2025-2026学年北京市房山区北京师范大学燕化附属中学高二上学期期中考试数学试卷

这是一份2025-2026学年北京市房山区北京师范大学燕化附属中学高二上学期期中考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1．经过点且斜率为1的直线方程为
A．B．C．D．
2．已知两个向量，且，则（ ）
A．B．
C．D．
3．圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．相交D．外切
4．已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线与圆相交于两点，则（ ）
A．B．C．D．
8．“”是“直线与平行”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知圆，从点观察点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是（ ）

A．B．
C．D．
10．《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为 .
12．若直线与垂直，则实数m＝ ．
13．在空间直角坐标系中，已知点，若点在平面内，写出一个符合题意的点的坐标 .
14．某景观亭（如图1）的上部可视为正四棱锥（如图2）．已知长为4米，且平面平面，则顶点S到直线的距离为 米；正四棱锥的侧面积为 平方米．
15．如图，在长方体中，，动点分别在线段和上．给出下列四个结论：
①四面体的体积为；
②可能是等边三角形；
③当时，；
④有且仅有两组，使得三棱锥的四个面均为直角三角形．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点．
(1)求的值：
(2)求直线和MN所成角的大小．
17．设直线l过点A（-1，3），且和直线平行．
(1)求直线l的方程；
(2)设l与x轴相交于点B，求直线l绕点B逆时针旋转90°所得的直线方程．
18．如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，，M为PO的中点，.
(1)求证：平面EAC；
(2)求：（i）直线DM到平面EAC的距离；
（ii）求直线MA与平面EAC所成角的正弦值.
19．在平面直角坐标系内有三个定点，，，记的外接圆为．
(1)求圆的方程．
(2)若过原点的直线与圆相交所得弦的长为，求直线的方程．
20．如图，在四面体中，平面，点为中点，且，，.
(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在；求的值；若不存在，请说明理由.
21．已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为.
(1)求的值及的面积；
(2)若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.
参考答案
11．
12．6
13．（答案不唯一）
14．
15．①③
16．
（1）由题易知，
所以．
（2）设直线和MN所成角为，
又
，
，所以，
又，所以，
所以直线和MN所成角的大小为．
17．
（1）解：由题意得：
直线l和直线平行
直线l的方程为：，解得：．
（2）l与x轴相交于点B（3，0）
直线l绕点B逆时针旋转90°所得的直线方程的斜率为：．
直线方程：，化简得：．
18．
（1）证明：连接BD，则O是BD的中点，且.
在正四棱锥中，平面ABCD，，，所以，，以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，，，
，，，
设平面EAC的法同量，则,即，取，得，
∵，∴，∵DM在平面EAC外，∴平面EAC.
（2）（i），∴直线DM到平面EAC的距离.
（ii），则，
∴直线MA与平面EAC所成角的正弦值为.
19．
（1）设圆的方程为，因、、都在圆上，
则，解之得，
所以圆的方程为.
（2）由（1）知，圆的圆心为，半径，
显然圆E与y轴相切，则直线的斜率存在，设直线方程为，则圆心到直线的距离为，
而直线与圆相交所得弦的长为，则，因此，解得或，
所以直线的方程是或．
20．
（1）因为，则，即，
又因为平面，平面，则，
且，平面，
可得平面，
由平面，可得.
（2）以A为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得,
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
则，
所以平面和平面夹角的余弦值为.
（3）设，
设，则，得，
即，可得，
平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
由题意，，
整理可得，解得或，
所以存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时或2.
21．
（1）由题意可知直线的方程为，
则联立与可求出点坐标为，
又因点P为线段的中点，所以可得，
即，所以可得，
由可知圆心，所以到直线的距离，
又因圆半径为，根据勾股定理可求得，
所以线段，
又因原点到直线距离为，所以线段上的高为，
所以.
（2）由圆与轴交于两点，得，
不妨设直线的方程为，其中，
在直线的方程中，令，可得，
因为，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
则线段的中点为，圆的半径平方为，
所以以线段为直径的圆的方程为，
即，由，解得，
因此当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
B
C
A
D
C
D
D