如果这片草地至少能供应15天，那么牧羊人最初放养的羊最多是 26 只。
【分析】不妨设每只羊每天吃草量为1，那么，如果最初有30只羊，其中吃了11天草的羊是30﹣11+1＝20（只），被卖掉的羊吃草天数分别为1、2、3••••••10，则它们共吃的草量是（20×11+1+2+3+•••••+9+10）×1＝275，同理，如果最初有25只羊，其中吃了21天草的羊是25﹣21+1＝5（只），被卖掉的羊吃草天数分别为1、2、3••••••19、20，则它们共吃的草量是（5×21+1+2+3+•••••+19+20）×1＝315，则每天草的生长量是（315﹣275）÷（21﹣11）＝4，这片草地原来的草量是：275﹣4×11＝231，设牧羊人最初放养的羊是x只，则得（x﹣15+1）×15+1+2+3+•••••+13+14＝231+15×4，解方程即可得到答案。
【解答】解：设每只羊每天吃草量为1，如果最初有30只羊，其中吃了11天草的羊数：
30﹣11+1＝20（只），
30只羊共吃的草量：
（20×11+1+2+3+•••••+9+10）×1＝275，
如果最初有25只羊，其中吃了21天草的羊数：
25﹣21+1＝5（只），
30只羊共吃的草量：
（5×21+1+2+3+•••••+19+20）×1＝315，
每天草的生长量：
（315﹣275）÷（21﹣11）＝4，
这片草地原来的草量：
275﹣4×11＝231，
设牧羊人最初放养的羊是x只，则得：
（x﹣15+1）×15+1+2+3+•••••+13+14＝231+15×4，
解得：x＝26.4。
答：牧羊人最初放养的羊最多是26只。
故答案为：26。
16．甲、乙、丙三个工程队要完成A、B两项工程，两项工程的工作量相同。甲、乙、丙单独完成A工程所需时间分别是10天、12天、20天。为了尽快同时完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程；经过若干天后，又调其中一队与甲队共同做A工程，调动途中花了整整2天的时间。那么，丙队与乙队共同做B工程的天数为 5 天。
【分析】设总工程量为最小公倍数简化计算，再根据时间线拆分各阶段工作量，最后通过联立方程求解。遇到“调队”这种分支情况，抓住“同时完成”的约束条件，并通过分类讨论锁定调队对象。即“调其中一队”的去向有两种可能，需要验证，整数解是唯一合理的答案，因此，调走的必然是丙队。明确此点即可轻松解答本题。
【解答】解：设A、B两项工程的总工作量均为1。则各队的工作效率为：
甲队：v甲＝，
乙队：v乙＝，
丙队：v甲＝，
设丙队与乙队共同做B工程的天数为x，根据题意，工程实施分为三个阶段：
第一阶段（x天）：甲独做A，乙丙合做B，
第二阶段（2天）：调走丙队，丙队在途中休息（不干活），甲独做A，乙独做B，
第三阶段（y天）：丙队加入A工程，甲丙合做A直至完成；同时乙队独做B直至完成。
甲队全程工作（x+2+y）天，丙队工作y天。则A工程总工作量方程为：
（x+2+y）+y＝1，
整理可得：2x+3y＝16……①
乙队全程工作（x+2+y）天，丙队仅工作x天。则B工程总工作量方程为：
x+（x+2+y）＝1，
整理可得：8x+5y＝50……②
联立①②可得：
，
解得：。
假设调走乙队，则解得x＝，结果非整数，不符合题意，
调走丙队，解得x＝5，为整数解，符合题意。
即丙队与乙队共同做B工程的天数为5天。
答：丙队与乙队共同做B工程的天数为5天。
故答案为：5。
17．在1～2025的所有正整数中，有 580 个整数n使得2n与n2被7除的余数相同。
【分析】2n被7除的余数按照“2、4、1”顺序重复排列，n2被7除的余数按照“1、4、2、2、4、1、0”顺序重复排列，计算3和7的最小公倍数，然后用2025除以最小公倍数，利用商和余数去解答。
【解答】解：2n被7除的余数按照“2、4、1”顺序重复排列，
n2被7除的余数按照“1、4、2、2、4、1、0”顺序重复排列，
3和7的最小公倍数：3×7＝21，
2025÷21＝96（个周期）……9（个），
一个周期内余数相同的有6个，
96×6+4
＝576+4
＝580（个）。
答：有580个整数n使得2n与n2被7除的余数相同。
故答案为：580。
18．如图，正方形ABCD的边长为51，E、F、G、H分别为所在边的四等分点，那么阴影部分面积为 1377 。
【分析】根据正方形的性质以及相似三角形的性质求出阴影正方形的边长，然后根据“正方形面积＝边长×边长”即可解答本题。
【解答】解：为便于表述，给图形标上字母，如下图所示：
因为E、F、G、H分别为所在边的四等分点，
所以AH＝BE＝•AB＝×51＝，
根据勾股定理可知，
BH＝＝，
根据同角的余角相等可知：
△BEI∽BHA，
所以＝，
即BI＝BA•＝51×＝3，
再次利用勾股定理可知，
EI＝＝＝，
因为△BEI≌AHJ，
所以HJ＝EI＝，
所以IJ＝BH﹣BI﹣HJ＝﹣3﹣＝9，
S阴影＝（9）2＝1377。
答：阴影部分面积为1377。
故答案为：1377。
19．有一台特殊的计算器，输入一个整数后，它会进行如下操作中的一种：
①将这个数+1；
②将这个数×2。
已知这两种操作发生的概率相同。现在小希将整数1输入计算器，输出一个结果后将这个结果再输入计算器，不断重复。在机器运行10次后得到一个数，这个数是奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用逆推，求出递推公式即可解答本题。设f（n）表示进行n次操作后得到奇数的概率，g（n）表示进行n次操作后得到偶数的概率。显然f（n）+g（n）＝1。初始输入为1（奇数），即n＝0时：f（0）＝1，g（0）＝0。若当前是奇数（概率f（n））：操作①（+1）：变为偶数，概率f（n）×，操作②（×2）：变为偶数，概率f（n）×，即奇数经过一次操作后必为偶数。若当前是偶数（概率g（n））：
操作①（+1）：变为奇数，概率g（n）×，操作②（×2）：变为偶数，概率g（n）×，即偶数经过一次操作后，得到奇数的概率为，得到偶数的概率为。因此递推公式为：
f（n+1）＝g（n）×，g（n+1）＝f（n）+g（n）×，据此计算机器运行10次后得到一个数是奇数的概率即可。据此解答。
【解答】解：设f（n）表示进行n次操作后得到奇数的概率，g（n）表示进行n次操作后得到偶数的概率。
显然f（n）+g（n）＝1。
初始输入为1（奇数），即n＝0时：
f（0）＝1，g（0）＝0，
若当前是奇数（概率f（n））：
操作①（+1）：变为偶数，概率f（n）×，
操作②（×2）：变为偶数，概率f（n）×，
即奇数经过一次操作后必为偶数。
若当前是偶数（概率g（n））：
操作①（+1）：变为奇数，概率g（n）×，
操作②（×2）：变为偶数，概率g（n）×，
即偶数经过一次操作后，得到奇数的概率为，得到偶数的概率为。
因此递推公式为：
f（n+1）＝g（n）×，
g（n+1）＝f（n）+g（n）×，
逐步计算如下：
f（0）＝1，g（0）＝0，
f（1）＝0×＝0，g（1）＝1+0×＝1，
f（2）＝1×＝，g（2）＝0+1×＝，
f（3）＝×＝，g（3）＝+×＝，
f（4）＝×＝，g（4）＝+×＝，
f（5）＝×＝，g（5）＝+×＝，
f（6）＝×＝，g（6）＝+×＝，
f（7）＝×＝，g（7）＝+×＝，
f（8）＝×＝，g（8）＝+×＝，
f（9）＝×＝，g（9）＝+×＝，
f（10）＝×＝。
答：在机器运行10次后得到一个数，这个数是奇数的概率为。
故选：A。
20．正整数A的2024倍和2025倍的因数个数相同，则A最小是 10 。
【分析】这个最小的正整数为A，则d（2024A）＝d（2025A），其中d（m）表示m的正因数个数，令A＝2a•3b•5c•11d•23e•M（其中M与2、3、5、11、23互质），则2024A＝2a+3•3b•5c•11d+1•23e+1•M，2025A＝2a•3b+4•5c+2•11d•23e•M，求出d（2024A）和d（2025A），令d（2024A）＝d（2025A），找出符合题意的a、b、c、d、e，求出最小的A即可。
【解答】解：这个最小的正整数为A，则：
d（2024A）＝d（2025A），
其中d（m）表示m的正因数个数，
即求最小的正整数A，
2024＝23×11×23，
2025＝34×52，
设A＝2a•3b•5c•11d•23e•M（其中M与2、3、5、11、23互质），
2024A＝2a+3•3b•5c•11d+1•23e+1•M，
2025A＝2a•3b+4•5c+2•11d•23e•M，
d（2024A）＝（a+3+1）（b+1）（c+1）（d+1+1）（e+1+1）d（M）＝（a+4）（b+1）（c+1）（d+2）（e+2）d（M），
d（2025A）＝（a+1）（b+4+1）（c+2+1）（d+1）（e+1）d（M）＝（a+1）（b+5）（c+3）（d+1）（e+1）d（M），
因为一个正整数的2024倍和2025倍的因数个数相同，
所以d（2024A）＝d（2025A），即：
（a+4）（b+1）（c+1）（d+2）（e+2）d（M）＝（a+1）（b+5）（c+3）（d+1）（e+1）d（M），
所以（a+4）（b+1）（c+1）（d+2）（e+2）＝（a+1）（b+5）（c+3）（d+1）（e+1），
要使A最小，尝试令M＝1（即A只含质因数2、3、5、11、23），且尽可能让指数小，
令d＝e＝0，即不含11和23的因子，则：
（a+4）（b+1）（c+1）（2）（2）＝（a+1）（b+5）（c+3）（1）（1），
所以4（a+4）（b+1）（c+1）＝（a+1）（b+5）（c+3），
尝试a＝0，则：
4（4）（b+1）（c+1）＝（1）（b+5）（c+3），
即16（b+1）（c+1）＝（b+5）（c+3），
尝试b＝0，则：
16（1）（c+1）＝（5）（c+3），
即16（c+1）＝5（c+3），此时c无解；
尝试b＝1，则：
16（2）（c+1）＝（6）（c+3），
即32（c+1）＝6（c+3），此时c无解；
尝试b＝2，则：
16（3）（c+1）＝（7）（c+3），
即48（c+1）＝7（c+3），此时c无解；
可见a＝0时无解。
同理尝试a＝1，则：
4（5）（b+1）（c+1）＝（2）（b+5）（c+3），
即20（b+1）（c+1）＝2（b+5）（c+3），
所以10（b+1）（c+1）＝（b+5）（c+3），
尝试b＝0，则：
10（1）（c+1）＝（5）（c+3），
即10（c+1）＝5（c+3），此时c＝1，
得到唯一解：a＝1，b＝0，c＝1，d＝0，e＝0。
此时对应的A＝21•30•51•110•230＝2×5＝10，
即2024A＝20240＝24•51•111•231，
d（2024A）＝（4+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）＝40，
2025A＝20250＝21•34•53，
d（2025A）＝（1+1）×（4+1）×（3+1）＝40，
符合题意。
是否有更小的A，
可以验证当A＝1～9时，均不符合题意。
即A＝10是最小的正整数。
答：正整数A的2024倍和2025倍的因数个数相同，则A最小是10。
故答案为：10。
21．如表所示，将由1，2，3，4组成的所有整数从小到大排在第一行；再将由0，1，2，3组成的所有整数从小到大排在第二行。在表格的前2025列中，共有 1577 列中的两个数的位数相同。
【分析】第一行数字只由1，2，3，4组成，第二行数字只由0，1，2，3组成，将两行数字从小到大依次排列并一一对应，求前2025列中两个数字位数相同的列数。按数字位数分类计算即可解答本题。
【解答】解：一位数：
第一行：1，2，3，4，共4个，
第二行：0，1，2，3，共4个，
相同位数列数：4列；
两位数：
第一行：4×4＝16（个），
第二行：3×4＝12（个），
相同位数列数：12列；
三位数：
第一行：43＝64（个），
第二行：3×42＝48（个），
相同位数列数：48列；
四位数：
第一行：44＝256（个），
第二行：3×43＝192（个），
相同位数列数：192列；
五位数：
第一行：45＝1024（个），
第二行：3×44＝768（个），
相同位数列数：768列；
前5位累计相同列数：
4+12+48+192+768＝1024（个），
六位数：
第2025列在6位数区间内的位置：
2025﹣1024＝1001，
此1001列均为6位数对应，位数相同。
总相同位数列数：
1024+1001＝1577。
答：在前2025列中，两个数字位数相同的共有1577列。
故答案为：1577。
22．六位同学站成一排照相，他们拍了若干张照片，每张照片中他们的排列顺序都不完全相同。对于任意的两位同学，记他们分别为A和B，满足A最多在一张照片中位于B左侧的相邻位置，B也最多在一张照片中位于A左侧的相邻位置。那么他们最多拍了 6 张照片。
【分析】把6位同学转化为6个顶点。把每张照片的排列转化为一条有向哈密顿路径（相邻两人对应一条从左到右的有向边）。题目条件即转化为：任意两个顶点之间的双向有向边（u一v和v一u）最多各出现1次。总可能的有向边数：6×5＝30（每个顶点可指向另外5个顶点），每张照片消耗的有向边数：6﹣1＝5（6人一排有5个相邻对），最大照片数：30÷5＝6，且可通过构造验证该值能实现。据此解答。
【解答】解：将六位同学看作6个顶点，每一张照片对应一个排列，
每一个排列中相邻两人从左到右构成一条有向边。
由题意，任意两人A，B，
有向边A→B与B→A在所有照片中最多各出现1次。
6个顶点之间共有有向边：
6×5＝30（条），
每张照片是6人一排，共有6﹣1＝5（个）相邻对，
即每张照片使用5条不同的有向边。
设最多可拍k张照片，则：
5k≤30，
即k≤6，
当k＝6时，恰好用完所有30条有向边，满足题目的所有限制条件，
故可以取到等号。
答：他们最多拍了6张照片。
故答案为：6。
23．甲、乙、丙三人从周长2千米的环形道路的同一点同时出发，每人环行两周。现有自行车两辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑。已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，三人骑车的速度都是每小时20千米。那么，要使三人和两辆自行车同时到达终点，三人环行两周最少要用 19.2 分钟。
【分析】每人环行2周，即2×2＝4（千米），3人共行4×3＝12（千米），若路是直的，2辆自行车只能行4×2＝8（千米），3人合走12﹣8＝4（千米），但因为是环行，则存在另一种可能性，即：2个骑车人乙和丙先套步行者甲1圈，然后乙或丙将车给甲，如果在剩下的路程里，甲骑车能够追上合用1辆车的乙和丙，就一定能找到一种走法，使3人2辆车同时到达，并且由于自行车多行了1圈，3人合走少1圈，而使时间最短。
【解答】解：甲先步行，乙、丙骑车，乙、丙追上甲时，时间是：
2÷（20﹣5）＝（小时），
甲走：5×＝（千米），
乙、丙则都骑了：2+＝（千米），
剩下的路程若甲全骑车，还需要：
（4﹣）÷20＝（小时），
乙、丙各走一半骑一半需要：
[（4﹣）÷2]÷20+[（4﹣）÷2]÷4＝+（小时），
这说明甲先到，应让甲再多走一段，让车给乙、丙，不妨设乙和丙分别多骑x千米，则甲少骑2x千米，保证3人2车同时到达，甲被套圈时还剩4﹣＝（千米），乙、丙各剩千米，乙、丙还应分别骑+x千米，走﹣x千米，甲则骑﹣2x千米，走2x千米，根据同时到达时间相等，列方程：
（﹣2x）÷20+2x÷5＝（+x）÷20+（﹣x）÷4，
解得：x＝，
套圈后还需要时间：
（+）÷20+（﹣）÷4＝（小时），
全程用时：
+＝（小时）＝19.2（分钟）。
答：最少用19.2分钟。
故答案为：19.2。
24．一个多位数，从它任意一位起连续的数字可以形成一些新数。例如，整数128可以形成的全部新数有1、2、8、12、28、128。若一个多位数按如上方式形成的新数都不是9的倍数，则称它是“安全数”。那么五位数中最大的无重复数字的“安全数”是 87643 。
【分析】能被9整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被9整除，那么它必能被9整除，据此推断即可。
【解答】解：形成的新数都不是9的倍数，即形成的所有新数数字和不是9的倍数，
则不含有数字9，且无重复数字的最大五位数是87654，但是765、54是9的倍数，所以不符合题意，
调整为87643。
答：五位数中最大的无重复数字的“安全数”是87643。
故答案为：87643。
25．正整数n是两个不同质数的乘积，且n的所有因数的平均数能被25整除，那么n的最小值是 398 。
【分析】正整数n是两个不同质数的乘积，设n＝a×b，a、b都是质数，n的所有因数是1、a、b、ab，它们的平均数能被25整除，即1+a+b+ab＝25×4×k；据此根据和一定，两数的差越大，乘积越小推断即可。
【解答】解：正整数n是两个不同质数的乘积，设n＝a×b，a、b都是质数，
n的所有因数是1、a、b、ab，
它们的平均数能被25整除，即1+a+b+ab＝25×4×k，
则1+a+b+ab＝100k，
整理为：（1+a）×（1+b）＝100k，
乘积是整百数，a最小是2，则（1+b）最小是整百数100，此时b＝99，99是合数，不符合题意，
a最小是3，则（1+b）最小是25、50、75、100、125、150、175，此时只有b＝149是质数，符合题意，
则n＝3×149＝447，
如果a最小是2，则（1+b）是整百数200，此时b＝199，199是质数，符合题意，
则n＝2×199＝398，
398＜447，
验证：1+2+199+398＝600，600÷4＝150，150能被25整除，符合题意，
所以n的最小值是398。
故答案为：398。1
2
3
4
11
12
13
……
0
1
2
3
10
11
12
……
题号
6
19
答案
C
A
1
2
3
4
11
12
13
……
0
1
2
3
10
11
12
……