2026届高三数学二轮复习课件：专题突破　专题六　第五讲　导数几何意义与不等式证明（含解析）

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1.(2025·全国Ⅰ卷，T12)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线，则a=　　. 
2.(2021·全国乙卷理，T20)设函数f(x)=ln(a-x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.(1)求a；
(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x20，证明：f(x)>g'(x).
利用导数证明或判定不等式问题的常用方法(1)最值法：通过移项构造新函数或者等价变形构造新函数，求解新函数的最值，从而得出不等关系；(2)适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；(3)凹凸反转法：把所证不等式转化为两个函数的大小关系，分别求解两个函数的最值，得到不等关系.
　已知函数f(x)=xe-x.(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明：x1+x2>2.
证明含双参不等式成立的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是构造函数，借助导数，判断函数的单调性，从而求其值；三是回归含双参的不等式的证明，把所求的最值应用到含参的不等式中，即可证得结果.
(2)当a=1时，若x1，x2是h(x)的两个不同的极值点，求证：h(x1)+h(x2)0，∴m(x)在(1，+∞)上单调递增.∴m(x)>m(1)=0，∴当x>1时，G'(x)>0，∴G(x)在(1，+∞)上单调递增，G(x)>G(1)=0，由此可证得当x>1时，exln x>e(x-1)成立.
因此f(x)+g(x)=f(x)+ex-(x+1)>0，所以f(x)+ex>x+1.
故f'(x)min=f'(1)=-a，因为f'(x1)=f'(x2)=0，且当x→0时，f'(x)→+∞，当x→+∞时，f'(x)→+∞，所以-a0，即a的取值范围为(0，+∞).②不妨设x1h(1)=0，即g(x)>g(1-ln x)，又0g(1-ln x1)，又01-ln x1，即x1+x2>2得证.
1.已知函数f(x)=xln x+ax+1(a∈R).(1)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当x>1时，证明：exln x>e(x-1).
2.(2025·秦皇岛模拟)设函数f(x)=(x-2)ln x+1.(1)求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)证明：f(x)+ex>x+1.
②证明：x1+x2>2.