河北省张家口市2025_2026学年高二数学上学期11月期中测试含解析

这是一份河北省张家口市2025_2026学年高二数学上学期11月期中测试含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．在空间直角坐标系中，点的坐标为，则到平面的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．
3．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，，，若，，共面，则（ ）
A．0B．1C．2D．－1
5．一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知椭圆，过点的直线交于，两点，且是线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆，直线与圆相交，则直线被圆所截得的最短弦长为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知椭圆的离心率为，则的值可以为（ ）
A．B．C．2D．
10．已知圆，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，圆与圆有2条公切线
B．当时，是圆与圆的一条公切线
C．当时，圆与圆相交
D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为
11．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，点的轨迹为线段
B．当时，平面与平面的夹角为
C．当时，三棱锥的体积随变化而变化
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
三、填空题
12．过点与直线平行的直线方程为 ．
13．当直线被圆所截得的弦长最短时，实数 ．
14．已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知的三个顶点为，，．
(1)边的中垂线所在直线的一般式方程；
(2)求的外接圆的标准方程．
16．如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，．

(1)试用向量，，表示向量；
(2)若，，求的值．
17．已知长为4的线段的两个端点和分别在直线和上滑动．设线段的中点的轨迹为圆．
(1)求圆的方程；
(2)若直线过点且与圆相交于，两点，且（为圆的圆心）为直角三角形，求的方程．
18．如图，在四棱锥中，平面，底面是梯形，，，，．

(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．有人发现椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点．现有一椭圆，长轴长为6，从左焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，过的左、右焦点，分别作直线，，交于，两点，交于，两点，且．
①求证：当直线的斜率与直线的斜率都存在时，为定值；
②四边形面积的最大值．
1．D
根据题意，求得直线的斜率，得到，即可求解.
【详解】由直线，可得直线的斜率为，
设倾斜角为其中，则，可得．
故选：D．
2．B
根据坐标的定义可知.
【详解】由题意可知，点到平面的距离为该点横坐标的绝对值，即为2．
故选：B．
3．C
根据题意，转化为，结合椭圆的定义，即可求解.
【详解】由两点间距离公式，方程，
其表示的几何意义为点到与的距离之和，
即，则，
根据椭圆的定义，点点在以和为焦点的椭圆上，
其中，可得，则，
所以所求轨迹的方程为为．
故选：C．
4．C
由题可得，据此可得答案.
【详解】因为，，共面，所以可设，
即，则，解得，，．
故选：C．
5．C
利用光的反射性质求出点关于轴的对称点，再利用，的坐标求出反射光线的斜率，即可求解.
【详解】因为点关于轴的对称点为，
故，在反射光线所在的直线上，
所以，则直线方程为，即．
故选：C．
6．B
设出交点的坐标，利用点差法即可求解.
【详解】若线段轴，则线段的中点在轴上，不满足题意，所以直线的斜率存在，
设，，由题意可得，，
又两式相减，得，
所以，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：B．
7．A
确定直线过定点，结合时，弦长最短，即可求解.
【详解】将直线整理得，
由得，则直线过定点，
由得，圆心为，半径，
因为，
所以点在圆内部，
当直线被圆所截得的弦长最短时，，
此时弦长为，
故选：A．
8．B
利用坐标法设，由可得，根据几何意义列式求解即可.
【详解】设，则，，
因为，所以，即，
所以点在以为圆心，2为半径的圆上，又点在直线上，
所以直线与圆有公共点，则，
解得．
故选：B．
9．AC
根据题意，分焦点在轴上和焦点在轴上，结合椭圆的几何性质，列出方程，即可求解.
【详解】若焦点在轴上，则，且，，则，
所以离心率，解得；
若焦点在轴上，则，且，，则，
所以离心率为，解得．
故选：AC．
10．BD
根据圆的方程确定圆心和半径，进而得圆心距，再结合各项给定的半径，分析判断正误.
【详解】由可知圆心为，半径为2，
由可知圆心为，半径为，
两圆圆心距为，
A：当时，，圆与圆外离，有4条公切线，错误；
B：当时，与圆相切，又圆心到的距离为2，
即与圆也相切，所以是圆与圆的一条公切线，正确；

C：当时，，圆与圆外离，错误；

D：当时，，此时两圆相交，

圆的一般方程为，与圆的方程相减，
得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，正确．
故选：BD
11．ABD
将和都代入式子，得出点的运动轨迹，分析各个选项的对错，B选项,对角度可以用面与面的夹角定义，C选项，对于体积用线面平行分析，D选项，存在性问题可以用建系法做.
【详解】由题可知，点在矩形内部（含边界）．
对于A，当时，，即此时线段，
点的轨迹为线段，故A正确；
对于B，当时，，
取的中点分别为，则，所以，所以点的轨迹为线段，因为三棱柱为正三棱柱，所以平面，故，，
为平面与平面的夹角，因为为等边三角形，
为的中点，所以，故B正确；
对于C，当时，，所以，
故此时点的轨迹为线段，而，平面平面，
所以平面，则点到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故C错误；
对于D，当时，以为坐标原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
如图，

则，，，，
取，的中点分别为，，则，所以，
所以点的轨迹为线段．设，其中，
则，，因为平面，所以，
所以，此时与重合，故D正确．
故选：ABD．
12．
先根据过定点的平行关系设所求直线方程，再代入点坐标解出变量，从而求出直线方程．
【详解】设过点与直线平行的直线方程为，
代入点坐标，得，解得，
所求直线方程为．
故答案为：．
13．0
确定直线过定点，由时，弦长取最小值，即可求解.
【详解】直线的方程变形为，
则由得，
所以直线过定点．
圆，因为，
所以点在圆内．
设直线与圆交于，两点，
则当时，取最小值，
由，得，
解得．
故答案为：0．
14．
根据题意，得到圆心为椭圆的右焦点,连接，化简得到，结合椭圆的几何性质，即可求解.
【详解】由圆，可得的圆心为，半径为，
又由椭圆，可得，，则，
所以所以圆心为椭圆的右焦点,
因为直线过圆的圆心且与圆交于两点，
所以是圆的直径，且为的中点，所以，所以，
如图所示，连接，
可得：
因为点为椭圆上任意一点，所以．
由，所以．
故答案为：．

15．(1)
(2)
（1）先求线段的中点和直线的斜率，根据两直线垂直，可得线段中垂线的斜率，利用点斜式可得边的中垂线方程，再化成一般式即可.
（2）先判断的形状，再判断其外接圆圆心和半径，可得的外接圆的标准方程．
【详解】（1）由题意，，，
所以的中点坐标为，
直线的斜率，
所以边的中垂线所在直线的斜率为，
所以边的中垂线所在直线的方程为，
即直线.
（2），，，
，所以，即为直角三角形，
故的外接圆的圆心为的中点，即中点坐标为，
故圆心的坐标为，，
所以圆的方程为.
16．(1)
(2)
（1）由题意得到，再由即可求解；
（2）由，结合空间向量数量积的运算性质即可求解.
【详解】（1）因为点为的中点，
所以，
因为，所以，
所以
（2）由题意得，
故
．
17．(1)
(2)或．
（1）利用直接法求轨迹方程即可；
（2）利用勾股定理可得圆心到直线的距离为，分直线的斜率是否存在来讨论，利用点到直线的距离公式列式求解即可.
【详解】（1）设直线和的交点为，则，
．因为为线段的中点，则，
设，则，化简可得，
则圆的方程为.
（2）由（1），可得圆心，半径为2，
（为圆的圆心）为直角三角形，可得且，
所以可得圆心到直线的距离为，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线过圆心，显然不符合题意，
当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以，解得，
所以的方程为或.
18．(1)证明见解析
(2)存在，
（1）由平面得，利用勾股定理证明，根据线面垂直的判定定理得证；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解.
【详解】（1）因为平面，，，平面，
所以，，，
因为，，
所以，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，
因为，所以平面.
（2）由（1）易知，，，两两互相垂直，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
设，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即，取，，满足条件，
所以可取，
，，设平面的法向量为，
则，即，令，解得，，
所以，
由题意，
化简并整理得，解得（舍去），或，
所以，
综上所述，棱上存在一点，且，使得二面角的余弦值为.
19．(1)
(2)①证明见解析；②6
【详解】（1）因，分别是椭圆的左、右焦点，依题意，轴，
又因为，，所以，则，代入，
可得， 即，解得，
则椭圆的标准方程为；
（2）①设，，根据椭圆的对称性，有，
因为，都在椭圆上，所以，.
两式相减得，，
为定值，故得证；
②当的倾斜角为时，与重合，舍去；
当的倾斜角不为时，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，，
设直线的方程为，代入，得，
显然，则，．
所以，
设，所以．
所以．当且仅当即，即时等号成立，所以．
所以平行四边形面积的最大值为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
C
C
B
A
B
AC
BD
题号
11









答案
ABD