山东省青岛二中2025-2026学年第一学期高三期末考试数学试卷及答案

这是一份山东省青岛二中2025-2026学年第一学期高三期末考试数学试卷及答案，文件包含山东省青岛二中2025-2026学年第一学期高三期末考试数学试卷及答案docx、山东省青岛二中2025-2026学年第一学期高三期末考试数学试卷及答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
1.已知集合 A=x∣x0 且 a≠1 . 若曲线 C1:y=ax 与曲线 C2:x=ay 恰好有 n 个不同的交点，则下列说法正确的是( )
A. n 所有可能的取值为 0,1,2 B. 若 a=2 ，则 n=2
C. 若 n=2 ,则交点横坐标之和大于 2e D. 若 a=e−3 ,则 n=3
三、填空题:本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. x−12xn 的展开式中,只有第六项的二项式系数最大,则展开式中 x6 的系数是_____.
13. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F ,过点 A4,0 作直线 x+ay−2a−2=0 的垂线,垂足为 B ,点 P 是抛物线上的动点，则 PF+PB 的最小值为_____.
14. 在平面四边形 ABCD 中, AB⊥BC,BC⊥CD,∠CAD=45∘,BC=1,△ACD 和 △ABC 的面积分别为 S1 ， S2 ，则 S1S2 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1=2 ,且满足 an+1=Sn+2 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设 bn=1an+1,Tn=b1+b2+⋯+bn ，若 Tnb>0 一个焦点与上、下顶点构成直角三角形,以椭圆 C 的短轴为直径的圆与直线 x+y−2=0 相切.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)过椭圆 C 的右焦点 F 的直线交椭圆 C 于 P,Q 两点,设 O 为坐标原点,求 △POQ 的面积的最大值;
(3)试问平面内是否存在定点 T ，使得 TP⋅TQ 为定值？若存在，求出 T 的坐标，若不存在，说明理由.
19. 已知函数 fx=emx,gx=sinnx+csnx .
(1)当 m=2 时,求过原点且与曲线 y=fx 相切的直线方程;
(2)存在 n∈N∗ ，对任意的 x∈π6,π2 ，不等式 gx−t+t⋅sin2x≥0 恒成立，求实数 t 的取值范围；
(3)若 n=2k k∈N∗ ，当 m=1 时，关于 x 的方程 fx=gx 有 11 个实数根，求 n 的值.
(参考数据: π4⋅ln2≈1.133 )
青岛二中 2025-2026 学年第一学期期末考试一 高三数学试题参考答案
1. D 2. A 3. D 4. C 5. D 6.C 7. A 8.D 9. BC 10. BCD 11. BCD
12. 454 13. 4−2 14. 22−2
11. 解: 曲线 C2:x=ay>0 ,即 y=lgax ,与曲线 C1:y=ax 关于 y=x 对称.
若 a=2 ,设 gx=2x−lg2x ,则 g′x=2xln2−1xln2 单调递增,
g′2=2ln2−12ln2=ln2−1ln20 ,
存在 x0∈2,4,g′x0=0 ,
则 x∈0,x0 时, g′x0,gx 单调递增,
且 g2=g4=0 ,则 gx 有且仅有 2 个零点, n=2 , B 正确;
若 a=e−3 ,设 hx=e−3x−lge−3x=e−3x+13lnx ,则 h′x=−3e−3x+13x=e−3x3xe3x−9x ,
设 Hx=e3x−9x ,则 H′x=3e3x−9 ,
当 x∈0,ln33 时, H′x0,Hx 单调递增,
H13=e−30,H23=e2−6>0,
存在 x1∈19,13,x2∈ln33,23,Hx1=Hx2=0 ,
当 x∈0,x1 时， Hx>0,h′x>0,hx 单调递增，当 x∈x1,x2 时， Hx0,hx 单调递增,
hln33=131−ln3+lnln30 ,则 hx1>h13>0 ,
则存在 x4∈e−3,x1,x5∈x1,x2,x6∈x2,1 ,使得 hx4=hx5=hx6=0 ,
此时 n=3,D 正确, A 错误;
当 0