安徽省部分地区2025-2026学年高二上学期期末过程性学科素质评价数学试卷（含答案）

这是一份安徽省部分地区2025-2026学年高二上学期期末过程性学科素质评价数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若函数fx在x=1处可导，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)4Δx=( )
A. f′4B. f′1C. 14f′1D. f′14
2.已知抛物线的方程为y=−8x2，则它的准线方程为( )
A. x=132B. y=132C. x=2D. y=2
3.已知直线l1:x+ay−2=0与l2:a−2x+3y+2a=0平行，则a的值为( )
A. −1B. 0C. 3D. −1或3
4.已知空间向量a=3,1,−5,b=−1,0,2,c=0,1,m，若a,b,c共面，则实数m的值为( )
A. 0B. −1C. 1D. ±1
5.已知圆：x2+(y−1)2=4，且圆上到直线3x−4y+n=0的距离为1的点恰有3个，则n的值为( )
A. −1B. −1或9C. 1或9D. 9
6.已知在数列an中，a1=1,n+1an=nan+1，则它的前30项的和为( )
A. 465B. 450C. 900D. 930
7.已知函数fx=1x，过点P1,0作曲线y=fx的切线，则此切线与y轴和直线y=x所围成的三角形的面积为( )
A. 85B. 45C. 12D. 1
8.已知双曲线的标准方程x2a2−y2b2=1a>0,b>0,O为坐标原点，过点A−a,0的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点B､C，且BA=3AC,AC=OA，则双曲线的离心率是( )
A. 5B. 5C. 3D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列an是等比数列，则下列说法一定正确的是( )
A. 数列an是等比数列B. 数列an⋅an+1是等比数列
C. 数列lgan2是等比数列D. 数列2an是等差数列
10.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60∘，则下列说法正确的是( )
A. AC1⊥平面A1BD
B. 直线AC1与直线A1B1所成角的正弦值为23
C. 点A到平面A1BD的距离为 63
D. 三棱锥A−A1BD的外接球体积为 68π
11.已知直线l与抛物线y2=4x相交于不同于原点的A,B两点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则下列结论正确的是( )
A. 直线l恒过定点4,0
B. 当AF=2时，AB=5 13
C. FA⋅FB0的焦点为F，过点F的直线与C交于A､B两点(A在第一象限)，点M2p,0，若AF=AM，则直线AB的斜率为 ．
14.已知正项数列an满足a1=1,an+2+anan+1=2anan+2，且a1a2+a2a3+a3a4=2，若存在n∈N∗，使得i=1naiai+1=5，则n= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
动点Mx,y到定点F3,0的距离与到定直线l:x=43的距离之比为32．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若点F′−3,0，且MF′⊥MF，求▵MF′F的面积．
16.(本小题15分)
已知等比数列an的前n项和为Sn，且12an+1=Sn+1n∈N∗．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=n+1⋅an，求数列bn的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
如图，已知∠ACB=90∘,AC=BC=BD=2,BD//CE，且BD=μCE,BD⊥平面ABC,F为AD的中点．
(1)若EF⊥平面ABD，求μ的值；
(2)若P为▵ABD的重心，求三棱锥A−PBC的体积；
(3)已知平面ADE与平面ABC的夹角为60∘，求直线AC与平面ADE所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
在数列an中，a1=1,an+1n+1=ann+1nn+1n∈N∗．
(1)求数列an的通项公式；
(2)不等式an≤13λ2n2+n−1对一切n∈N∗恒成立，求λ的最小值；
(3)若对数列an，在ak与ak+1之间插入2k−1k∈N∗个2，组成一个新数列bn，求数列bn的前2026项和T2026．
19.(本小题17分)
已知椭圆的标准方程x2a2+y2b2=1a>b>0，离心率为12，过左焦点F且与x轴垂直的直线被椭圆所截得的弦长为3．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)O为坐标原点，不过原点的直线l:y=kx+m与椭圆交于点Ax1,y1,Bx2,y2．
(i)若k=m=1，点E在椭圆上，且OE=λOA+OB，求λ的值；
(ii)若直线OA､OB的斜率分别为k1､k2.且k2=k1k2.证明：|OA|2+|OB|2为定值．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.C
5.B
6.A
7.A
8.D
9.AB
10.ACD
11.ABD
12. 3
13.2 103
14.30
15.(1)因为动点Mx,y到定点F3,0的距离与到定直线l:x=43的距离之比为32．
所以 (x−3)2+y2x−43=32，4(x−3)2+y2=9x−432，
4(x−3)2+y2=9x2−24x+16，4x2−24x+36+4y2=9x2−24x+16，
5x2−4y2=20，得：x24−y25=1；
故动点M的轨迹方程为x24−y25=1．
(2)因为点M在双曲线上，所以MF′−MF=2a=4，FF′=2c=2 4+5=6
所以在Rt▵MF′F中，FF′2=MF′2+|MF|2，如图：
∴36=MF′−MF2+2MF′⋅MF，∴MF′⋅MF=10，
∴S▵MF′F=12MF′⋅MF=5．
故▵MF′F的面积为5．

16.(1)∵12an+1=Sn+1,∴Sn=12an+1−1，
当n=1时，12a2=S1+1，即12a2=a1+1，①
当n≥2时，Sn−Sn−1=12an+1−1−12an−1=12an+1−12an，
∴an=12an+1−12an⇒an+1an=3，
∵an是等比数列，∴公比q=3,∴a2=3a1②
将②代入①得：32a1=a1+1⇒a1=2，
∴an是以2为首项，3为公比的等比数列，
∴an=2⋅3n−1n∈N∗．
(2)依题意，bn=n+1⋅2⋅3n−1=2n+1⋅3n−1，
∵Tn=b1+b2+b3+⋯+bn，
∴Tn=22×30+3×31+4×32+⋯+n+1×3n−1③.
将③×3得
∴3Tn=22×31+3×32+4×33+⋯+n×3n−1+n+1×3n④.
由③−④得
∴−2Tn=22+31+32+⋯+3n−1−n+1×3n，
∴−Tn=2+31−3n−11−3−n+1×3n，
∴−Tn=2+323n−1−1−n+1×3n，
∴Tn=12+n⋅3n−12．

17.(1)取AB中点O，连接OF,OC，
∵BD⊥平面ABC,BD⊂平面ABD，∴平面ABC⊥平面ABD，
∵▵ABC为等腰直角三角形，∴CO⊥AB，
∵平面ABC∩平面ABD=AB,CO⊂平面ABC,∴CO⊥平面ABD，
又EF⊥平面ABD，∴EE//CO，
∵CE//BD，F为AD中点，∴OF//BD，且OF=12BD,∴OF//CE，
∴四边形OFEC为平行四边形，
∴CE=OF=12BD,∴μ=2；
(2)因为BD⊥平面ABC，OF//BD，所以OF⊥平面ABC，
因为AB,OC⊂平面ABC，所以OF⊥CO,OF⊥AB，
又CO⊥AB，故以O为坐标原点，以OC,OA,OF为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A0, 2,0，C 2,0,0，E 2,0,2μ，D0,− 2,2，B0,− 2,0
∴S▵ABC=12×2×2=2,∵P为▵ABD的重心，
则xP=xA+xB+xD3=0,yP=yA+yB+yD3=− 23zP=zA+zB+zD3=23，
∴VA−PBC=VP−ABC=13⋅S▵ABC⋅zP=13×2×23=49；
(3)由(2)知，AE= 2,− 2,2μ,AD=0,−2 2,2,AC= 2,− 2,0
设平面ADE的法向量为m=x,y,z，
m⋅AE=0m⋅AD=0即 2x− 2y+2μz=0−2 2y+2z=0，令z=2，则m= 2−2 2μ, 2,2，
易知平面ABC的一个法向量为n=0,0,1，
∴m⋅n=2,m= 21−2μ2+6,n=1，
又∵平面ADE与平面ABC的夹角为60∘，
∴cs60∘=m⋅nm⋅n，即12=2 21−2μ2+6，
∴μ=2 5+1= 5−12,∴m=− 10, 2,2，
设直线AC与平面ADE所成角为θ，
则sinθ=csAC,m=AC⋅mAC⋅m=−2 5−22×4= 5+14．
故直线AC与平面ADE所成角的正弦值为 5+14

18.(1)∵an+1n+1=ann+1nn+1⇒an+1n+1=ann+1n−1n+1⇒an+1n+1+1n+1=ann+1n，
∴ann+1n是常数列，
∴ann+1n=a11+1=2，
∴an=2n−1n∈N∗；
(2)依题意，2n−1≤13λ2n2+n−1对一切n∈N∗恒成立，
⇔λ≥62n+1对一切n∈N∗恒成立，即λ≥62n+1max，
∵n>0,∴y=62n+1是单调递减，
∴当n=1时，62n+1最大，即62n+1max=62×1+1=2，
∴λ≥2,∴λ的最小值为2．
(3)由(1)知an=2n−1，
∴在数列bn中，从a1项开始到ak项为止，共有k+20+21+⋯+2k−2=k+2k−1−1项.
当k=11时，11+210−1=10342026，
∴数列bn前2026项包含数列an的前11项，即有2026−11=2015个2，
∴T2026=1+3+5+⋯+21+2×2015=1+21×112+4030=4151．

19.(1)如图，依题意，F−c,0,MN=3，
令x=−c，则c2a2+y2b2=1⇒y=±b2a,∴MN=2b2a，
∴ca=122b2a=3a2=b2+c2⇒a=2b= 3c=1,
∴椭圆的标准方程为：x24+y23=1．
(2)(i)∵k=m=1,∴l:y=x+1，
∴联立y=x+1x24+y23=1消去y得：7x2+8x−8=0，
∴x1+x2=−87x1⋅x2=−87,∴y1+y2=x1+1+x2+1=−87+2=67,
∵OE=λOA+OB=λx1+x2,λy1+y2=−87λ,67λ，
∴E−87λ,67λ，又∵E在椭圆上，
∴−87λ24+67λ23=1，
∴4λ2=7⇒λ=± 72;
(2)(ii)由题可得，联立y=kx+mx24+y23=1消去y得：3+4k2x2+8kmx+4m2−12=0，
∴Δ=64k2m2−44m2−123+4k2>0，化简得：4k2−m2+3>0，
∴x1+x2=−8km3+4k2x1⋅x2=4m2−123+4k2∴y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+kmx1+x2+m2,
∵k1=y1x1,k2=y2x2，且k2=k1k2，
∴k2=y1y2x1x2=k2+kmx1+x2+m2x1x2⇔kmx1+x2+m2x1x2=0⇔kmx1+x2+m2=0，
∴km⋅−8km3+4k2+m2=0,∵l不过坐标原点，∴m≠0，
∴解得k2=34,∴x1+x2=±2 33m,x1x2=23m2−2，
∴OA|2+OB|2=x12+y12+x22+y22
=x12+x22+3−34x12+3−34x22
=14x12+x22+6
=14x1+x22−2x1x2+6
=1443m2−43m2+4+6=7,
∴得证|OA|2+|OB|2为定值．