德阳市2025—2026学年高二上学期期末考试数学试题及答案

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是特合题目要求的.
1. 复数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算即可求解.
【详解】由题意得：，
故选：C.
2. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出焦参数，根据焦点的位置确定准线方程．
【详解】由题意焦点在轴正半轴，，，所以准线方程为．
故选：C．
3. 若函数的最小正周期为，则等于（ ）
A. 4B. 2C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据周期公式计算.
【详解】由题意可知，，得.
故选：B
4. 设集合，，则的子集个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线与双曲线的位置关系确定集合中元素的个数，从而确定其子集的个数.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
所以直线与双曲线无公共点.
即，故其子集个数为.
故选：B
5. 设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即可.
【详解】依题意，，，
所以的大小关系是.
故选：C
6. 函数有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得函数的图象过点，把问题转化为：函数没有零点函数的图象与直线无交点，数形结合可得解．
【详解】因为时，，可知函数的图象过点，
所以函数有且只有一个零点
函数没有零点
函数的图象与直线无交点．

当时，，
由图可知，函数 的图象与直线无交点或．
结合选项只有是的真子集，
故是函数有且只有一个零点的充分不必要条件.
故选：D．
7. 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则在椭圆上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：椭圆，为坐标原点，点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于，两点，则面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据切线方程公式可得直线方程，进而求解，两点的坐标，即可得面积的表达式，结合基本不等式即可求解最值.
【详解】设,,
由题意可得的方程为，
令，，则,,
故，
由于在上，故，
由于，故，故，当且仅当时取等号，
故，即的面积的最小值为，
故选：A
8. 随机投掷一枚质地均匀的骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件“第一次的点数为奇数”，事件“第二次的点数为奇数”，事件“两次点数之和为奇数”，则不正确的是（ ）
A. B. 与互斥
C. 与相互独立D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用古典概型概率公式来求解事件概率，再结合互斥事件和相互独立事件概念来判断即可．
【详解】由古典概型概率公式可得：，故A正确；
因为“第一次的点数为奇数且第二次的点数为奇数”，
此时两次点数之和为偶数，所以与互斥，故B正确；
由，
因，则与相互独立，故C正确；
因为“第一次的点数为奇数且第二次的点数为奇数”，此时和为偶数，
事件“两次点数之和为奇数”，所以不可能发生，即，
而，则，故D错误.
故选：D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得4分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
B. 若非零向量，，满足，，则有；
C. 若是空间一个基底，对空间任意一点，若；则，，，四点共面；
D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
【答案】AD
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析判断即可
【详解】A：若，不共线，则在空间中取与，都垂直的非零向量，
则可作为空间向量的一组基底，与已知矛盾，故，因此本选项说法正确；
B：当时，
显然，
因此，，但，所以本选项说法不正确；
C：因为，所以，，，四点不共面，因此本选项说法不正确；
D：假设共面，则由平面向量基本定理可知共面，
与是空间的一个基底矛盾，假设不成立，
所以也是空间的一个基底，所以本选项说法正确.
故选：AD
10. 已知圆，点，则下列结论正确是（ ）
A. 直线与圆相交
B. 若点为圆上一点，则的最小值为0
C. 圆与圆相离；
D. 过点作圆的切线，则切线长为.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据圆的性质、直线与圆的位置关系、两圆的位置关系及切线长公式逐一来分析即可.
【详解】圆的圆心，半径，
圆心为到直线的距离为，
故直线与圆相离，故A错误，
的几何意义是圆上的点与点连线的斜率，
设，则，即，
当直线与圆相切时，有，解得或，
故的最小值为0，故B正确，
圆的圆心坐标为，半径为，
圆心之间的距离为，又，
即圆心之间的距离等于两圆的半径和，故两圆外切，故C错误，
，根据切线长公式，故D正确.
故选：BD.
11. 如图，在等腰中，，，，分别是线段，上异于端点的动点，且，现将沿直线折起至，使平面平面，当从滑动到的过程中，下列选项中正确的是（ ）
A. 二面角的平面角的大小为定值
B.
C. 三棱锥的体积的最大值为
D. 与所成的角先变小后变大
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的几何体，利用二面角的定义求解判断A；利用余弦定理求出判断B；利用锥体的体积公式求出最大值判断C；利用异面直线所成角的定义列出函数关系求解判断D.
【详解】翻折前，，，则，翻折后，，，
由平面平面，平面平面，平面，则平面，
对于A，过点在平面内作的延长线于点，连接，

由平面，得，而平面，
则平面，又平面，则，
二面角的平面角为，由，，
得，二面角的大小为定值，A正确；
对于B，由平面，得，
设，则，，
，，
由余弦定理得，，B错误；
对于C，，，
当且仅当，即时取等号，C正确；
对于D，由，得，，
而，平面，则平面，
与所成的角为，且，
而函数先递增后递减，因此与所成的角先变小后变大，D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题3个小题，每小题5分，共15分.
12. 棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积等于______.
【答案】
【解析】
【分析】
棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，从而得到结果．
【详解】∵棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
∴球的直径是正方体的对角线，
∴球的半径是，
∴球的表面积是4.
故答案为：.
13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，在双曲线的右支上，，则双曲线离心率的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】结合已知条件与双曲线的定义可得，再利用余弦定理得到，求出的范围，即可求出结果.
【详解】设，由，得，
由余弦定理得，
因为，所以，即，又，
所以.
故答案为：.
14. 已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简，证得的图象关于点对称，再利用等差数列的下标和性质即可求出.
【详解】
，
因为，所以的图象关于点对称，
因为数列是等差数列，所以，
故，
故数列的前17项和为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小遁，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，，，分别是角，，的对边，已知.
（1）求角的大小；
（2）已知点在边上，且，，且的面积为，求边的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理即可求出；
（2）利用已知条件求出的长，再利用面积公式求出的长，最后在中利用余弦定理即可求出.
【小问1详解】
，，则，,
故上式化为，
根据二倍角公式，得，
根据正弦定理，得，
，，,
又，，.
【小问2详解】
，三角形为直角三角形，又，三角形为等腰直角三角形，
，又，，
又的面积为，根据面积公式得，解得，
在中，根据余弦定理得，
即，所以，
故边的长为.
16. 为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘节”活动.现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）试估计消费金额的84%分位数.
（2）若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，再从5人中抽取2人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求2人中至少有1人消费金额不低于100元的概率.
（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案.
方案一：每满80元可减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克水果，应该选择哪种方案更优惠.
【答案】（1）92 （2）
（3）方案二更优惠
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图估计百分位数.
（2）利用古典概型求对应事件的概率.
（3）分别求出两个方案的费用，进行比较，可得答案.
【小问1详解】
先计算各区间的频率：
：频率为；：频率为；
：频率为；：频率为；
：频率为；：频率为.
因为，.
所以消费金额的分位数位于之间.
由.
所以消费金额的分位数为.
【小问2详解】
5名“水果达人”中，消费不低于100元的人数为：（人），
从5名“水果达人”中随机抽取2人的抽法有种，
至少有1人消费不低于100元的抽法有：种，
设事件：2人中至少有1人消费金额不低于100元，则.
【小问3详解】
游客按方案一，购买10千克水果，需花费：元；
按方案二，购买10千克水果，需花费：元.
所以游客应该选择方案二更优惠.
17. 已知等差数列的前项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若是以1为首项，2为公比的等比数列，数列的前项和为.
（ⅰ）求；
（ⅱ）若对恒成立，求参数的取值范围.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质、对数运算的性质，结合等差数列前项和公式、通项公式进行求解即可；
（2）（ⅰ）根据等比数列的通项公式，结合错位相减法进行求解即可；
（ⅱ）用比较法判断数列的单调性，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
，
所以数列的通项公式.
【小问2详解】
（ⅰ）因为是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以.
，
，
两式相减，得
；
（ⅱ），
因为
所以，所以数列是单调递增数列，
所以数列的最小项为，
要想对恒成立，
只需，
所以参数的取值范围为.
18. 如图，四棱锥是正四棱锥，设平面与平面的交线为，为上异于点的一点.

（1）求证：；
（2）棱上找一点，使得平面平面，并给出证明；
（3）若正四棱锥的所有棱长均相等，，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）当为的中点时，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证得平面，再利用线面平行的性质定理即可得证；
（2）当为的中点时，平面平面，利用面面垂直的判定定理即可得证；
（3）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.
【小问1详解】
在正四棱锥中，底面为正方形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，
所以；
【小问2详解】
当为的中点时，平面平面，
证明如下：
在正四棱锥中，，又为中点，
所以，
在正方形中，，所以，
正方形中，，又，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
【小问3详解】
因为正四棱锥的所有棱长均相等，所以两两垂直，
以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设正四棱锥的棱长为，
所以，
所以，
所以，
又，所以，
所以，
设平面的法向量为，
所以，令，得，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19. 已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点.若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，其离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，，过点作直线与椭圆交于不同的两点，（异于，），直线，的交点为.
（ⅰ）某同学闲暇时作了多条不同直线，相应产生了多个不同点，他感觉这些点在一条直线上.请你对其感觉的正确性给出判断并证明；
（ⅱ）设直线，交点为，试问：与的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）在直线上，证明见解析；（ⅱ）定值为，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用离心率和椭圆定义即可求解；
（2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，再利用交点坐标表示两条相交直线，通过方程组求出交点纵坐标，再利用韦达定理来证明定值即可；
（ⅱ）把面积问题转化为两交点的横坐标问题，通过求解横坐标之积，就能证明两三角形面积之积为定值的问题.
【小问1详解】
由题意可得：，解得，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
（ⅰ）设直线方程为，与椭圆联立，消得：
，

又设交点，则，
所以有
则直线方程为：，直线方程为：，
两式消元得：，
代入可得：，
即交点为的纵坐标为常数，即这些点在一条直线上；
（ⅱ）因为与的面积之积是,

由（ⅰ）可得交点为的纵坐标为常数，代入直线方程可得：
， 即交点为的横坐标为
又设直线方程为：，直线方程为：，
两式消元得：，
代入可得：，
即交点为的纵坐标也为常数，即点也在这条直线上，
把代入直线方程可得：
，即交点为的横坐标为，
由，
因为，所以，
即与的面积之积是.