浙江省温州市2026届高三上学期期末质量评价数学试题与参考答案

这是一份浙江省温州市2026届高三上学期期末质量评价数学试题与参考答案，共21页。试卷主要包含了5B， 已知是奇函数，则实数的值为， 若且，则等内容，欢迎下载使用。
2026.1
本题库共4页，19小题．建议做题时间120分钟．
答题须知：
1．答题前，务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、题库答题卡号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在题库上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破．
选择题部分（共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 高三某班10名同学的数学模考成绩（满分150）依次为：105，110，115，120，125，130，135，140，145，150，这组数据的第25百分位数为（ ）
A. 112.5B. 115C. 142.5D. 145
【答案】B
【解析】
【分析】将数据从小到大排列，根据百分位数的定义进行求解.
【详解】将数据从小到大排列：105，110，115，120，125，130，135，140，145，150，
因为，故从小到大，选择第3个数作为这组数据的第25百分位数，即115.
故选：B
2. 已知是过，两点的直线的一个方向向量，则实数为（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由题得到是直线的一个方向向量，也是直线的方向向量，所以向量与共线，利用向量共线坐标成比例列方程可求出的值.
【详解】已知，，所以是直线的一个方向向量；
因为向量也是直线的方向向量，所以它与共线，
所以，解得，
故选：A.
3. 已知是奇函数，则实数的值为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数的定义计算即可.
【详解】要使有意义，则，即，解得或.
所以函数的定义域为，关于原点对称.
.
因为，所以，
即，也即，
因为，所以.
故选：C.
4. 已知，为实数，则“与都是无理数”是“是无理数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】通过取特殊的值，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解.
【详解】取，显然有与都是无理数，但是有理数，
即“与都是无理数”推不出“是无理数”，
取，则，显然有是无理数，但不满足与都是无理数，
即“是无理数”推不出“与都是无理数”，
所以“与都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
5. 已知函数，则（ ）
A. 0B. 6C. 12D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】令，根据导数的运算可得，代入可得，即可求解.
【详解】令，则，
所以，所以.
故选：D.
6. 已知椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，，成等比数列，则椭圆离心率的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用椭圆的定义及基本不等式得到，即可求解.
【详解】设，则，又，且，，成等比数列，
则，得到，当且仅当，即时取等号，
所以，
故选：B.
7. 若且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两角和与差的正弦、余弦公式化简得出的值，再利用二倍角的余弦公式化简可得出的值.
【详解】因为
，
，
所以，
即，解得，
故.
故选：B.
8. 已知正三棱台，，且侧面与底面的夹角的余弦值为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取正中心，记，，交点为，求解的长度，记与面的夹角为，利用等面积法求，由求解，解三角形求结论.
【详解】如图，取正中心，的中点为，
记，，交于点，作于，

则面，，，，
所以为侧面与底面的夹角，
可知，
设，，，
则，，
作于，
因为，，平面，，
所以平面，平面，故，
又，平面，
所以面，记与面的夹角为，如图，

，解得，
因为，，
所以，所以，所以.
故选：A.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号1-12的深空探测目标（含行星、小行星等）里随机选一个执行任务，定义：
事件：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体）
事件：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体）
事件：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标）
现在需要分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题可得，，，,,故A正确；因为 ,则由条件概率得到
，故B正确；因,所以由条件概率得到，所以，故C错误；
计算得到,所以D正确.
【详解】由题可得总样本数为 12（编号 1-12），
事件为“选中奇数编号目标”：，共6个，则，
事件为“选中编号小于7的目标”，共6个，则，
事件为“选中1，2，4，8号目标” ，共4个，则;
事件AB 为“奇数且编号小于 7”，即 ，共 3 个，,
,所以，故A正确；
事件AC为“编号为1”，共1个，所以,则，故B正确；
事件 为“编号为3,5,7,9,11”，共5个，所以,所以;
所以，故C错误；
事件为“编号为1”，共1个，所以,;
所以，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知，，为三个不同的平面，，，为三条不同的直线，，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】对于AC，利用线面平行的判定定理和性质即可证明，对于BD作图即可观察判断.
【详解】如下图，
因为，，，所以，
又，，所以，故，故A、C正确；
如下图，
若，不一定垂直，故B错误；
若，不一定垂直，故D错误
故选：AC.
11. 已知函数图象上存在三个不同的点满足横坐标依次成等差数列，且纵坐标依次成等比数列，则可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据等差数列、等比数列的性质结合函数的性质判断即可.
【详解】设函数图象上的三个不同点为，，.
因为纵坐标依次成等比数列，所以.
选项A：，，.
.
当，即（且）时， ，
满足，故A正确.
选项B：，，.
，
，
又，
当且仅当，即时等号成立，
因为，所以，所以，故B错误.
选项C：，，.
，
，
，令，则，
即，
整理得，
又，所以，即.
所以对任意实数，均能取到，满足，故C正确.
选项D：定义域为.，，.
，.
令.
只需证，，函数存在零点即可，取，
当时，,
当时，，，
，故，
所以当时，，
由零点存在定理可知，函数在区间上存在零点，
即存在不同的三点满足条件，故D正确.
故选：ACD.
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数，，其中为虚数单位，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件，运用复数三角形式乘法法则即可求解．
【详解】由复数三角形式乘法法则得到:.
故答案为：.
13. 函数的最小值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】先对函数分两段讨论求出各段上的最小值，两个值比较最终得到函数的最小值.当时，， 在上单调递减，在第一段上，最小值在处取得，；当时，，时单调递减；时单调递增；因此，是第二段的最小值点，计算得，所以函数的最小值为1.
【详解】函数的定义域为 ；
令，解得 ，
当时，，求导得到，
所以函数在上单调递减，
在第一段上，最小值在处取得，.
当时，，求导得到，
令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
因此，是第二段的最小值点，计算得；
因为，所以函数的最小值为1.
故答案为：1.
14. 已知外接圆的半径为1，的角平分线交圆于另一点，，则的取值范围是__________，的最小值是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦定理可得，根据三角形内角和即可确定的取值范围，设，由正弦定理可得，，再计算即可求解．
【详解】如图，不妨取在优弧上，在劣弧上，外接圆的半径，
，即，
解得，
，
为的角平分线，
，
，
，即；
设，
则，
，
，
，
，
，，
故当，即时，取得最小值．
故答案为：；．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
15. 有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元．若规定只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择．
（1）求张某猜对两道谜语的概率；
（2）张某该选择先猜哪一道？请说明理由．
【答案】（1）
（2）选择先猜，理由见解析
【解析】
【分析】（1）对先猜对后猜对以及先猜对后猜对进行求解即可；
（2）分别求解先猜对与先猜对的分布列，再求解其数学期望即可.
【小问1详解】
记张某先猜对后猜对为事件，
先猜对后猜对事件，
所以张某猜对两道谜语的概率为.
【小问2详解】
若张某先猜获得的奖金为元，则
先猜获得奖金为元，则

因此张某应选择先猜谜语.
16. 已知函数的部分图象如图所示，是图象的一个最低点，是图象的一个最高点．
（1）求函数的解析式；
（2）已知也是图象的最低点，是图象与轴的交点，求．
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由图可知，，所以，将代入，得，所以或.
（2）令，计算得到，由最低点和得， 所以，，故.
【小问1详解】
由最低点和最高点可知，所以
因为，
所以，将代入上式得
所以或.
【小问2详解】
令，可得，，
由最低点和得
，，，
故.
17. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足．
（1）求数列、的通项公式；
（2）将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得数列的通项公式；当时，由得出，两式作差可得在时的表达式，然后验证即可得数列的通项公式；
（2）分为奇数、偶数两种情况讨论，利用二项式定理化简表达式，可得出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得的表达式.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由，得，得，，
所以，
当时，由①，
得②，
①②得，所以，
当时，，可得，也满足，所以.
【小问2详解】
因为，
，
当为偶数时，，
此时被除余，为数列中的项；
当为奇数时，，
此时被整除，不为数列中的项，
所以，
.
18. 已知平面直角坐标系上一动点满足，，．
（1）求点的轨迹曲线的方程；
（2）斜率为的直线与曲线交于，两点，点．
①求直线，的斜率之和；
②的外接圆圆心是否在某定直线上？说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②必在直线上，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设，由题意列方程，化简即可求出答案.
（2）①直线的方程为，，，将直线方程与双曲线方程联立得到，，用斜率公式列出直线，的斜率之和，代入即可求出答案；②求出直线，的中垂线，联立求出点的坐标，消去即可求出答案.
【小问1详解】
由题意知，，
所以动点的轨迹为双曲线的右支，，，
即，，所以，
所以点的轨迹曲线的方程为.
【小问2详解】
①设直线的方程为，，，直线和的斜率分别为，，
联立得，，
由题意得，解得，
于是，，
所以
，所以．
②直线中垂线为，
直线的中垂线为，
联立直线方程得：，
消得，
于是，
所以，
代入得，
当时，点在直线上，不符合题意，故，
又消得：，推出，
推出：，
得：，
得：，
又，则，
又，所以，
故外接圆圆心，
令，消去得，
故必在直线上.
19. 已知四面体，，，，，为的三等分点（靠近），为的中点，过点的动平面交射线，，于，，．

（1）如图，当时，
①求的长；
②空间中一动点，定义．当四面体的体积最小时，是否存在点，使得？并说明理由；
（2）当时，记四面体内切球的半径为，求的最大值．
【答案】（1）① ；②不存在，理由见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）①利用空间向量基本定理，所以，所以．②设，，，所以，由共面定理，得，记棱长为1的正四面体的体积为，所以，由均值不等式得到当，，取得最小值，此时是的重心，对空间中任意点，有，同理，，
所以，故不存在空间中一点，使得．
（2）因为，，，化简得到，，
因为，所以（设），
设，当，时，所以.
【小问1详解】
①
所以
，所以．
②设，，，则，，，
所以，由共面定理，得，
记棱长为1的正四面体的体积为，所以，
由均值不等式，此时当，即，，取得最小值，
则此时，即，故是的重心，
对空间中任意点，则，，
同理，，
所以
，
故不存在空间中一点，使得．
【小问2详解】
，，，
由勾股定理，，，，
由余弦定理，，所以，
所以，所以，
所以，，，
所以（设），
设，，
当时，；
当时，令，即，
解得，所以，所以（当时取等）
所以的最大值为.0
10
30
0.2
0.4
0.4
0
20
30
0.5
0.1
0.4