四川省成都市树德中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷（Word版含解析）

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注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、
班级、座号、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦拭干净后，再选涂其他答案的标号.答案写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案用黑色墨迹中性笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，请考生个人留存试卷并将答题卡交回给监考教师.
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的.
1. 已知直线 与直线 平行，则 a 值为（ ）
A. 2 B. 1 C. D. 2 或
2. 如图是一个古典概型的样本空间 和事件 A、B，其中 ， ， ，
，那么（ ）
A. B. 事件 A 与 B 互斥
C. D. 事件 A 与 B 相互独立
3. 在平行六面体 中， 与 的交点为 ，设 ， ， ，则
（ ）
A. B. C. D.
4. 在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是 1.5，全年比赛失球个数的标准差为 1.1；二队每场比
赛平均失球数是 2.1，全年失球个数的标准差是 0.4，下列说法错误的是（ ）
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A. 平均来说一队比二队防守技术好 B. 二队比一队技术水平更稳定
C. 一队在防守中有时表现差，有时又表现非常好 D. 二队很少失球
5. 已知 ， ，动点 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知焦点在 轴上 双曲线的渐近线与圆 有公共点，则双曲线的离心率的取值范围
为（ ）
A. B. C. D.
7. 直三棱柱 中， ，P 为 BC 中点， ，Q 为 上一点，
，则经过 A，P，Q 三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（ ）
A. B. 4 C. D. 5
8. 已知点 ， ， 在曲线 上，记 ，则存在函数 ，对曲
线上任意一点 P 都有（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线 的倾斜角 的取值范围是
B. “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充要条件
C. 过点 且在 轴， 轴截距相等 直线方程为
D. 经过平面内任意相异两点 的直线都可以用方程 表
示．
10. 若 独立，且 ， ，则（ ）
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A. B.
C. D.
11. 已知平面上一点 到点 ， 的距离满足 ，设点 的运动轨
迹为曲线 C，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线 C 关于原点对称
B.
C. 点 P 横坐标的取值范围是
D. 当点 P 不在坐标轴上时，点 P 在椭圆 内部
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若向量 ， 夹角为钝角，则 m 的取值范围为_________.
13. 已知圆 O： ，直线 l： ，点 ，点 P 在圆 O 上运动，点 Q 满足
（O 为坐标原点），则点 Q 到直线 l 距离的最大值为_________.
14. ①已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，若线段 的中点为 （ ）
则 ；
②对任意的 ， ，
；
③点 P 为直线 l： 上的一个动点，A，B 为圆 M： 上任意两个不重
合的点，记 的最小值为 m， 的最大值为 n，则 ；
④覆盖曲线 的面积最小的圆是 .以上说法正确的有_________.（填序号）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答题应写出文字说必要明，证明过程及演算步骤.
15. 已知圆 C 的方程为； ，直线 的方程为
（1）过点 作圆 C 切线，求切线的一般式方程；
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（2）若 Q 为直线 上一点，且 Q 的横坐标为 2，P 为平面内一动点，O 为原点，满足 ，求
点 的轨迹方程.
16. 树德中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分
为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取 200 人的成绩作为
样本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）求频率分布直方图中 a 的值.用样本估计总体，估计该校学生初赛成绩的中位数；
（2）若甲、乙、丙三位同学均进入复赛，已知甲、乙、丙复赛获一等奖的概率分别为 ， ， ，甲、乙、
丙获一等奖互不影响，求至少有两位同学复赛获一等奖的概率.
17. 如图，点 P 为正方形 ABCD 所在平面外一点，M 为 PA 中点， （ ）.平面
平面 ， ， .
（1）若 ，求证： 平面 ；
（2）当二面角 的正弦值为 时，求 的值.
18. 已知椭圆 C： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 .设 A，B 是椭圆
上位于 x 轴同侧的两点，且直线 与直线 平行，当 轴时， .
（1）求椭圆 C 的方程；
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（2）若直线 的斜率为 1，求 的长度；
（3）设直线 l 过点 且与椭圆 C 相交于 M，N 两点，又点 P 是椭圆 C 的下顶点，当 面积最
大时，求直线 l 的方程.
19. 已知椭圆 ： 经过点 和 .
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设椭圆 C 的左焦点为 F，点 M，N 是椭圆 C 上的两个动点，直线 的斜率存在并且不为 0.
（i）若直线 ， 关于 x 轴对称，证明：直线 过定点；
（ii）若 为坐标原点，A 为椭圆 C 的右顶点，直线 过点 ，直线 与直线 ， 分别
交于点 P，Q，求 .
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