2025-2026学年甘肃省天水市张家川实验中学高三（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年甘肃省天水市张家川实验中学高三（上）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z满足z=4i1+i，则z在复平面内的对应点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知平面α//β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=7，a10=2，则S14=( )
A. 49B. 63C. 70D. 126
4.平面内点P到F1(0,−2)，F2(0,2)的距离之和是8，则动点P的轨迹方程是( )
A. x212+y24=1B. x216+y212=1C. y212+x24=1D. y216+x212=1
5.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线BA1与DD1所成角的大小为( )
A. π2
B. π3
C. π4
D. π6
6.在区间(0,+∞)上是减函数的是( )
A. y=3x+1B. y=3x2+1C. y=2xD. y=x2+x
7.底面半径为 3，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为( )
A. 6πB. 12πC. 8πD. 16π
8.已知点P为抛物线y2=2px(p>0)上一动点，点Q为圆C:(x+2)2+(y−4)2=1上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若|PQ|+d的最小值为3，则p=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线C：y2=m( x2−4)，其中m为非零常数，则下列结论中正确的是( )
A. 当m=−1时，曲线C是一个圆 B. 当m>0时，曲线C是一个双曲线
C. 当m=−3时，曲线C是焦点为(0,±2 2)的椭圆 D. 若曲线C是离心率为 22的椭圆，则m=−2
10.正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2 3，则下列叙述正确的是( )
A. 正三棱锥高为3．B. 正三棱锥的斜高为 392
C. 正三棱锥的体积为27 34D. 正三棱锥侧面积为3 394
11.设椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的动点，则下列说法中正确的是( )
A. |PF1|+|PF2|=4B. 椭圆C的离心率e= 32
C. |PF1|的最大值是3D. △PF1F2面积的最大值为 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为10cm，则扇形的面积是______cm2．
13.如图所示，△ABC的斜二测直观图为等腰直角△A′B′C′，其中A′B′=2，则△ABC的面积为 ．
14.底面半径为1的圆锥的侧面积是它的底面积的两倍，则圆锥的内切球的表面积与圆锥的表面积之比为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)已知椭圆的焦距为10，离心率为513，求椭圆的标准方程；
(2)已知双曲线的渐近线方程为y=± 5x，虚轴长为4，求双曲线的标准方程．
16.(本小题15分)
如图，已知在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为棱AC的中点，AB=AA1=2．
(1)求正三棱柱ABC−A1B1C1的表面积；
(2)求证：直线AB1//平面C1BD．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=3 3sinxcsx+3cs2x−32．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若x∈[−π4,π3]，求函数f(x)的值域．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为梯形，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，AB=BC=2，AP=2 2，E为PC的中点．
(1)证明：AD//平面PBC．
(2)求直线AE与平面PBC所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．
(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A、B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和kAD+kBD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.D
5.C
6.C
7.D
8.B
9.ABC
10.AB
11.ACD
12.50π3
13.4 2
14.49
15.解：(1)椭圆的焦距为10，离心率为513，
则a2=b2+c22c=10ca=513，解得a=13，b=12，
故椭圆的标准方程为x2169+y2144=1或y2169+x2144=1；
(2)双曲线的渐近线方程为y=± 5x，虚轴长为4，
若双曲线的焦点在x轴上，
则ba= 5b=2，解得a=2 55，b=2，
故双曲线的标准方程为：x245−y24=1，
若双曲线的焦点在y轴上，
则ab= 5b=2，解得a=2 5，b=2，
故双曲线的标准方程为：y220−x24=1，
综上所述，所求的标准方程为：x245−y24=1或y220−x24=1．
16.解：(1)S表= 34×22×2+3×2×2=12+2 3．
证明：(2)取C1B和B1C交点M，连DM，
∵D，M分别为AC，B1C中点，故AB 1//DM．
AB1⊄平面BDC1，DM⊂平面BDC1．
∴AB1//平面BDC1．

17.解：(1)f(x)=3 3sinxcsx+3cs2x−32=3 32sin2x+3(cs2x+1)2−32=3 32sin2x+3cs2x2
=3( 32sin2x+cs2x2)=3sin(2x+π6)，所以T=π，
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z；
(2)若x∈[−π4,π3]，则2x+π6∈[−π3,5π6]，
当2x+π6=−π3时，sin(2x+π6)取得最小值− 32，
当2x+π6=π2时，sin(2x+π6)取得最大值1，
所以− 32≤sin(2x+π6)≤1，
故函数f(x)的值域为[−3 32,3]．
18.解：(1)证明：在梯形ABCD中，
因为AB⊥AD，AB⊥BC，
所以BC//AD，
又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
即可得AD//平面PBC．
(2)易知AB，AD，AP两两垂直，
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2 2)，
∴PB=(2,0,−2 2)，BC=(0,2,0)，AE=(1,1, 2)，
设平面PBC的法向量m=(x,y,z)，
则PB⋅m=2x−2 2z=0BC⋅m=2y=0，
取x=2，则y=0，z= 2，
∴平面PBC的一个法向量为m=(2,0, 2)，
设直线AE与平面PBC所成角为θ，
则sinθ=|cs〈m,AE〉|=|m⋅AE||m||AE|=4 6×2= 63，
即可知直线AE与平面PBC所成角的正弦值为 63．
19.解：(1)由已知可得{ca= 222csinπ4= 2a2=b2+c2,
解得a2=2，b2=c2=1，
所求椭圆方程为x22+y2=1；
(2)由x22+y2=1y=kx+2,
得(1+2k2)x2+8kx+6=0，
则Δ=64k2−24(1+2k2)
=16k2−24>0，
解得k 62．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=−8k1+2k2，x1x2=61+2k2，
设存在点D(0,m)，
则kAD=y1−mx1，kBD=y2−mx2，
所以kAD+kBD=y1x2+y2x1−m(x1+x2)x1x2
=2kx1x2+(2−m)(x1+x2)x1x2=6k−4k(2−m)3，
要使kAD+kBD为定值，
只需6k−4k(2−m)=6k−8k+4mk=2k(2m−1)与参数k无关，
故2m−1=0，解得m=12，
当m=12时，kAD+kBD=0．
综上所述，存在点D(0,12)，使得kAD+kBD为定值，且定值为0．