江西省赣州市2022_2023学年高二上学期期末考试数学试题及答案

这是一份江西省赣州市2022_2023学年高二上学期期末考试数学试题及答案，共16页。试卷主要包含了单择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。




































































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赣州市 2022 ~ 2023 学年度第一学期期末考试 高二数学参考答案
一、单择题 (共 8 小题，每题 5 分)

题序
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
B
A
D
C
C
A
8.解：设M (x1 , y1 ) , 则 N(-x1 , -y1 ) ， P(x, y) ，则 k1 = ， k2 = ， 则 + = 1 ， + = 1 ，所以 + - (+ ) = 0 ，
即 + = 0 = - ，可得k1 + k2 = 2 k1 k2 ≥ .选 A.
二、多选题 (共 4 小题，每题 5 分，漏选得 2 分，错选不得分)

题序
9
10
11
12
答案
AC
ABC
BD
ACD

三、填空题 (共 4 小题，每题 5 分)
13. -3 ； 14. 0.3 ； 15. 0.8 ； 16. 2 . 16.解：因为以F1F2 为直径的圆恰好经过点B ，故BF1 」BF2 ,
由 A(uu)O(ur) = BF2(uuur) ，即A 为线段BF1 的中点且AO」BF2 ，

故 AO 为线段BF1 的垂直平分线，连接BO ，则△BOF1 为等腰三角形且BO = OF1 ，

故三AOF1 = 三AOB ，又由渐近线可得三AOF1 = 三BOF2 ，故三AOF1 = 三AOB = 三BOF2 ，

则三BOF2 = ，故渐近线斜率k = = tan 三BOF2 = ，故离心率e = = = 2 .

四、解答题 (共 6 小题，共 70 分)
1 7 ． 解 ： ( 1 ) 将 2 个 语 言 类 节 目 插 入 其 它 4 个 歌 舞 类 节 目 所 形 成 的 5 个 空 中 ，
则排法种数为 A4(4)A5(2) = 480种………………………………………………………………………5 分


赣州市 2021 ~ 2022 学年度第一学期期末考试高一数学参考答案 1





(2) 在6 个节目进行全排的排法种数中减去前4个节目中没有语言类节目的排法种数，
可得出前4 个节目中要有语言类节目的排法种数为 A6(6) A4(4)A2(2) = 720 48 = 672 种…………10 分
18．解：(1) 若选条件① ， A (2, 1)到直线 x + 2y+ 10 = 0 的距离为圆 A 的半径 r …………1 分
于是得 r = | 2 + 2 + 10 | = 2 ……………………………………………………………………4 分
5
所以圆 A 的方程为： (x + 2)2 + (y 1)2 = 20………………………………………………………6 分
若选条件② ， 圆 A 与圆M 相外切，则圆心距为两圆半径之和… … … … … … … … … … … 1 分
于是得 r + = = 3 ，则 r = 2 … … … … … … … … … … … … …4 分
所以圆 A 的方程为： (x + 2)2 + (y 1)2 = 20 ……………………………………………………6 分
若选条件③ ，直线 2x y 1 = 0 与直线 x 2y+ 4 = 0 的交点为(2, 3) … … … … ……………2 分
则圆心 A(2, 1)到点(2, 3) 的距离为半径r ，于是得 r = = 2 ………4 分
所以圆 A 的方程为： (x + 2)2 + (y 1)2 = 20………………………………………………………6 分
(2) 直线 l : y = k(x + 1) 1 恒过定点 (1, 1) ( 不妨设该点为 B ) … … … … … … … … … …7 分
因为(1 + 2)2 + (1 1)2 < 20 ，所以点B(1, 1)在圆A 内，即直线l 与圆 A 相交，
由圆的性质知，当直线l 」AB 时，直线l 截圆 A 所得弦的弦长最小……………………………8 分
而直线 AB 斜率为： kAB = = 2 ，因此， k = ………………………………………9 分
圆心 A 到直线l 的距离 d =| AB |= = ……………………………………10 分
此时直线l 截圆A 所得弦长为2 = 2 ，所以，直线 l 与圆 A 相交， k = 时，
直线l 截圆 A 所得弦长最小，弦长最小值为2………………………………………………12 分

19．解：(1) 连接 BC1 ，交B1C 于点 N ，连接MN ……………………1 分
因为M ， N 分别为 AB ， BC1 中点，所以MN 为△ABC1 的中位线…2 分
所以 AC1 ∥MN ……………………………………………………………3 分



赣州市 2021 ~ 2022 学年度第一学期期末考试高一数学参考答案 2





又MNÜ 平面 B1CM ，所以 AC1 ∥平面 B1CM ………………………………………………5分
(2) 法一：因为 CA = CB = 2 ， AB = 2 ，所以CA 」CB ，
又CC1 」平面 ABC ，如图，分别以 CA ，CB ，CC1 所在的直线为 x，y ，z 轴建立直角坐标
系，则 A(2,0,0) ，B(0,2,0) ，A1(2,0,3) ，B1(0,2,3) ，M( 1, 1,0)………………………………6 分
则有 = (0, 2,3) ， = (1, 1, 0) …………………………………………7 分

设平面CB1M 的法向量为n(一) = (x, y, z) ，
则〈一CB1一CM.(.)一n一n 即〈2x(y)…………………………………8 分
令z = 2 ，得平面CB1M 的一个法向量为n(一) = (3, _3, 2) ………9 分
又 A1B1 = (_2, 2, 0) …………………………………………10 分
一
所以 A1 到平面CB1M 的距离d = |. n(一) = = ……………………………………12 分
法二：连接 A1M, A1C ，由题意可得△A1B1M 的面积S1 = 人 2人 3 = 3 ，
因为△ABC 是等腰直角三角形，且M 是棱 AB 的中点，
所以CM = 且CM」 AB …………………………………6 分
又因为直三棱柱中，平面 ABC」 平面 ABB1A1 且交线为 AB ，
所以CM 」平面 ABB1A1 …………………………………7 分
故VC_A1B1M = S1 . CM = 人3 人 = 2 ………………8 分
因为CM 」平面 ABB1A1 ， B1M Ü 平面ABB1A1 ，所以CM 」B1M ……………………………9 分

又B1M = = ， CM = ，故△B1CM 的面积 S2 = 人 人 = ………10 分
设点 A1 到平面B1CM 的距离为d ，则 VA1 _B1CM = S 2 .d = d ………………………………11 分
因为VC _A1B1M = VA1 _B1CM ，所以d = 2 ，解得点 A1 到平面B1CM 的距离d = …………12 分



赣州市 2021 ~ 2022 学年度第一学期期末考试高一数学参考答案 3

X 0 20 40 60
…………………………………………………………………4 分
P




20．解：(1) X 可能的取值为 0、20、40、60，
P(X = 0) = ))|3 = ，P(X = 20) = C3(1) ))|1 ))|2 = ， P(X = 40) = C3(2) ))|2 ))|1 = ，

P(X = 60) = ))|3 = …………………………………………………………………………2 分
所以X 的分布列为







27
125
54
125
36
125
8
125
所以E(X) = 0 x + 20x + 40x + 60x = 24 .(或者 E(X) = 60x = 24 )…………6 分
1 2
(2) 第一种情况：A 类试题答对 1 道，B 类试题答错 2 道， P = 2 . C 4(2) = 4 ………………8 分
10
5 C 75

2 2
第二种情况：A 类试题答错 1 道，B 类试题答对 1 道、答错 1 道， P = 3 . C4(1)C6(1) = 24 ……10 分
10
5 C 75
1 2
故仅答对 1 道题的概率P = P + P = 28 …………………………………………………………12 分
75
21．解：(1) 证明： 因为 AB = AD ， O 为BD 的中点，所以OA 」BD ………………………1 分
又因为平面 ABD」 平面BCD ，平面 ABDn 平面BCD = BD ， OA Ü平面 ABD ，
所以 OA」平面BCD………………………………………………………………………………3 分
因为BCÜ平面BCD ，所以OA」BC ………………………………………5 分
(2) 在棱 AD 上存在点E ，使二面角E - BC - D的大小为………6 分
取 BC, CD 中点 F, G ，因为 O为BD 的中点，且OC = OD = CD = 1，
BC = 3 ，
所以 OB = OD = OC ，则 BC 」CD ，
因为△ABD 是等腰直角三角形且 AB = AD ，所以 OA = OB = 1 ，
又因为 OG ∥ BC , OF ∥CD ，
所以 OF 」OG ，且 OA」平面BCD ，所以 OA」 OF , OA 」OG …7 分
分别以 OF , OG, OA 所在直线为 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 O - xyz ， 设 A(--)E(--) = 入A( --)D(--) (0„入„1)，

赣州市 2021 ~ 2022 学年度第一学期期末考试高一数学参考答案 4

n OA 2


故
1
整理得3入2 一 10入+ 3 = 0 ， 解得入= 或 入= 3 (舍去) ……11 分
即
，
( ) ( )




一 ( 1 3 ) 一 一 ( 1 )
AD = |\一 2 , 2 , 一 1)|| ， AE = 入AD = |\一 2 入, 2 入, 一入)|| ，
( )
因为 = (0, , 0) ， = ( , 一 , 一 1) ，

一 一 一 ( 1 3 ) ( 1 3 ) ( 入+ 1 3 入+ 1 )
BE = AE 一 AB = |\ 一 2 入, 2 入, 一入)| 一|\ 2 , 一 2 , 一1)| =|\ 一 2 , 2 , 一入 +1)|| 8 分
= (0, 0, 1) 是平面 BCD 的一个法向量 9 分
设 = (x2 , y2 , z2 ) 是平面BCE 的一个法向量，则〈(|一n2一 . = 0 ，
|ln2 . BE = 0

( 入+ 1 3 入+ 1
( )
|一 x2 + y2 + 一 入+ 1 z2 = 0
( )
〈| 2 2 ，
即
l y2 = 0
取x2 = 2 (入一 1) ，z2 = 一入一 1 ， = (2入一 2, 0, 一入一 1 )……………………………………………10 分
一 一
n OA 2
一 一
π 所以
= 2一 . 一 = ，
cos n2 , OA
，
因为二面角E 一 BC 一 D的大小为
4
2
入+ 1 2 =
3
2入一 2 2 + 入+ 1 2 2
一 1 一 1
所以
AE = AD ， AE = AD ，
3 3
故在棱 AD 上存在点 E ，使二面角 E 一 BC 一 D 的大小为 ，此时 = … … … … … 12 分
22.解 : (1) 由 F1F2 = 4 = 2c 不 c = 2 …………………………………………………………1 分
由 S编F1MF2 = 2 MF1 . MF2 = 5 不 MF1 . MF2 = 10 ，而 MF1 + MF2 = 16 ，
所以 (MF1 + MF2 )2 = MF1 2 + MF2 2 + 2 MF1 . MF2 = 36 …………………………………2 分
1 2 2




所以MF1 + MF2 = 6=2a 不 a = 3 ……………………………………………………………3分
所以b2 = a2 一 c2 = 5 ………………………………………………………………………………4 分
即椭圆的标准方程为+ = 1…………………………………………………………………5 分
(2) 假设满意条件的直线l 存在，当直线 l 的斜率不存在时，不合题意……………………6 分
不妨设直线l：y = kx 一 2 ，点 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ，


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(| y = kx 一 2
|l 9 + 5 = 1
联立〈 y2 x2 得 (5k2 + 9)x2 一 20kx 一 25 = 0 ………………………………………………7 分

所以〈 …………………………………………………………………8 分
因为 S编OAF2 = . c . x1 ,S编OBF1 = . c . x2 得 S(S)编(编) = = 一 = ………………………9 分
即 x1 = 一 x2 ......(3) ……………………………………………………………………………10 分
由 (1)，(2)，(3) 得k2 = 不 k = 土 …………………………………………………………11 分

所以直线 l 的方程为 y = 土 x 一 2 ……………………………………………………………12 分

(注：第一问面积条件不恰当，致使椭圆方程与面积矛盾，在解答中有学生发现问题，则整个 大题给满分)

























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