福建省厦门市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含解析）

这是一份福建省厦门市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用两直线垂直的条件求解.
【详解】因为直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2. 等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解.
【详解】设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
3. 已知直线l过点 SKIPIF 1 < 0 ，方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则原点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为( )
A. 1B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】求出直线的解析式，即可求出原点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离.
【详解】由题意，
在直线 SKIPIF 1 < 0 中，方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线l的斜率存在，设 SKIPIF 1 < 0 ，则直线l的斜率为： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线l过点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴原点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
4. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一条公切线，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一条公切线，
所以两圆内切，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
5. 在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，点M是 SKIPIF 1 < 0 中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. 0B. SKIPIF 1 < 0 C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】表达出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】由题意，
在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，点M是 SKIPIF 1 < 0 中点，
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
6. 已知点P在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上，直线 SKIPIF 1 < 0 交曲线C于点Q(异于P)，点F为C的左焦点，若 SKIPIF 1 < 0 为锐角，则b的取值范围为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】设双曲线的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，根据双曲线的定义，可求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据已知条件 SKIPIF 1 < 0 为锐角，可判断 SKIPIF 1 < 0 为钝角，结合余弦定理即可求得b的取值范围.
【详解】如图所示：
设双曲线的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角，且根据双曲线的对称性知， SKIPIF 1 < 0 关于原点对称， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
所以 SKIPIF 1 < 0 为钝角，则 SKIPIF 1 < 0 ①，且 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②两式解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以b的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
7. 在平行六面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角余弦值为( )
A. 0B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，由向量的运算得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
8. 椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为F，右顶点为A，以F为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆与E交于点P，且 SKIPIF 1 < 0 ，则E的离心率为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中利用余弦定理列方程，由 SKIPIF 1 < 0 齐次式可求E的离心率.
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则E的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【点睛】思路点睛：点P在椭圆上，一是满足椭圆方程，二是到两焦点距离之和等于2a，求椭圆离心率，结合其它条件构造 SKIPIF 1 < 0 齐次式即可得解.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. 短轴长相等C. 焦距相等D. 离心率相等
【答案】AC
【解析】
【分析】分别对两个椭圆进行分析，得到对应的短轴长，焦距，离心率等，即可得出结论.
【详解】由题意，在 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴短半轴为3，长半轴为5，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴长半轴为 SKIPIF 1 < 0 ，短半轴为 SKIPIF 1 < 0 ，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，
∴AC正确，BD错误.
故选：AC.
10. 如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C. 当 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
D. 当 SKIPIF 1 < 0 时，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断可得合适的选项.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
对于AD选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，易知平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不平行，A错，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
易知平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角不是 SKIPIF 1 < 0 ，D错；
对于BC选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，B对，
点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，C对.
故选：BC.
11. 2022年11月29日23时08分，我国自主研发的神舟十五号载人飞船成功对接于空间站“天和”核心舱前向端口，并实现首次太空会师．我国航天员在实验舱观测到一颗彗星划过美丽的地球，彗星沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于这条抛物线的焦点．当此彗星离地球4千万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则彗星与地球的最短距离可能为(单位：千万公里)( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 1D. 3
【答案】CD
【解析】
【分析】不妨假设该抛物线开口向右，可设该抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，彗星离地球4千万公里时假设为A点，作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，分 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的左侧和右侧进行讨论，即可求出最短距离
【详解】不妨假设该抛物线开口向右，如图所示，可设该抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
地球即焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，设彗星的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
当彗星离地球4千万公里时，设彗星此时处于A点，即 SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的右侧时，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
则根据抛物线的定义可得彗星到地球的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则彗星与地球的最短距离可能为1千万公里，
当 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的左侧时，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
代入抛物线可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
则根据抛物线的定义可得彗星到地球的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则彗星与地球的最短距离可能为3千万公里，
故选：CD
12. 大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙．譬如松果、风梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关．在数学上，斐波那契数列 SKIPIF 1 < 0 可以用递推的方法来定义： SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A. SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】用累加法判断选项AB，对于C，只需证明 SKIPIF 1 < 0 即可,用数学归纳法证明;对于D，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断
【详解】对于A，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
将上式累加得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 .故A正确；
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
将上式累加得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C，有 SKIPIF 1 < 0 成立,用数学归纳法证明如下:
①当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,满足规律,
②假设当 SKIPIF 1 < 0 时满足 SKIPIF 1 < 0 成立
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 成立，满足规律,
故 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 成立，故C正确;
对于D，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确
故选：ACD
【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 写出双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 )
【解析】
【分析】由双曲线的性质求解即可.
【详解】由题意可得， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 )
14. 正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】建立空间坐标系，利用法向量求解线面角.
【详解】以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，
如图，设正方体的棱长为2，则 SKIPIF 1 < 0 ;
SKIPIF 1 < 0 ；
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 在平面上给定相异的两点A，B，设点P与A，B在同一平面上，满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，点P的轨迹是一个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，边 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合图象即可得到 SKIPIF 1 < 0 与该圆相切时， SKIPIF 1 < 0 最大
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，由边 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为4的圆上(排除 SKIPIF 1 < 0 轴上的点)，
则当 SKIPIF 1 < 0 与该圆相切时， SKIPIF 1 < 0 最大， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16. 平面上一系列点 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，圆 SKIPIF 1 < 0 与y轴相切，且圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，则 SKIPIF 1 < 0 的坐标为__________；记 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前6项和为__________．
【答案】 ①. SKIPIF 1 < 0 ②. SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由圆 SKIPIF 1 < 0 与y轴相切得出圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，由圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而由递推公式结合 SKIPIF 1 < 0 求解即可.
【详解】因为圆 SKIPIF 1 < 0 与y轴相切，所以圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
又圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，所以 SKIPIF 1 < 0 .
两边平方并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以此类推 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
数列 SKIPIF 1 < 0 的前6项和为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 ，点D为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 的外接圆为圆M．
(1)求圆M的方程；
(2)求直线 SKIPIF 1 < 0 被圆M所截得的弦长．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)由已知可得 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，可求出圆心坐标和半径得求圆M的方程；
(2)根据相应点的坐标，得到直线CD的方程，求圆心到直线距离，利用几何法求弦长.
【小问1详解】
(1)因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 外接圆圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，又半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆M的方程为 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线CD的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
直线CD方程为 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
M到CD的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以CD被圆M截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)根据条件列方程组，求出首项和公比，利用通项公式可得答案；
(2)先求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，利用分组求和法可求和.
【小问1详解】
设正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由(1)可得 SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
19. 已知点 SKIPIF 1 < 0 ，点B为直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点，过点B作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线l，且线段 SKIPIF 1 < 0 的中垂线与l交于点P．
(1)求点P的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于点M，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点G(异于P)，求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)利用抛物线的定义求解轨迹方程；
(2)设出直线，联立方程，得出 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 表示出四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积，结合基本不等式求解最值.
【小问1详解】
由题意点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离与到点 SKIPIF 1 < 0 的距离相等，所以点P的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点，以直线 SKIPIF 1 < 0 为准线的抛物线，
所以方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
如图，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，则易知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中位线，所以 SKIPIF 1 < 0 .
联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
四边形 SKIPIF 1 < 0 面积为
SKIPIF 1 < 0 ,
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，取到最小值，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
20. 世界上有许多由旋转或对称构成的物体，呈现出各种美．譬如纸飞机、蝴蝶的翅膀等．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．将 SKIPIF 1 < 0 绕着 SKIPIF 1 < 0 旋转到 SKIPIF 1 < 0 的位置，如图所示．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大时，求平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)做辅助线，先证明线面垂直，利用线面垂直证明线线垂直；
(2)根据三棱锥的体积最大，确定平面的垂直关系，利用空间向量求解平面的夹角.
【小问1详解】
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由题意可知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大时，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
在平面 SKIPIF 1 < 0 内作出 SKIPIF 1 < 0 ，且与 SKIPIF 1 < 0 的延长线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ；
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；根据旋转图形的特点可知， SKIPIF 1 < 0 两两垂直，
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
易知平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,
设平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
所以平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
21. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为1千万元，由于管理经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为 SKIPIF 1 < 0 千万元，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多 SKIPIF 1 < 0 千万元．
(1)分别求甲、乙超市第n年销售额表达式；
(2)若其中一家超市的年销售额不足另一家超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？
【答案】(1)甲超市第n年销售额为 SKIPIF 1 < 0 ，乙超市第n年销售额为 SKIPIF 1 < 0
(2)乙超市将被甲超市收购，至少第6年
【解析】
【分析】(1)设甲、乙超市第 SKIPIF 1 < 0 年销售额分别为 SKIPIF 1 < 0 千万元、 SKIPIF 1 < 0 千万元，利用 SKIPIF 1 < 0 即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用累加法求出 SKIPIF 1 < 0 即可；
(2)先解释甲超市不可能被乙超市收购，然后利用 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，通过 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，代入具体的 SKIPIF 1 < 0 值即可
【小问1详解】
设甲、乙超市第 SKIPIF 1 < 0 年销售额分别为 SKIPIF 1 < 0 千万元、 SKIPIF 1 < 0 千万元，
假设甲超市前 SKIPIF 1 < 0 年总销售额为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
易得 SKIPIF 1 < 0 不满足上式，故 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 也适合，故 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
甲超市不可能被乙超市收购，乙超市将被甲超市收购，理由如下：
①因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以甲超市不可能被乙超市收购；
②设 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，至少第6年时乙超市将被甲超市收购
22. 已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求E的方程；
(2)过 SKIPIF 1 < 0 作斜率之积为1的两条直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 交E于A，B两点， SKIPIF 1 < 0 交E于C，D两点， SKIPIF 1 < 0 的中点分别为M，N．探究： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)为定值，定值为2，理由见解析
【解析】
【分析】(1)由题意可得写出关于 SKIPIF 1 < 0 的等式，即可求出E的方程；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆进行联立可得 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 可得到直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用面积公式即可
【小问1详解】
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则E的方程 SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 面积之比为定值，定值为2，理由如下：
设直线 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )， SKIPIF 1 < 0
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离分别是 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
(1)设直线方程，设交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 )的一元二次方程，必要时计算 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)列出韦达定理；
(4)将所求问题或题中的关系转化为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 )的形式；
(5)代入韦达定理求解.