湖北省孝感市楚天协作体2026届高三下学期2月开学联考数学试卷及解析

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1. 若集合 A={x∈ℕ∣0≤x≤5},B={x∣2x−1∈A} ，则 A∩B= ( )
A. {0,1,2} B. {1,3,5} C. {1,2,3} D. {2,4,5}
2. 已知 i 为虚数单位，则 i2026−i 的虚部为( )
A. -1 B. 1 C. i D. −i
3. 已知 sinβ+csβ=−15,β∈0,π ，则 sinβ−csβ= ( )
A. 15 B. 75 C. −75 D. ±75
4. 若平面向量 a,b,c 两两的夹角相等，且 a=b=1,c=2 ，则 a+b−c= ( )
A. 3 B. 4 C. 3 或 0 D. 4 或 1
5. 若函数 fx=a−22x+1csx,a∈R 是奇函数，则 a 的值为( )
A. 2 B. -2 C. -1 D. 1
6. 已知圆 C:x2+y2−2x−4y−20=0 与直线 l:2m+1x+m+1y−7m−4=0 相交于 A,B 两点, 当 ∠ACB 最小时, m 的值为( )
A. −34 B. 34 c. 13 D. −13
7. 已知四面体 ABCD 满足 ∠ABC=90∘,∠BCD=120∘,ΔABC,ΔBCD 均为等腰三角形,若 AC=22,AD=4 ，则该四面体外接球的表面积为( )
A. 24π B. 20πC. 28π3 D. 26π3
8. 若 x3ex1+1=2x3lnx2=1 ，则下列不等关系一定不成立的是( )
A. x30 ，则 ac−a>bc−b
10. 下列说法中正确的有( )
A. 一组数据48,49,53,54,55,55,55,57的下四分位数为 51
B. 在成对样本数据分析中相关系数 r=0 ,表示两个分量之间没有线性相关关系
C. 经验回归方程为 y=0.839x+28.957,x=6 时的观测值为 34,则残差为 0.009
D. 将总体划分为两层,通过分层抽样,得到两层的样本平均数和样本方差分别为 x1,x2 和 s12,s22 ,若 x1=x2 ,则总体方差 s2=12s12+s22
11. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ， O 为坐标原点， F1 、 F2 分别是双曲线的左右焦点， P 是双曲线位于第一象限上的点， I 、 G 分别是 △PF1F2 的内心、重心，则下列说法正确的是( )
A. I 的横坐标为 a
B. 直线 PI 与双曲线相切
C. OI 的最大值是 c
D. 若 IG//x 轴,则 ∠PF2F1∈π3,π
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 设曲线 y=e2x+b 在点 0,eb 处的切线与直线 ex+2y+6=0 垂直，则 b= _____.
13. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左右焦点分别为 F1,F2 ,过右焦点 F2 且倾斜角为 π3 的直线交椭圆于 A,B 两点，满足 2AF2=F2B ，则椭圆 C 的离心率 e= _____.
14. 已知 2x+122x+123x+1⋯2nx+1=a0+a1x+a2x2+⋯+anxnn≥2,n∈N ,则 a0= _____； a2= _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知 a,b,c 分别为 △ABC 的内角 A,B,C 对边, a=2 且 2csC+23sinC−b−c=0 .
(1)求 A ；
(2)已知 D 是边 BC 的中点，求 AD 的最大值.
16. (15分)
如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是边长为2的正方形，侧面 PAD 是正三角形，侧面 PAD⊥ 底面 ABCD ， M 是 PD 的中点.
(1)求证: AM⊥ 平面 PCD ；
(2)试问在线段 PB 上是否存在一点 N ，使得平面 AMN 与底面 ABCD 所成夹角的余弦值为 64 ，若存在求出 PNPB 的值，若不存在，请说明理由.

17. (15 分)
2026 年被业界公认为 “具身智能元年”. 得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉一语言一动作大模型的成熟. 人工智能已经不再是概念和愿景, 而是开始真实地走进企业和家庭, 重新定义人类的工作和生活. 新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解, 举办知识竞赛活动. 活动分两轮进行, 第一轮通过后方可进入第二轮, 两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格. 已知小明、 小华、小方 3 位同学通过第一轮的概率均为 34 ,通过第一轮后通过第二轮的概率依次为 23、23、12 , 假设他们之间通过与否相互独立.
(1)求这 3 人中至多有 2 人通过第一轮的概率；
(2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；
(3)设这3人中通过第二轮的人数为 ξ ，求 ξ 的分布列及期望.
18. (17 分)
已知函数 fx=x+1lnx ，e为无理数且 e=2.71828……
(1)求 fx 在区间 1e,e 的最值；
(2)若 fx≥ax−1 对 ∀x∈[1,+∞) 恒成立，求 a 的取值范围；
(3)对于 ∀n∈N+ ，证明: i=ni=2n−122i+10 的焦点， P 是抛物线 C 上的一点且有 FP=0,2 .
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)已知点 T3,0 ，连接 P 、 T 并延长交抛物线 C 于另外一点 Q .
(i) 若抛物线 C 上有且仅有 3 个点 M1 、 M2 、 M3 使得 △M1PQ 、 △M2PQ 、 △M3PQ 的面积均为定值 S ,求 S 的值;
(ii) 已知点 A、B 是抛物线 C 上异于 P、Q 的两点,且 PQ 是 ∠APB 的角平分线. 请问直线 AB 是否过定点 G ,若过定点,求出 G 点的坐标,若不过定点,请说明理由.
高三数学试题参考答案
一、单选题
1.C[详解] ∵A={0,1,2,3,4,5},B=12,1,32,2,52,3,∴A∩B={1,2,3} .
2. A详解i2026−i=−1−i ,虚部为 -1
3.B [详解] ∵sinβ+csβ2=125∴2sinβcsβ=24250,csβ0>b 时不成立 D 项: ∵ac−a−bc−b=ca−bc−ac−b>0∴ac−a>bc−b
10.ABC[详解]
A 项: ∵8×14=2∴ 下四分位数为: 49+532=51 B 项: 相关系数 r=0 ,表示变量没有线性相关关系 C 项: ∵y6⏜=0.839×6+28.957=33.991∴ 残差 =y6−y6⏜=0.009D 项: 分层抽样各层占比不清楚,所以系数并不一定为 12
11.ABD[详解]如图所示,内切圆与 ΔPF1F2 三边的切点分别为 A、B、C ,延长 PI 交 F1F2 于 Q ,连接 F1I、F2I . 对于 A 选项: 由题意可知 PA=PB、F1B=F1C、F2C=F2A,∵F1C+F2C=2c,PF1−PF2=2a ,可知 F1C=a+c,∵IC⊥F1F2 ,所以内心 I 的横坐标为 a ,故 A 正确; 对于 B 选项: PI 与 ∠F1PF2 的外角平分线相互垂直,由双曲线的光学性质可知直线 PI 是双曲线在 P 点处的切线,故 B 正确; 对于 C : 设 Px0,y0x0>a,y0>0 , 则有 PF1=ex0+a,PF2=ex0−a ,其中 e 为双曲线的离心率,设内切圆的半径为 rr>0 ,则有 SΔPF1F2=12PF1+PF2+F1F2r=12F1F2⋅y0 ,化简可得 r1+x0a=y0 ,两边同时平方,代入 y02=b2x02a2−1 , 化简可得 r2=b2⋅x0−ax0+a0 ,则 fx 在 1e,e 单调递增, .3 分
所以 fxmin=f1e=−e+1e,fxmax=fe=e+1 . .5 分
(2)构造函数 gx=fx−ax−1=x+1lnx−ax−1x∈[1,+∞) ,
g′x=lnx+1x+1−a,g′1=2−a ,易知 g1=0 ,若 g′1=2−a2x−1x+1 在 1,+∞ 恒成立, .12 分
令 x=n+1n>1 ,则有 lnn+1n>2n+1n−1n+1n+1⇒lnn+1n>22n+1 恒成立, 14 分
∵ln2=lnn+1n+lnn+2n+1+lnn+3n+2+…ln2n2n−1 , .16 分
∴lnn+1n+lnn+2n+1+lnn+3n+2+…ln2n2n−1>22n+1+22n+3+…222n−2+1+24n−1 ,
即证 i=ni=2n−122i+1