【数学】安徽县域高中联盟2025-2026学年高二上学期期末试题（A卷 ）（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为全集，集合，
所以.
故选:C.
2. 在复平面内，复数z对应的点为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题知，所以.
故选：D.
3. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】B
【解析】由正弦定理，得.
又，所以，所以.
故选：B.
4. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】向量在向量上的投影向量为.
故选：B.
5. “”是“，两点到直线：的距离相等”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】若，两点到直线：的距离相等，
则，
即，
解得或，
所以“”是“，两点到直线：的距离相等”的充分不必要条件，
故选：A.
6. 已知圆经过抛物线的焦点，且与直线相切于坐标原点，则圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由抛物线得焦点，
又圆经过并与直线相切于原点，
设圆心，半径，圆过且在此点与直线相切，
说明直线，
直线的斜率，则的斜率，
垂直条件：，，
且在圆上，所以，即，
经过：则，
代入和得：
展开得：，即，
即
故，，
由圆心为，半径，圆的方程为
故选：C.
7. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】数列中，，当时，，
则当时，，
而满足上式，因此，，
则，
所以.
故选：D.
8. 已知函数的部分图象如图所示，，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】设交轴于点，直线的方程为，令，解得，所以，
由图象的对称性，知点在函数的图象上.
设，由，解得，
所以的最小正周期，故，解得，
所以，因为点是图象的一个最高点，
所以，结合，解得，
所以，则.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知一组样本数据：4，5，6，8，9，10，则下列说法正确的是（ ）
A. 该组样本数据的极差为6
B. 该组样本数据的平均数为7
C. 该组样本数据的第60百分位数为7
D. 从该组数据中任取两个数，则这两个数的乘积大于50的概率为
【答案】ABD
【解析】由题知，该组样本数据的极差为，A正确；
平均数为，B正确；
因为，故第60百分位数为第4个数据8，C错误；
从该组数据中任取两个数，则样本空间
，
，共15个样本点，
其中乘积大于50的样本点有，共5个，
所以，D正确.
故选：ABD.
10. 设数列前项和为，若，且，则（ ）
A. 数列为等比数列B. 数列是递增数列
C. D. 数列是等比数列
【答案】AB
【解析】因为，
所以即，
所以数列是以3为首项和公比的等比数列，且数列是递增数列，故AB正确；
数列的前项和为，则，
所以由得，故C错误；
因为，所以常数，
所以数列不是等比数列，故D错误.
故选：AB.
11. 已知函数的定义域为R，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 函数是奇函数
C. 若，则D. 若，则
【答案】AD
【解析】对于A，取，得，取，得，
所以，，A正确；
对于B，，
函数不是奇函数，B错误；
对于C，取，得，
所以
，
所以，，
若，则，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______.
【答案】
【解析】因为四点共面，所以，解得.
故答案：.
13. 记等差数列的前项和分别为．若，则___________．
【答案】
【解析】因为数列为等差数列且，
所以.
故答案为：.
14. 已知点是椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一个动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】由题可知，设，则，
所以，
因为函数的图象对称轴为，图象开口向上，
又由题意知当即时有，且，
所以，即，故满足题意的实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）记为数列的前n项和，求时n的值.
解：（1）设等差数列的公差为d，由题知
解得
所以
（2）由（1）可得.
当时，，即，解得或.
故当时，n为1或10.
16. 已知圆经过三点．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程．
解：（1）设圆M的方程为，
则由题有，
所以圆的方程为，
则圆的标准方程.
（2）由题可知点在圆内，圆的圆心为、半径，
当直线l的斜率不存在时，其方程为，圆心到该直线的距离为3，
此时弦长，不合题意，
所以直线的斜率存在，设直线，即，
又，所以圆心到直线距离或.
所以直线的方程为或.
17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，为线段上一点，
（1）求平面与平面夹角余弦值；
（2）若，求点到平面的距离．
解：（1）取的中点，连接，则，
因为，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，连接，因为平面，所以，
又，所以，所以可建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题，
所以，
设平面的一个法向量为，则，
所以，即，取，则，
同理可得平面的一个法向量为，
平面与平面夹角的余弦值为；
（2）若，则，
又由（1）平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.
18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点．
（1）求的方程；
（2）若线段的中点坐标为，求直线的方程；
（3）若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求．
解：（1）由题可得，所以的方程为；
（2）设，则，
所以，
所以直线的方程为即；
（3）由（1）得，
当直线斜率不存在时，直线，代入双曲线方程得，
此时的面积为，不符合，
所以直线斜率存在，设直线，
联立得，
则，所以，
所以，
又点M到直线的距离为，
所以（舍去）或，
则，，
所以．

19. 已知数列满足且．
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）令，记的前项和为，证明：．
（1）证明：因为且，
所以，即
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以.
（2）解：由（1），
所以数列的前项和
；
所以，
所以，
所以，
所以；
（3）证明：，
所以的前项和为
.