江西鹰潭市贵溪市第一中学2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题含答案

这是一份江西鹰潭市贵溪市第一中学2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题含答案，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷满分：150分，考试时间：120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 若复数z=3−4i，则z¯|z| =（ ）
A. 35+45iB. 35−45i
C. −35+45iD. −35−45i
2. 若双曲线的方程为y216−x29=1，则它的离心率和渐近线的方程分别为（ ）
A. 53，y=±43xB. 54，y=±34x
C. 53，y=±34xD. 54，y=±43x
3. 若集合A={0,1,3,5}，B={x|y=ln(4−x)}，则A∩B =（ ）
A. {0}B. {0,1}
C. {3,5}D. {0,1,3}
4. 向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,−4,2)，且a⊥b，b∥c，则|a+b| =（ ）
A. 22B.3
C. 10D. 23
5. 已知圆O:x2+y2=4，直线2x−y+a=0上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB=60°，则a的取值范围为（ ）
A. [−4,4]B. (−∞,4]
C. [−45,45]D. [−45,+∞)
6. 已知在3x−13xn的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取2项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则P(A) =（ ）
A. 2455B. 655
C. 1855D. 2055
7. 已知椭圆C1:x2a2+y22=1(a>2)与双曲线C2有公共的焦点F1，F2，A为曲线C1，C2在第一
象限的交点，且∆AF1F2的面积为2，若椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，则4e12+9e22的最小值为（ ）
A. 252B. 16
C. 7D. 8
8. 小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ）
A. 314B. 13
C. 23D. 37
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6
B. 由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到χ2=8.612，依据α=0.005的独立性检验（χ0.005=7.879），可判断X，Y独立
C. 已知A，B为随机事件，P(A)=0.5，P(B)=0.6，若A，B相互独立，则P(A∪B)=0.8
D. 样本点(xi,yi)(i=1,2,3,⋯)的经验回归方程为y^=3x+a^，若样本点(m,3)与(2,n)的残差相等，则3m+n=9
10. 在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是棱AD上的动点（包括端点），则（ ）
A. B1P⊥CD1
B. 点P到平面B1CD1的距离的取值范围为33,43
C. 若P为棱AD的中点，直线PD1与直线CB1所成角的余弦值为1010
D. 若P为棱AD的中点，则直线PB1与平面B1CD1所成角的正弦值为33
11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（ ）
第0行 1 …………………第1斜列
第1行 1 1 …………………第2斜列
第2行 1 2 1 ………………第3斜列
第3行 1 3 3 1 ……………第4斜列
第4行 1 4 6 4 1 …………第5斜列
第5行 1 5 10 10 5 1 ………第6斜列
第6行1 6 15 20 15 6 1 ……第7斜列
第7行1 7 21 35 21 7 1 ……第8斜列
A. 1+C54+C64+C74=C85
B. 第10行所有数字之和为210
C. 第2026行的第1013个数最大
D. 第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1：3
三、填空题（每题5分，共计15分）
12. 某次考试的数学成绩X近似服从正态分布N(110,σ2)且P(90≤X≤110)=0.47，若参加
考生总人数是1000，则估计学生数学成绩在130分以上的总人数为______．
13. 离散型随机变量X的取值为0，1，2，若P(X=0)=0.2，P(X=1)=a，
P(X=2)=b，E(X)=1，则D(2X−1)=______．
14. 已知椭圆C:x24+y23=1与双曲线E:x2a2−y2b2=1有相同的焦点F1，F2，且它们在第二象
限的公共点为点P，点P与右焦点F2的连线交y轴于点Q，且QF1→平分∠PF1F2，则双曲线E
的离心率为______．
四、解答题（本题共77分，解答要写出必要的步骤）
15. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过A(3,0)，B(1,2)两点，
（1）求圆C的方程；
（2）过点P(0,2)的直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|=23，求直线l的方程．
16. 云南省城市足球联赛，简称“滇超联赛”，覆盖全省16个州（市），于2025年11月29日开赛．赛的第一阶段又称为积分赛阶段，16支球队进行15轮比赛，即每支球队与其他15支球队各对阵一场，第一阶段积分前八的球队方能进入第二阶段．其积分规则：常规时间90分钟内获胜的球队积3分，负者积0分；若常规时间战平，点球大战胜者积2分，负者积0分．假设某个球队甲，对其他所有球队常规时间取胜的概率均为12，战平的概率均为
14，若进入点球大战则取胜的概率均为12，且每场比赛相互独立．
（1）求甲球队在接下来的三场比赛中恰有两场获胜的概率；
（2）设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，求X的分布列与期望．
17．如图1，∆ABC是以AC为底边的等腰三角形，∆ACD为正三角形.把∆ACD沿AC翻折至∆ACE的位置，得空间四边形ABCE，连接BE，如图2.
（1）求证：AC⊥BE；
（2）当ABAC=72，且二面角E−AC−B的平面角为60°时，求二面角A−CE−B的正弦值.
18．某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额y（单位：万亿元）的散点图，如图所示：
（1）已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率；
（2）由散点图知，y和t的关系可用经验回归模型y=a·ebt进行拟合，求y关于t的经验回归方程.
参考数据：设zi=lnyi，则z¯≈4，∑i=116ziti≈578，∑i=116ti2−16t¯2=340，e3.15≈23.34．
参考公式：对于一组数据(ti,zi)(i=1,2,3,⋯,n)，其经验回归直线z^=α^+β^t的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1nziti−nz¯t¯∑i=1nti2−nt¯2，α^=z¯−β^t¯．
19．在直角坐标系xOy中，F(1,0)，点P到l：x=4的距离为2|PF|，记P的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）已知l与x轴交于点T，过点F的直线与E交于A，B两点，点M，N满足AT→=3AM→，BT→=3BN→，直线MN与E交于C，D两点.
（i） 证明：直线CD过定点；
（ii）若直线AB斜率存在且不为0，记AT，BT，AB的斜率分别为k1，k2，k，证明：k1k2|MN|2k2|CD|2是定值.
1．A
2．D
3．D
4．B
5．C
6．A
7．A
8.D
9．ACD
10．ACD
11.AB
12．30
13．85
14．52
15.（1）(x−1)2+y2=4
（2）x=0或3x+4y−8=0.
（1）因为圆C的圆心在x轴上，所以设圆C的方程为(x−a)2+y2=r2（r>0），
因为圆C经过A(3,0)，B(1,2)两点，
所以{(3−a)2+02=r2(1−a)2+22=r2，解得{a=1r=2，
所以圆C的方程为(x−1)2+y2=4；
（2）由(x−1)2+y2=4，可得圆心C(1,0)，半径为r=2，
因为直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|=23，
所以圆心C到直线l的距离为d=r2−|MN|22=1，
当直线l的斜率不存在时，直线l为x=0，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，即kx−y+2=0，
则|k+2|1+k2=1，解得k=−34，
所以直线l的方程为y=−34x+2，即3x+4y−8=0，
综上直线l的方程为x=0或3x+4y−8=0。
16.（1）解：根据题意，甲单场获胜包含两种情况：
①直接获胜，其概率为12；
②常规时间战平后点球获胜，其概率为14×12=18，
所以甲单场获胜的概率为p=12+14×12=58，
则三场比赛恰有两场获胜的概率为P=C32p2(1−p)=C32·(58)2(1−58)=225512。
（2）解：甲单场比赛的积分有3种情况：
单场比赛积3分，其概率为12；单场比赛积2分，其概率为18；
单场比赛积0分，其概率为1−12−18=38，
设X为甲球队在接下来的两场比赛中的积分，则X的可能取值为0，2，3，4，5，6，
可得P(X=0)=38×38=964，P(X=2)=C21×18×38=332，
P(X=3)=C21×12×38=38，P(X=4)=18×18=164，
P(X=5)=C21×12×18=18，P(X=6)=12×12=14，
所以随机变量X分布列为：
则期望为E(X)=0×964+2×332+3×38+4×164+5×18+6×14=22464=72.
17.（1）取AC的中点为O，连接OE，OB，
由EA=EC得OE⊥AC，
由BA=BC得OB⊥AC，
又OE∩OB=O，OE，OB⊂平面OEB，
所以AC⊥平面OEB，
由BE⊂平面OEB得AC⊥BE.
（2）因为AC⊥平面OEB，OE，OB⊂平面OEB，
所以AC⊥OE，AC⊥OB，
所以∠EOB为二面角E−AC−B的平面角，故∠EOB=60°，
因为AC⊥平面OEB，AC⊂平面ABC，
所以平面ABC⊥平面OEB，且交线为OB，
过E作EH⊥OB于H，
因为EH⊂平面OEB，则EH⊥平面ABC，
以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，
因为ABAC=72，不妨设AB=7，则AC=2，OE=3，
OH=OE·cs60°=32，HE=32，OB=AB2−AO2=43，
所以A(1,0,0)，C(−1,0,0)，E(0,32,32)，B(0,43,0)，
所以CA→=(2,0,0)，CE→=(1,32,32)，CB→=(1,43,0)，
设平面ACE的法向量为n1→=(x,y,z)，由{n1→⋅CA→=0n2→⋅CE→=0，得{2x=0x+32y+32z=0，
令z=−1得平面ACE的一个法向量n1→=(0,3,−1)，|n1→|=2，
同理得平面BCE的一个法向量n2→=(12,−3,−7)，
|n2→|=122+(−3)2+(−7)2=196=14，
设二面角A−CE−B的平面角为θ，则|csθ|=|cs⟨n1→，n2→⟩|=|n1→·n2→||n1→||n2→|=|0−3+7|2×14=17，
因为θ∈[0,π]，所以sinθ=1−cs2θ=437，
所以二面角A−CE−B的正弦值为437。
18.（1） 25
（2） y=。
（1）由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，
故所求概率为C41C121C162=48120=25。
（2）∵y=a·ebt，∴z=lny=lna+bt，
由题知，t¯=116(1+2+3+⋯+16)=8.5，
∴b^=∑i=116ziti−16z¯t¯∑i=116ti2−16t¯2≈578−16×4×8.5340=0.1，
∴lna=z¯−b^t¯≈4−0.1×8.5=3.15，
∴z=lny=0.1t+3.15，故y=
19.（1）不妨设P(x,y)，由题可得|4−x|=2(x−1)2+y2，
化简得x24+y23=1.
（2）（i）由题可知T(4,0)，AB斜率为0时CD过x轴上点，
不妨设lAB:x=my+1，
由AT→=3AM→，BT→=3BN→，知AB∥CD，|MN||AB|=23，
故记lCD:x=my+n，
由条件知4−1=3(n−1)，得n=2，
故lCD:x=my+2，其过定点(2,0).
（ii）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，注意到(2,0)在椭圆上，不妨设D(2,0)，
联立{x=my+23x2+4y2=12，有(3m2+4)y2+12my=0，
可得C的纵坐标为−12m3m2+4，
于是|CD|=1+m20−−12m3m2+4=12|m|m2+13m2+4，
联立{x=my+13x2+4y2−12=0，得(3m2+4)y2+6my−9=0，
于是y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
于是|AB|=1+m2(y1+y2)2−4y1y2=1+m236m2(3m2+4)2+363m2+4=12(m2+1)3m2+4，
可得|MN|=23|AB|=8(m2+1)3m2+4，
而
k1k2=y1y2(my1+1−4)(my2+1−4)=y1y2m2y1y2−3m(y1+y2)+9=−9m2×(−9)−3m×(−6m)+9(3m2+4)=−14(m2+1)
，
而k=1m，于是k1k2|MN|2k2|CD|2=−14(m2+1)×64(m2+1)2(3m2+4)21m2×144m2(m2+1)(3m2+4)2=−19，为定值，故得证.
X
0
2
3
4
5
6
P
964
332
38
164
18
14