浙江省温州市2025学年第一学期普通高中高三期末质量评价数学试题与解析

这是一份浙江省温州市2025学年第一学期普通高中高三期末质量评价数学试题与解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.高三某班 10 名同学的数学模考成绩(满分 150)依次为:105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 这组数据的第 25 百分位数为
A. 112.5 B. 115 C. 142.5 D. 145
【答案】B
2.已知 是过 两点的直线的一个方向向量,则实数 为
A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
【答案】A
【解析】由题意得 ,所以 .
3.已知 是奇函数,则实数 的值为
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
【答案】C
【解析】 ,所以 ,所以 .
4.已知 为实数，则 “ 与 都是无理数” 是 “ 是无理数” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】取 ,反之取 ,此时 .
5.已知函数 ，则
A. 0 B. 6 C. 12 D. 24
【答案】D
【解析】设 ,则 ,所以 .
6.已知椭圆 的左右焦点分别为 是椭圆上一点,且 成等比数列, 则椭圆离心率的最大值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,所以
7.若 且 ,则
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】由题 ,所以 , 所以 .
8.已知正三棱台 ， ，且侧面 与底面 的夹角的余弦值为 ，则直线 与平面 所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【解析一】(杭州陈老师)
延长 交于点 ,
由 可知, 分别为三侧棱中点,
取 的中心点 ，则 面 ， 再取 中点 ，则 即为面 与面 的平面角，
所以 ，得 ，
进一步可知,三棱锥 为正四面体，
故 点在面 上的投影 为 中心，则 即为所求线面角. 法一:不妨设 ，因为 为 中点，则 中，有 ， 在 中，由 为中位线， 为 中心，可知 为 三等分点， 所以 ,故 .
法二: 注意到 三点共线,且 ,
所以所求线面角即为以 为棱的二面角,而正四面体中各二面角相等,也等于 , 故所求线面角的余弦值为 .
【解析二】(杭州焦老师)
延长 交于点 ,作 面 为 内心, 于 于 ,
连 ,则 为侧面 与底面 的夹角的平面角,
令 ,则 ,
作 于 ,则 ,
作 于 ,则 ,
与平面 所成角的平面角为 ,所以 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.我国 “天宫勘探计划” 中, AI 自主从编号 1-12 的深空探测目标 (含行星、小行星等) 里随机选一个执行任务, 定义:
事件 “选中奇数编号目标” (对应具备稀有金属开采价值的天体)
事件 “选中编号小于 7 的目标” (对应我国近地测控覆盖范围内的天体)
事件 : “选中 1,2,4,8 号目标” (对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标) 现在需要分析 AI 选择探测目标时, 以下任务事件的概率关系正确的是
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】A 项: ,故 A 正确;
B 项: 从基本条件个数考虑, ,故 B 正确;
C 项: ,和不为 1,故 错误;
D 项: ,所以 ,故 D 正确.
10.已知 为三个不同的平面, 为三条不同的直线, , 下列说法正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
【答案】AC
【解析】
A 项: 若 面 面 ,所以 面 面 ,面 面 ,所以 ,故正确;
B 项: 若 ,不能推出 ,如图 2 所示,故错误;
C 项: 若 面 ,面 面 ,所以 ,同理 ,所以 ,故正确;
D 项: 若 ,不能推出 ,举反例如图 3 所示,故错误.
11.已知函数 图象上存在三个不同的点满足横坐标依次成等差数列,且纵坐标依次成等比数列,则 可以是
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】A 项: 取 ,则 ,得证,故 A 正确;
B 项: 设 ,则 , 但 ,当且仅当 时取得 “ ”,矛盾! 故 B 错误;
C 项: 设 ,则 ,不妨设 , ,整理得: 有实根,故 正确.
D项（解析来源于数海漫游）：
即判断是否有根，
记
记
若，则．矛盾！
若，则在，
（i）若则，矛盾！
（ii）若，则，在 (如有根）
则D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知复数 ，其中 为虚数单位，则 ________.
【答案】i
【解析】 ,所以 .
13.函数 的最小值为_______.
【答案】 1
【解析】设 ,则 ,
当 时, ,当 时取等;
当 时, 单调递减, ,
所以最小值是 1 .
14.已知 外接圆 的半径为 1， 的角平分线交圆 于另一点 ， ，则 的取值范围是_____， 的最小值是________.
【答案】
【解析】
【解析一】
第 1 问: 固定点 ,作直径 ,
则易知 ,
不妨设 在 的右侧,则 的轨迹是 ,所以 范围是 .
第 2 问:取 中点 ，则 在 上，
设
.
故答案为:
【解析二】
① 由题, , 为 平分线,故 为弧 中点, ,
从而两条从 到 的弧对应圆心角分别为 与 ,且一大一小和为 ,
已知小者为 ,则 ,所以 ;
② ，
,将 代入,
,
,
当且仅当 时取等,因此 的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.有 和 两道谜语,张某猜对 迷语的概率为 0.8,猜对得奖金 10 元; 猜对 谜语的概率为 0.5 ，猜对得奖金 20 元. 若规定只有猜对第一道迷语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择.
(1)求张某猜对两道谜语的概率；
(2)张某该选择先猜哪一道？请说明理由 .
【解析】(1) ；
(2)若先选择 ，则奖金可能是 0 元，10 元和 30 元， 元； 若先选择 ,则奖金可能是 0 元,20 元和,30 元, , ,故先选择 题 .
16.已知函数 的部分图象如图所示, 是图象的一个最低点， 是图象的一个最高点.
(1)求函数 的解析式;
(2)已知 也是图象的最低点， 是图象与 轴的交点，求 .
【解析】(1) ,
,所以 .
(2)令 ,结合图像可知 ,
所以 ,所以 ,所以 .
17.已知等差数列 的前 项和为 ,数列 满足
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)将数列 的公共项从小到大排列组成新的数列 ，求 的前 项和 .
【解析】
(1) ,所以 . ,所以 .
(2) 满足 ，当 是奇数时， ，矛盾！
当 是偶数时,得 ,符合题目,
所以 ,所以 .
18.已知平面直角坐标系 上一动点 满足 .
(1)求点 的轨迹曲线 的方程；
(2)斜率为 -1 的直线与曲线 交于 两点，点 .
(i) 求直线 的斜率之和;
(ii) 的外接圆圆心 是否在某定直线上? 说明理由.
【解析】(1)由定义可知 的轨迹是双曲线的一支,
,所以 ,所以 ,所以 ,
所以点 的轨迹曲线 的方程为 .
(2)(i) 设 ,直线 , 联立可得 ,
所以 ,
所以 .
(ii) 设 的外接圆是 ,将 代入, ,
联立 的方程,有 ,
由韦达定理, ,
,
解得 ,所以 ,
所以 ,即圆心 恒在直线 上 .
19.已知四面体 ， ， ， ， ， 为 的三等分点 (靠近 ), 为 的中点,过点 的动平面 交射线 于 .
(1)如图，当 时，
(i) 求 的长;
(ii) 空间中一动点 ,定义 . 当四面体 的体积最小时,是否存在点 ,使得 ? 并说明理由;
(2)当 时,记四面体 内切球的半径为 ,求 的最大值.
【解析】
(1) (i)
,
所以 .
(ii) 设 ,则 ,
而 四点共面，所以 ,
,其中 是和 有关的常数,
所以 ,当且仅当 时取等,
所以 ,即 是 的重心,
另一方面,在平面上研究 的最小值,设 ,
则 ,
求导可知, 的最小值,当 是取得,即 是 的重心,
所以不存在点 ,使得 .
(2)不妨将其放入空间直角坐标系，此时 ， ， ，
其中 (沿用前文的 ,题目所求用 表示)，
设 ,则 ,
四面体 体积 ,其面积
所以
设 ,则 ,
只需求 的最小值,
其中
(当且仅当 时取等)
,
取 ,则 ,
令 ，得 ， 结合图像取值范围可知,当 时, .