河南省信阳市2025-2026学年高三（上）期末数学试卷

这是一份河南省信阳市2025-2026学年高三（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合U={x∈N|00,b>0)与双曲线C2：y2b2−x2a2=1(a>0,b>0)互为共轭双曲线，设它们的离心率分别为e1和e2，则e1⋅e2的最小值为( )
A. 2B. 2 2C. 3D. 2 5
6.“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的偶数个数是( )
A. 75B. 66C. 60D. 36
7.已知函数f(x)=lg2(x2−1)，g(x)=x2−2x+a，若对于任意x1∈[ 2, 5)，存在x2∈[2,4]，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是( )
A. (−6,0]B. (−6,1]C. [−6,1]D. [−6,0]
8.设无穷等比数列{an}的首项a1>0，记数列{an}的前n项和为Sn，则“{Sn}为递增数列”是“∀n∈N*，S2n>2Sn”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 在一个有限样本空间中，假设P(A)=P(B)=13，且A与B相互独立，则P(A∪B)=23
B. 已知随机变量ξ～B(4,14)，则E(3ξ−2)=1
C. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=9.850，依据α=0.01的独立性检验(χ0.012=6.635)，可判断X与Y独立
D. 若随机变量X～N(5,σ2)，且P(X≥3)=4P(X≥7)，则P(30B. 2α−β4α+βD. sinα>sinβ
11.中国结是一种传统的民间手工艺术，它有着复杂奇妙的曲线，带有浓厚的中华民族文化特色.用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中“∞”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把到两个定点F1(−a,0)，F2(a,0)距离之积等于a2(a>0)的动点轨迹称为双纽线.已知两定点F1(−2,0)，F2(2,0)，动点P(x0,y0)满足|PF1|⋅|PF2|=4，设P的轨迹为双纽线C，则下列结论正确的是( )
A. 双纽线C的方程为(x02+y02+4)2−16x02=16
B. 双纽线C上任意一点到坐标原点O的距离最大值为3
C. 双纽线C内(含边界)的整点(横、纵坐标均为整数的点)个数为5个
D. 点Q在椭圆x26+y22=1上，若F1Q⊥F2Q，则Q∈C
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(3+2x2)(1−2x)5的展开式中，x3的系数为 ．
13.已知函数f(x)=ex+2x+b，若直线3x−y+5=0为曲线y=f(x)的一条切线，则b= ．
14.已知α,β∈(0,π2)，cs2α−cs2β=25，cs(α+β)=2 23，则tan(α−β)= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acsC+12c=b．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC边BC上的中线AD的长度为 6，求△ABC面积的最大值．
16.(本小题15分)
设数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列.已知b1=2a1=2，b2=a2+2，b3=2a3+2．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn=lg2b2n−1−14，求数列{|cn|}的前n项的和Tn．
17.(本小题15分)
在马年新春到来之际，某商场举办抽奖活动，方案如下：
1号不透明盒中放有标着“马”“骏”“龙”字样的小球，2号不透明盒中放有标着“到”“驰”“腾”字样的小球.顾客先从1号盒中随机取出1个小球，再从2号盒中随机取出1个小球.若这两个球上的字恰好组成“马到”，“骏驰”，“龙腾”中的一个词语，则该顾客中奖；否则未中奖，每位顾客只能抽奖一次，且各人抽奖结果相互独立.已知顾客从任一盒中抽到每个球的概率均为13．
(1)求一名顾客中奖的概率．
(2)若小明一家三口都参加该抽奖活动，记小明全家中奖的人数为X，
(i)求X的分布列及数学期望；
(ii)已知对任意随机变量Y，若其数学期望E(Y)、方差D(Y)均存在，则对任意正实数a，有P(|Y−E(Y)|≥a)≤D(Y)a2，该不等式称为切比雪夫不等式.若要求有不低于76%的把握使|X−1|0，关于x的不等式xf(x)≤ea2在[a,+∞)上有解，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，F′，F为其左、右焦点，且短轴长为2 3，若点P(x0,y0)为椭圆C在第一象限的点，满足直线PA、PB的斜率之积为−34．
(1)求椭圆C的方程．
(2)若点P(x0,y0)关于原点的对称点为Q．
(i)设点Q到直线PF，PF′的距离分别为d1，d2，求d1d2的取值范围；
(ii)设椭圆C在P(x0,y0)处的切线为l，射线QF交l于点T.求证：∠FTP=∠TPF．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合U={x∈N|05%，
所以芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事芯片、软件行业的总人数多，故选项D正确．
故选：D．
对于A，不知道“80后”从事技术岗位的人数的比例，故无法比较；由图1可判断B；求出芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占比即可判断C；求出“90后”从事市场岗位的人数占比可判断D．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为共轭双曲线C1和C2的半焦距相等，
记双曲线C1和C2的半焦距c，且a2+b2=c2，
此时e1=ca，e2=cb，
所以e1⋅e2=ca⋅cb=c2ab=a2+b2ab=ab+ba≥2 ab⋅ba=2，
当且仅当ab=ba，即a=b时，等号成立，
所以e1⋅e2的最小值为2．
故选：A．
依题意共轭双曲线C1和C2的半焦距相等，记为c，则e1⋅e2=c2ab，再由a2+b2=c2及基本不等式计算可得．
本题考查圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，满足条件的四位数需满足：千位为 7 或 8，且个位为偶数(即 2、4、8 之一)，
分2种情况讨论：
①千位为 7：个位从2、4、8中任选1个，有3种选法；
百位和十位从剩余 4 个数字中，有A42=12种选法，
此时有3×12=36个符合题意的数字；
②千位为8，个位只能从2、4中选1个，有2种选择；
百位和十位从剩余 4 个数字中，有A42=12种选法，
此时有2×12=24个符合题意的数字；
共有36+24=60个符合题意的数字．
故选：C．
按千位数分别是7，8，分类讨论，再按分步乘法计数原理可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：依题意，函数f(x)=lg2(x2−1)在[ 2, 5)上的值域包含于函数g(x)=x2−2x+a在[2,4]上的值域，
函数t=x2−1在[ 2, 5)上单调递增，函数y=lg2t在(0,+∞)上单调递增，
因此函数f(x)在[ 2, 5)上单调递增，函数f(x)在[ 2, 5)上的值域为[0,2)，
当x∈[2,4]时，g(x)=(x−1)2+a−1∈[a,a+8]，则[0,2)⊆[a，a+8]，
即有a≤0a+8≥2，解得−6≤a≤0，所以实数a的取值范围是[−6,0]．
故选：D．
求出函数f(x)在[ 2, 5)上的值域，g(x)在[2,4]上的值域，再利用集合的包含关系列式求解．
本题考查函数恒成立问题与利用导数求解函数的最值，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，无穷等比数列{an}的首项a1>0，当q=1时，有an=a1>0，
此时Sn−Sn−1=an>0，数列{Sn}为递增数列，
S2n=2na1=2Sn，不满足S2n>2Sn，充分性不成立，
反之，若∀n∈N*，S2n>2Sn，
当q=1时，S2n=2na1=2Sn，不满足S2n>2Sn，故q≠1；
故∀n∈N*，S2n>2Sn，则a1(1−q2n)1−q>2⋅a1(1−qn)1−q，
所以a1(1−qn)(1+qn)1−q>2⋅a1(1−qn)1−q，
结合a1>0，得(1−qn)(1+qn)1−q>2⋅(1−qn)1−q，
故(1−qn)1−q(1+qn−2)>0，即(1−qn)21−q1，
又因为a1>0，所以an+1=a1qn>0，则Sn+1−Sn=an+1>0，
所以数列{Sn}是递增数列，故必要性成立．
故“{Sn}为递增数列”是“∀n∈N*，S2n>2Sn”的必要不充分条件．
故选：B．
q=1时验证充分性不成立，结合前n项和公式验证即可．
本题考查等比数列前n项和的性质和应用，涉及充分必要条件的判断，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于选项A：因为A与B相互独立，且P(A)=P(B)=13，
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=13+13−19=59，所以A选项错误；
对于选项B：因为随机变量ξ～B(4,14)，则E(ξ)=4×14=1，
所以E(3ξ−2)=3E(ξ)−2=1，所以B选项正确；
对于选项C：因为χ2=9.850>6.635=χ0.012，
根据依据α=0.01的独立性检验原则，可知分类变量X与Y相关，所以C选项错误；
对于选项D：因为随机变量X～N(5,σ2)，且3+72=5，
则P(X≥3)=12+P(31，则ln(α−β+1)>0，A正确；
对于B，2α>2β，2α+α>2β+β，因此2α−β>2β−α，B错误；
对于C，(α+β)(1α+1β)=2+αβ+βα>2+2 αβ⋅βα=4，C正确；
对于D，由函数y=sinx在(0,+∞)上不单调，得由α>β>0不能推出sinα>sinβ，D错误．
故选：AC．
构造函数f(x)=2x+sinx，x>0，利用导数确定单调性，由已知不等式可得α>β>0，再结合指数、对数及正弦函数单调性判断ABD；利用基本不等式“1”的妙用求解判断C．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于 A：因为|PF1|⋅|PF2|=4，
所以[(x02+2)2+y02][(x0−2)2+y02]=16，
化简可得(x02+y02+4)2−16x02=16，故A正确；
对于B：由y02=−x02+4 x02+1−4≥0，
得x02+4≤4 x02+1，则x04≤8x02，
解得−2 2≤x0≤2 2，即P的横坐标最大值是2 2，
所以x02+y02=4 x02+1−4≤8，
双纽线C上任意一点到坐标原点O的距离d= x02+y02≤2 2，故B错误；
对于C：当x02=4时，y02=−4+4 5−40，y0>0，
因为直线PA、PB的斜率之积为−34．
所以y0x0+a⋅y0x0−a=y02x02−a2=b2(1−x02a2)x02−a2=−b2a2=−34，
解得a2=4，
所以椭圆的方程为x24+y23=1．
(2)(i)由椭圆对称性知，四边形PFQF′为平行四边形，则S△PF′Q=S△PFQ，
即12|PF|⋅d1=12|PF′|⋅d2，
于是d1d2=|PF′||PF|=2a−|PF||PF|=4|PF|−1，
又x024+y023=1，
x0∈(0,2)，则|PF|= (x0−1)2+y02= (x0−1)2+3−34x02= (12x0−2)2=2−12x0，
则|PF|∈(1,2)，1