云南省曲靖市重点高中2026届高三上学期期末考试 数学试卷(含解析）

这是一份云南省曲靖市重点高中2026届高三上学期期末考试 数学试卷(含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知为虚数单位，复数，则（ ）
A．
B．的虚部为
C．
D．在复平面内对应的点在第四象限
3．函数满足：，若，，则（ ）
A．1B．C．5D．
4．已知均值为10，方差为1，则的均值和方差分别为（ ）
A．20，2B．21，2C．21，4D．20，4
5．已知非零向量，，且，则在上的投影向量为（ ）
A．1B．C．D．
6．函数有且只有一个零点，则的取值是（ ）
A．B．C．D．
7．若圆和圆没有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．在中，是角所对的边长.若，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知抛物线的焦点为，为上的动点，为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A．B．数列的通项公式为：
C．数列的前n项和为：D．数列为递减数列
11．下面说法正确的是（ ）
A．若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4
B．若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等
C．已知是随机变量，则
D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1
三、填空题
12．已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则 .
13．已知边长为3的正的三个顶点都在球O的表面上，且与平面所成的角为，则球O的表面积为 .
14．已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则 .
四、解答题
15．近年来，我国大学生毕业人数呈逐渐上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业．某市统计了该市四所大学2024年毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到下表：
(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程；
(2)若大学的毕业生中小强､小华选择自主创业的概率分别为，求小强､小华至少有一人选择自主创业的概率．
参考公式：
16．设常数.已知函数.
(1)若，求在区间上的零点；
(2)若在上严格增，求的取值范围.
17．如图，在四棱锥中，，且．
(1)证明：平面平面；
(2)若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小．
18．已知圆，圆.若动圆与圆外切，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为.不过原点O的动直线与曲线交于两点，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若.
(1)求轨迹的方程；
(2)试问：直线OA，OB的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
(3)试问：四边形的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
19．已知函数，且曲线在点处的切线方程为.
(1)求实数的值.
(2)当时，证明：当时，.
(3)当时，若存在，使得成立，证明：.
参考答案
1．A
【详解】由题意，.
故选：A.
2．D
【详解】
所以，A错误；
因为，所以虚部为，B错误；
，C错误；
在复平面内对应的点为在第四象限，故D正确.
故选：D
3．D
【详解】由题意可得：，
用代替可得：，
两式相加得：.
所以，所以函数是以6为周期的周期函数.
所以.
又，所以.
所以.
所以.
故选：D
4．C
【详解】因为均值为10，方差为1，
所以的均值为，方差为.
故选：C.
5．C
【详解】因为，所以，即，
所以在上的投影向量为.
故选：C
6．B
【详解】由，可得.
令，则，
则当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，故，
且当时，；当时，，
因函数有且只有一个零点，
即函数的图象与直线有且只有一个交点，
故.
故选：B.
7．D
【详解】化圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25+k，
则k＞﹣25，圆心坐标为（3，4），半径为，
圆C1：x2+y2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．
要使圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，
则|C1C2|或|C1C2|，
即5或5，
解得﹣25＜k＜﹣9或k＞11．
∴实数k的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）．
故选：D．
8．B
【详解】因，设，则
由余弦定理知 ，
由正弦定理，
.
故选：B.
9．D
【详解】根据已知得到，圆，所以，圆的半径为，
抛物线的准线为，过点作，垂足为点，则，
由抛物线的定义可得，
所以，.
当且仅当、为线段分别与圆、抛物线的交点时，两个等号成立，
因此，的最小值为.
故选：D.
10．ACD
【详解】因为，
所以当时，，
两式相减得，所以，
又因为当时，满足上式，
所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误，
，
所以
，
故C正确；
因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列，
故D正确.
故选:ACD.
11．BC
【详解】A：由数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差，错；
B：对于等差数列，
若正整数，则，
若正整数，则，
又等差数列的平均数为，
结合中位数定义及等差数列的性质，易知中位数也为，对；
C：由于一组数据的方差，且，则，对；
D：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1，错.
故选：BC
12．/
【详解】由于，设，
由可得，即，
解得（负值舍），
故，
故答案为：
13．
【详解】设正的外接圆圆心为，
在中，
故球的表面积为
故答案为：
14．
【详解】由题意可设，，则，
，，，
则、中点与、中点均为，，
由，，，四点在同一个圆上，故为圆心，，
则，，
即有，则，又，则.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由题意知
关于的经验回归方程为：
（2）设小强､小华选择自主创业的概率分别为
小强､小华两人都没有选择自主创业的概率为
小强､小华至少有一人选择自主创业的概率．
16．(1)答案见解析
(2)
【详解】（1），当时，，
，
解得，即，
当时，，当时，.
（2），求导可得
即在上恒成立，即
当时，，，故，所以.
17．(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）因为在四棱锥中，，
所以，，
又，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）取中点，连结，
因为，所以，
由（1）知平面，平面，所以，
因为， 底面，
所以底面，
设，求得，，
因为四棱锥的体积为，
所以
解得，
所以，
因为底面，
所以为与平面所成的角，
在中，，
所以．
所以与平面所成的线面角为．
18．(1)
(2)不是，理由见解析
(3)是定值，
【详解】（1）设动圆的半径为R，动圆与圆外切，则，
又因为动圆与圆内切，结合图象可知：，，
所以，
由椭圆的定义可知，动点在以、为焦点，为长轴长的椭圆上，
设椭圆的方程为，半焦距为，
则，，，
又可知圆与圆内切，所以点C不能在切点处，即椭圆应去掉点，
曲线C的方程为.
（2）直线OA，OB的斜率乘积不是定值，理由如下：设，则，
因为，所以，进而，
由点F在曲线E上得,
所以,
又因为点A，B均在E上，即，带入上式得,
所以不为定值；
（3）因为点A，B均在E上，所以，
两式同向相乘得，整理得：,
由（2）知，带入上式解得：，
又因为
，
所以.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）.
曲线在点处的切线方程为.
（2）当时，，
在上恒成立，
在上单调递增，
当时，.
（3）当时，，
当时，存在成立，
，
得.
由（2）可知，当时，单调递增，
，即，
，
设，
则，
当时，，则，
，
，
.A大学
大学
大学
大学
2
3
5
6
0.1
0.3
0.5
0.7
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
D
C
C
B
D
B
D
ACD
题号
11









答案
BC