四川省成都市树德中学2025-2026学年高二上学期期末数学试卷含答案

这是一份四川省成都市树德中学2025-2026学年高二上学期期末数学试卷含答案，共5页。试卷主要包含了 若双曲线C， 已知点A在抛物线C等内容，欢迎下载使用。
一.单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1. 已知空间向量a=(2,−2,3)，b=(−4,2,x)，若a⊥b，则实数x为（ ）.
A.2B.3
C. 103D.4
2. 经过A(0,2)，B(−2,0)两点的直线的倾斜角为 （ ）.
A. π4B. π3
C. π2D. 3π4
3. 圆x2+y2−6x+4y+12=0与圆x2+y2−14x−2y+14=0的公切线条数为（ ）.
A.1B.2C.3D.4
4. 以A(1,2)，B(3,4)，P(x,0)为顶点的∆ABD的面积为10，则x为（ ）.
A.8或-10
B.−8或10
C.9或−11D.−9或11
5. 若双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+y2−4y+3=0相切，则双曲线离心率为（ ）
A. 2B. 233
C. 3D.2
6. 如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，
设A1B1→=a，A1D1→=b，A1A→=c，则下列向量中与B1M→相等的向量是 （ ）.
A. −a2+b2+cB. a2+b2+c
C. a2−b2+cD. −a2−b2+c
7. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=4S2，a2n=2an+1，则a2026为（ ）.
A.4053B.4051C.4049D.4047
8. 已知点A(4,4)在抛物线C:y2=2px (p>0)上，过点A作圆(x−1)2+y2=1的两条切线，与抛物线交于M，N，则M和N的横坐标之和为 ( )。
A. 85 B. 8875
C. 875 D. 2
二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 如图，在平行六面体ABCD−A'B'C'D'中，AB=AD=2，AA'=22，∠BAD=π3，∠BAA'=∠DAA'=π4，则( )。
A. AB→·AD→=2
B. AC'⊥平面A'BD
C. AC'的长为6
D. 平行六面体的体积为82
10. 数列{an}为等差数列，a1=1，a3=22+1，前n项和为Sn，数列{bn}满足bn=Snn。则( )。
A. a2=2+1
B. 数列{bn}为等差数列
C. a2026=2b2026−1
D. 数列{an}中存在三项能构成等比数列
11. 双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别是F1F2，以C的实轴为直径的圆记为D，圆D与直线bx+ay=0交于M，N两点（M在x轴上方），sin∠MF2N=45，射线F1M与双曲线右支交于E，则( )。
A. 直线F1M与圆D相切
B. 双曲线C的离心率为132
C. 当a=2时，四边形MF1NF2的面积为8
D. cs∠F1EF2=35
三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在等比数列{an}中，a1a3=36，a2+a4=60，则a1=__________。
13. 已知椭圆Γ:x216+y25=1，M(0,m)，A是Γ的右顶点。若Γ上存在一点P，满足PA→=2MP→，则m=______。
14. 空间直角坐标系中，A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，D(t,3−t,3)，0≤t≤3，则四面体ABCD的外接球的体积的最小值为______。
四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
15.(13分) 设圆\(C \)的圆心\(C \)在直线\(l：2x−7y+8=0 \)上，且\(A(6，0) \)，\(B(1，5) \)都是圆\(C \)上的点.
（1）（7分） 求圆C的标准方程；
（2）（6分） 若直线m:x−y+3=0与圆C相交于M，N两点，求线段MN中点的坐标.
16.(15分) 已知数列\( \{an\} \)满足\(a2= \frac911 \)，\(an+1= \frac3n2an+1 \).
（1）（7分） 求a1并证明数列1an−1为等比数列；
（2）（8分） 若1a1+1a2+1a3+⋯+1anb>0)经过A(0,1)，T−85,−35两点.
（1）（4分） 求椭圆的标准方程；
（2） 若M，N是椭圆E上异于T的两动点，若∠MAT=∠NAT，且直线AM，AN的斜率均存在，并分别记为k1，k2.
① （5分） 求证：k1k2为定值；
② （8分） 若AT⊥MN，求三角形AMN的面积.
19.（17分） 若抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点到直线3x+4y+2=0的距离为1.
（1）（4分） 求抛物线E的标准方程；
（2）（4分） 若点D(x1,y1)在抛物线E上，证明：直线px−y1y+px1=0为抛物线的切线；
（3）（9分） 若∆ABC内接于抛物线G:x2=y，且边AB，AC所在直线分别与抛物线M:y2=4x相切，求证：边BC所在直线与抛物线M相切.
树德中学高2024级高二上期期末测试数学试题参考答案
1-8：DAAC BABC
9-11：AC ABC ABD
12. ±2 13. ±10 14. 86π
15、设所求圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，由题意得{(6−a)2+(0−b)2=r2,(1−a)2+(5−b)2=r2,2a−7b+8=0,
解得a=3，b=2，r2=13，
故平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为63。 15分
18、（1）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，带入A(0,1)， T(−85,−35)得：x24+y2=1 4分
（2） ①设直线AM，AT，AN的倾斜角分别为α，θ，β，因为∠MAT=∠NAT，所以∠MAN=2∠NAT，即β−α=2(β−θ)，故α+β=2θ，因为A(0,1)， T(−32,−12)，所以tanθ=1+3585=1，所以θ=π4，所以α+β=2θ=π2，k1k2=tanα·tanβ=tanα·tanπ2−α=1，所以k1k2为常数1； 9分
②若AT⊥MN，因为kAT=1所以kMN=−1。 10分
设直线MN：y=−x+m 联立x24+y2=1得：5x2−8mx+4m2−4=0
由：{x1+x2=8m5x1⋅x2=4m2−45 12分
由k1·k2=1⇒y1−1x1·y2−1x2=1 代入y=−x+m得3m2+2m−5=0 解得m=1（因直线不过A点，舍去），和m=−53 14分
所以方程5x2−8mx+4m2−4=0为5x2+403x+649=0
所以三角形AMN面积为S=12·83·|xM−xN|=43·4032−4×5×6495=32545 17分
19、（1）抛物线焦点p2,0到直线3x+4y+2=0得距离为|3×p2+2|32+42=1⇒p=2，p=−143（舍去），故抛物线方程为y2=4x 4分
（2）若D(x1,y1)在抛物线上，则y12=4x1，此时直线px−y1y+px1=0为2x+2x1−y1y=0
联立y2=4x得y22+2x1−y1y=0，故Δ=y12−4x1=0，所以直线px+px1−y1y=0为抛物线的切线8分
（3）设A(t,t2)，直线AB，AC与抛物线y2=4x切于点D(x1,y1)，E(x2,y2)，
则AD:y1y=2(x+x1)，AE:y2y=2(x+x2)，于是DE:t2y=2(x+t)
联立{y2=4xt2y=2(x+t)⇒y2−2t2y+4t=0 又{y1y=2(x+x1)y=x2⇒y1x2−2x−2x1=0⇒xB=−2x1y1t 10分
同理xC=−2x2y2t 从而BC:y=yB−yCxB−xC(x−xB)+yB=(xB+xC)x−xBxC 12分
联立{y2=4xy=(xB+xC)x−xBxC⇒(xB+xC)y2−4y−4xBxC=0 14分
Δ=16+16xBxC(xB+xC)=16−64x1x2y1y2t22x1y1t+2x2y2t=16−2y1y2(y1+y2)t3=0
所以边BC所在直线与抛物线E相切.17分