四川省德阳市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

这是一份四川省德阳市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是特合题目要求的.
复数1 i1 2i 等于（）
1 2i
1 2i
3  i
3  i
抛物线 x2  4 y 的准线方程为（）
y  2
x  2
y  1
x  1
若函数 y 
3 cs 2ωx φω 0 的最小正周期为 π ，则ω等于（）
2
2
A. 4B. 2C. 1D. 1
设集合 A   x, y  |
0
y  2x ， B   x, y  | 4x2
B. 1
 y2  1，则 A  B
C. 2
的子集个数为（）
D. 4
3
 3 
A. c  b  a
4)2 ， c  1 lg 4 ，则 a ， b ， c 的大小关系是（）
33
B. a  b  cC. c  a  bD. a  c  b
设 a
( ) 4 ， b(
4
2x  a, x  0
函数 f  x  lg2 x, x  0,

有且只有一个零点的充分不必要条件是（）
a  1
0  a  1
2
1  a  1
2
a  0
已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为 x2  y2  1a  b  0 ，则在椭圆上一点 A x , y  处的切线
x0 x  y0 y  1
a2b2
00
x2y2C
方程为
a2b2
，试运用该性质解决以下问题：椭圆C1 : 4  3
 1， O 为坐标原点，点 B 为 1 在
3
3
3
第一象限中的任意一点，过 B 作C1 的切线l ， l 分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于C ， D 两点，则VOCD 面积的最小值为（）
3
2
3
6
12
随机投掷一枚质地均匀的骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件 A  “第一次的点数为奇数”，事件 B 
“第二次的点数为奇数”，事件C  “两次点数之和为奇数”，则不正确的是（）
A. P  A  P  B  P C 
A  B 与C 互斥
A 与C 相互独立D. P  ABC   P  A P  B P C 
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得 4 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
下列命题正确的有（）
若向量a ， b 与空间任意向量都不能构成基底，则 a ∥b ；
若非零向量a ， b ， c 满足 a  b ， b  c ，则有a ∥c ；
–––→ –––→ –––→–––→3 –––→1 –––→1 –––→
若OA, OB, OC是空间的一个基底，对空间任意一点O ，若OP  OA  OB  OC ；则 P ，
A ， B ， C 四点共面；
→→ →→ →→
→ → →
448
若a  b, b  c, c  a是空间的一个基底，则a, b, c也是空间的一个基底
已知圆C : x2  y2  1 ，点 A4, 0 ，则下列结论正确的是（）
A 直线 x  y  2  0 与圆C 相交
B. 若点 P  x, y  为圆C 上一点，则 y  1 的最小值为 0
x  4
C. 圆C 与圆 x  32   y  42  16 相离；
15
D. 过 A 点作圆C 的切线，则切线长为.
如图，在等腰Rt△ABC 中， BC  2 ， C  90 ， D ， E 分别是线段 AB ， AC 上异于端点的动点，且 DE // BC ，现将V ADE 沿直线 DE 折起至V ADE ，使平面 ADE  平面 BCED ，当 D 从 B 滑动到 A 的过程中，下列选项中正确的是（）
二面角 A  BD  C 的平面角的大小为定值
ADB  150
三棱锥 A  EBC 的体积的最大值为 1
3
AB 与 DE 所成的角先变小后变大
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题：本题 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
棱长为 2 的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积等于.
x2y2FF
已知双曲线
a2b2
 1a  0, b  0 的左、右焦点分别为 1 ， 2 ， P 在双曲线的右支上，
PF1  4 PF2 ，则双曲线离心率的取值范围是.
已知等差数列a 中， a  7π ，设函数 f  x  cs4 x  sin4 x  2 3 sin x cs x  1 ，记
n912
yn  f an  ，则数列yn 的前 17 项和为.
四、解答题：本题共 5 小遁，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
在V ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边，已知 a sin B  b 1 2 sin A cs B  C  .
22

求角 A 的大小；
2
2
已知点 D 在边 AC 上，且 AB  BD ， AB  ，且△BCD 的面积为 1 ，求边 BC 的长.
为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘节”活动.现统计了 4 月份 200 名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图.
试估计消费金额的 84%分位数.
若将消费金额不低于 80 元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的 “水果达人”中抽取 5 人，再从 5 人中抽取 2 人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求 2 人中至少有 1 人消费金额不低于 100 元的概率.
为吸引顾客，该村特推出两种促销方案.方案一：每满 80 元可减 8 元；
方案二：金额超过 50 元但又不超过 80 元的部分打 9 折，金额超过 80 元但又不超过 100 元的部分打 8
折，金额超过 100 元的部分打 7 折.
若水果的价格为 11 元/千克，某游客要购买 10 千克水果，应该选择哪种方案更优惠.
已知等差数列a  的前 n 项和为 S ， a  2 ，且lg 2a1  2a2 L2a11   132 .
nn12
求数列an的通项公式；
若 bn  是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，数列b 的前 n 项和为T .
 a nn
 n 
求Tn ；
若Tn  m2  m 对 n  N* 恒成立，求参数m 的取值范围.
如图，四棱锥 A  BCDE 是正四棱锥，设平面 ACD 与平面 ABE 的交线为l ， F 为l 上异于点 A 的一点.
求证： AF ∥CD ；
在棱 DE 上找一点G ，使得平面 ABC  平面 AFG ，并给出证明；
若正四棱锥 A  BCDE 的所有棱长均相等， AF  1 CD ，求直线 DF 与平面 ABC 所成角的正弦值.
3
已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过
x2y2FF
另一个焦点.若从椭圆C :

a2b2
 1a  b  0 的左焦点 1 发出的光线，经过两次反射之后回到点 1 ，
光线经过的路程为 8，其离心率为 3 .
2
求椭圆C 的方程；
设 A0,1 ， B 0, 1 ，过点T 0, 2 作直线l 与椭圆C 交于不同的两点 M ， N （异于 A ， B ），直线 BM ， AN 的交点为G .
某同学闲暇时作了多条不同直线l ，相应产生了多个不同G 点，他感觉这些G 点在一条直线上.请你对其感觉的正确性给出判断并证明；
设直线 AM ， BN 交点为 H ，试问： △GAB 与VHAB 的面积之积是否为定值？若是，求出该定
值；若不是，说明理由.
高二年级数学练习题
第 I 卷（选择题共 58 分）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是特合题目要求的.
复数1 i1 2i 等于（）
1 2i
1 2i
3  i
3  i
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算即可求解.
【详解】由题意得： 1 i1 2i  1 2i2 +i  2i  3  i ，故选：C.
抛物线 x2  4 y 的准线方程为（）
y  2
x  2
y  1
x  1
【答案】C
【解析】
【分析】求出焦参数 p ，根据焦点的位置确定准线方程．
【详解】由题意焦点在 y 轴正半轴， 2 p  4 ， p  2 ，所以准线方程为 y  1．
故选：C．
若函数 y 
3 cs 2ωx φω 0 的最小正周期为 π ，则ω等于（）
2
2
A. 4B. 2C. 1D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据周期公式计算.
【详解】由题意可知， 2π  π ，得ω 2 .
2ω2
故选：B
设集合 A   x, y  | y  2x ， B   x, y  | 4x2  y2  1，则 A  B 的子集个数为（）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线与双曲线的位置关系确定集合 A  B 中元素的个数，从而确定其子集的个数.
【详解】因为双曲线4x2  y2  1的渐近线方程为2x  y  0 ，所以直线 y  2x 与双曲线4x2  y2  1无公共点.
即 A ∩ B   ，故其子集个数为20  1.
故选：B
设 a
3
 () 4
 3
4 ， b
 ()2
4
3
， c  1 lg3 4
，则 a
， b ， c
的大小关系是（）
c  b  a
【答案】C
【解析】
a  b  c
c  a  b
a  c  b
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即可.
3  3
4 34
3  3
【详解】依题意， a  () 4  ()4  ()2  b ， c  1 lg 4  1 lg 3  0  ()
4  a ，
433
334
所以 a, b, c 的大小关系是c  a  b .
故选：C
2x  a, x  0
函数 f  x  lg2 x, x  0,

有且只有一个零点的充分不必要条件是（）
a  1
0  a  1
2
1  a  1
2
a  0
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得函数 f (x) 的图象过点(1, 0) ，把问题转化为：函数 y  2x  a(x  0) 没有零点 函数
y  2x (x  0) 的图象与直线 y  a 无交点，数形结合可得解．
【详解】因为 x  0 时， f (x)  lg2 x ，可知函数 f (x) 的图象过点(1, 0) ，所以函数 f (x) 有且只有一个零点
 函数 y  2x  a(x  0) 没有零点
 函数 y  2x (x  0) 的图象与直线 y  a 无交点．
当 x  0 时， y  2x (0,1] ，
由图可知，函数 y  2x (x  0) 的图象与直线 y  a 无交点 a  0 或 a  1 ．
结合选项只有, 0 是, 01,  的真子集，
2x  a, x  0
故 a  0 是函数 f  x  lg2 x, x  0,

有且只有一个零点的充分不必要条件.
故选：D．
已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为 x2  y2  1a  b  0 ，则在椭圆上一点 A x , y  处的切线
x0 x  y0 y  1
a2b2
00
x2y2C
方程为
a2b2
，试运用该性质解决以下问题：椭圆C1 : 4  3
 1， O 为坐标原点，点 B 为 1 在
3
3
3
第一象限中的任意一点，过 B 作C1 的切线l ， l 分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于C ， D 两点，则aOCD 面积的最小值为（）
3
2
3
6
12
【答案】A
【解析】
【分析】根据切线方程公式可得直线方程，进而求解C ， D 两点的坐标，即可得面积的表达式，结合基本不等式即可求解最值.
【详解】设 B  x0 , y0  , x0  0, y0  0 ,
由题意可得l 的方程为 xx0  yy0  1，
43
令 x  0, y  3 ，
y
y  0, x  4 ，则
x
C  4 , 0  D  0, 3  ,
 ,
xy
故 S
0
1
2
OC OD  1 
0 00 
3  4 6，

aOCD
y0x0x0 y0
x2y2x2y2
由于 B  x0 , y0  在C : 1上，故 0  0  1，
1
x  0, y  0
4343
0 0
43
xy
22

x2  y2   x y
3
6
x y  
由于 00
，故 0 0
12
0 0 ，故 0 0
，当且仅当 x2, y时
3
43
002
取等号，故 SaOCD 
3
6 6
x0 y0
 2
3
，即aOCD 的面积的最小值为2，
3
故选：A
随机投掷一枚质地均匀的骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件 A  “第一次的点数为奇数”，事件 B 
“第二次的点数为奇数”，事件C  “两次点数之和为奇数”，则不正确的是（）
A. P  A  P  B  P C 
A  B 与C 互斥
A 与C 相互独立D. P  ABC   P  A P  B P C 
【答案】D
【解析】
【分析】利用古典概型概率公式来求解事件概率，再结合互斥事件和相互独立事件概念来判断即可．
【详解】由古典概型概率公式可得： P  A  3  1 , P  B  3  1 , P C   2  3 3  18  1 ，故 A 正
626236362
确；
因为 A ∩ B  “第一次的点数为奇数且第二次的点数为奇数”，此时两次点数之和为偶数，所以 A  B 与C 互斥，故 B 正确；
由 P  AC   3 3  1 , P  A  1 , P C   1 ，
36422
因 P  AC   P  A P C  ，则 A 与C 相互独立，故 C 正确；
因为 A ∩ B  “第一次的点数为奇数且第二次的点数为奇数”，此时和为偶数，
事件C  “两次点数之和为奇数”，所以 A  B  C 不可能发生，即 P  ABC   0 ，
而 P  A P  B P C   1 ，则 P  ABC   P  A P  B P C  ，故 D 错误.
8
故选：D．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得 4 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
下列命题正确的有（）
若向量a ， b 与空间任意向量都不能构成基底，则 a ∥b ；
若非零向量a ， b ， c 满足 a  b ， b  c ，则有a ∥c ；
–––→ –––→ –––→–––→
–––→
–––→
1 –––→
若OA, OB, OC是空间的一个基底，对空间任意一点O ，若OP 
OA 
OB 
OC ；则 P ，
A ， B ， C 四点共面；
→→ →→ →→
→ → →
448
若a  b, b  c, c  a是空间的一个基底，则a, b, c也是空间的一个基底
【答案】AD
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析判断即可
【详解】A：若a ， b 不共线，则在空间中取与a ， b 都垂直的非零向量c ，
→ → →
则a, b, c 可作为空间向量的一组基底，与已知矛盾，故 a ∥b ，因此本选项说法正确；
→→
B：当 a  1, 0, 0, b  0,1, 0, c  0, 0,1 时，显然 a  b  0, b  c  0, a  c  0 ，
因此 a  b ， b  c ，但 a  c ，所以本选项说法不正确；
C：因为 3  1  1  9  1，所以 P ， A ， B ， C 四点不共面，因此本选项说法不正确；
4488
a, b, c
a
c, ca
D：假设 →→ 共面，则由平面向量基本定理可知 →  b, b  → →  → 共面，
→→ →
→ →→
与a  b, b  c, c  a是空间的一个基底矛盾，假设不成立，
→ → →
所以a, b, c 也是空间的一个基底，所以本选项说法正确.
故选：AD
已知圆C : x2  y2  1 ，点 A4, 0 ，则下列结论正确的是（）
直线 x  y  2  0 与圆C 相交
若点 P  x, y  为圆C 上一点，则 y  1 的最小值为 0
x  4
圆C 与圆 x  32   y  42  16 相离；
15
过 A 点作圆C 的切线，则切线长为.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据圆的性质、直线与圆的位置关系、两圆的位置关系及切线长公式逐一来分析即可.
【详解】圆C : x2  y2  1 的圆心C 0, 0 ，半径 r  1，
11
0  0  2
2
圆心为C 0, 0 到直线 x  y  2  0 的距离为 d  1 ，故直线 x  y  2  0 与圆C 相离，故 A 错误，
y  1 的几何意义是圆C 上的点 P  x, y  与点Q 4,1 连线的斜率，
y 1
x  4
设 k ，则 y 1  k  x  4 ，即kx  y  4k  1  0 ，
x  4
当直线kx  y  4k  1  0 与圆C 相切时，有
y  1
 1，解得 k  0 或 k  8 ，
k 2 1
4k 1
15
故
x  4
的最小值为 0，故 B 正确，
1
圆 x  32   y  42  16 的圆心坐标为 D 3, 4 ，半径为 r  4 ，
3  02  4  02
圆心之间的距离为 CD 
 5 ，又 r  r1
 1 4  5 ，
42 12
即圆心之间的距离等于两圆的半径和，故两圆外切，故 C 错误，
AC 2  r 2
AC  4 ，根据切线长公式l 

，故 D 正确.
15
故选：BD.
如图，在等腰Rt△ABC 中， BC  2 ， C  90 ， D ， E 分别是线段 AB ， AC 上异于端点的动点，且 DE // BC ，现将V ADE 沿直线 DE 折起至aADE ，使平面 ADE  平面 BCED ，当 D 从 B 滑动到 A 的过程中，下列选项中正确的是（）
二面角 A  BD  C 的平面角的大小为定值
ADB  150
三棱锥 A  EBC 的体积的最大值为 1
3
AB 与 DE 所成的角先变小后变大
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的几何体，利用二面角的定义求解判断 A；利用余弦定理求出cs ADB 判断 B；利用锥体的体积公式求出最大值判断 C；利用异面直线所成角的定义列出函数关系求解判断 D.
【详解】翻折前， DE // BC ， BC  AC ，则 DE ⊥AC ，翻折后， DE  AE ， DE  CE ，
由平面 ADE  平面 BCED ，平面 ADE I 平面 BCED  DE ， AE  平面 A¢DE ，则 AE  平面
BCED ，
对于 A，过点 E 在平面 BCED 内作 EF  BD 的延长线于点 F ，连接 AF ，
由 BD  平面 BCED ，得 A E  BD ，而 AE ∩ EF  E, AE, EF  平面 AEF ，
则 BD ⊥平面 AEF ，又 AF
 平面 AEF ，则 AF
 BD ，
二面角 A  BD  C 的平面角为AFE ，由EDF  π ， EF 2 DE 2 AE ，
422
2
得tan AFE  AE ，二面角 A  BD  C 的大小为定值，A 正确；
EF
2
对于 B，由 BE  平面 BCED ，得 AE  BE ，
设 DE  t(0  t  2) ，则 AD 
2t ， BD  2
2t ，
BE2  BC 2  CE2  4  (2  t)2  t 2  4t  8 ， AB2  AE2  BE2  2t 2  4t  8 ，
由余弦定理得cs ADB 
AD2  BD2  AB2 
2 AD  BD
2t 2  4t
  1 ， ADB  120∘
2 2t  2(2  t)
2
，B 错误；
对于 C， S
 1  2(2  t)  2  t ，V
 1 S
 AE  1 t(2  t)  1 (t  2  t )2  1 ，
a EBC2
A EBC
3 △EBC
3323
当且仅当t  2  t ，即t  1时取等号，C 正确；
对于 D，由 DE  AE, DE  CE, DE / / BC ，得 BC  AE ， BC  CE ，而 AE  CE  E ， AE, CE  平面 ACE ，则 BC  平面 ACE ，
2(t 1)2  6
AB
AB 与 DE 所成的角为ABC ，且cs ABC  BC 2，
而函数cs ABC 先递增后递减，因此 AB 与 DE 所成的角先变小后变大，D 正确.故选：ACD
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）三、填空题：本题 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
棱长为 2 的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积等于.
【答案】12π
【解析】
【分析】
棱长为 2 的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，从而得到结果．
【详解】∵棱长为 2 的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
3
∴球的直径是正方体的对角线，
22  22  22
∴球的半径是2r 
∴球的表面积是 4 π 
故答案为：12π.
 2 3 2  12π.
 r 3 ，
x2y2FF
已知双曲线
a2b2
 1a  0, b  0 的左、右焦点分别为 1 ， 2 ， P 在双曲线的右支上，
PF1  4 PF2 ，则双曲线离心率的取值范围是.
【答案】1  e  5
3
【解析】
 PF
 8a
1
【分析】结合已知条件与双曲线的定义可得
3 ，再利用余弦定理得到
2a
 PF 
17a2  9c2
179 2
23
cs   e ，求出csθ的范围，即可求出结果.
8a288
 PF  8a
 PF1
 4 PF2
13
【详解】设 F1PF2 θ，由 PF  PF  2a ，得2a ，
12
 PF 
23
PF 2  PF 2  F F 217a2  9c2179
由余弦定理得csθ 121 2  e2 ，
2 PF1
 PF2
8a288
因为θ 0,π，所以cs 1,1 ，即1  17  9 e2  1，又e  1 ，
88
所以1  e  5 .
3
故答案为：1  e  5 .
3
已知等差数列a 中， a  7π ，设函数 f  x  cs4 x  sin4 x  2 3 sin x cs x  1 ，记
n912
yn  f an  ，则数列yn 的前 17 项和为.
【答案】17
【解析】
f x 
π 
 7π
【分析】利用三角恒等变换化简  2 cs  2x  3  1 ，证得 f  x 的图象关于点 12 , 1 对称，再利

用等差数列的下标和性质即可求出.
【详解】 f  x  cs4 x  sin4 x  2 3 sin x cs x 1  cs2 x  sin2 xcs2 x  sin2 x  2 3 sin x cs x 1
 cs 2x 
3 sin 2x 1 

2 cs  2x
 π  1，

3

7ππ  7π
因为cs 2  12  3   0 ，所以 f  x 的图象关于点 12 , 1 对称，

因为数列an 是等差数列，所以 a1  a17  a2  a16 L  a8  a10  2a9 ，
故 f a1   f a17   f a2   f a16  L  f a8   f a10   2 f a9   2 ，
故数列yn  的前 17 项和为2  8 1  17 .
故答案为： 17
四、解答题：本题共 5 小遁，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
在V ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边，已知 a sin B  b 1 2 sin A cs B  C  .
22

求角 A 的大小；
2
2
已知点 D 在边 AC 上，且 AB  BD ， AB ，且△BCD 的面积为 1 ，求边 BC 的长.
【答案】（1） A  π
4
5
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理即可求出；
（2）利用已知条件求出 BD, AD 的长，再利用面积公式求出CD 的长，最后在△BCD 中利用余弦定理即可求出.
【小问 1 详解】
Q A  B  C  π ， B  C  π  A ，则 B  C  π  A ，cs B  C  cs  π  A   sin A ,
222
22

故上式化为 a sin B  b 1AA   a sin B  b 1 2 sin2 A  ，
2 sin 2 sin 2 2 

根据二倍角公式，得 a sin B  b cs A ，
根据正弦定理，得sin Asin B  sin Bcs A ，
Q0  B  π ，sin B  0 ，sin A  cs A ,
又0  A  π ，tan A  1， A  π .
4
【小问 2 详解】
Q AB  BD ，三角形 ABD 为直角三角形，又 A  π ，三角形 ABD 为等腰直角三角形，
4
2
AB2  BD2
2  2
BDC  3π，又 AB ， BD 
4
2, AD 

 2 ，
1
又△BCD 的面积为 2 ，根据面积公式得
S 1  BD  CD sin BDC  1 

 CD sin 3π  1 ，解得CD  1，
a BCD
2242
在△BCD 中，根据余弦定理得 BC 2  BD2  CD2  2BD  CD cs BDC ，
BC 2   2 2 12  2 2 1cs 3π  2 1 2
 2   5
2
即
4
  2 
，所以 BC ，
5

5
故边 BC 的长为.
为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘
节”活动.现统计了 4 月份 200 名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图.
试估计消费金额的 84%分位数.
若将消费金额不低于 80 元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的 “水果达人”中抽取 5 人，再从 5 人中抽取 2 人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求 2 人中至少有 1 人消费金额不低于 100 元的概率.
为吸引顾客，该村特推出两种促销方案.方案一：每满 80 元可减 8 元；
方案二：金额超过 50 元但又不超过 80 元的部分打 9 折，金额超过 80 元但又不超过 100 元的部分打 8
折，金额超过 100 元的部分打 7 折.
若水果的价格为 11 元/千克，某游客要购买 10 千克水果，应该选择哪种方案更优惠.
7
【答案】（1）92（2）
10
（3）方案二更优惠
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图估计百分位数.
利用古典概型求对应事件的概率.
分别求出两个方案的费用，进行比较，可得答案.
【小问 1 详解】
先计算各区间的频率：
0, 20：频率为0.0050  20  0.1 ； 20, 40：频率为0.0075 20  0.15 ；
40, 60：频率为0.0100  20  0.2 ； 60,80 ：频率为0.0150  20  0.3 ；
80,100 ：频率为0.0075 20  0.15 ； 100,120 ：频率为0.0050  20  0.1 .
因为0.1 0.15  0.2  0.3  0.75 ， 0.1 0.15  0.2  0.3  0.15  0.9 .
所以消费金额的84% 分位数位于80,100 之间.
由80  0.84  0.75  20  92 .
0.15
所以消费金额的84% 分位数为92 .
【小问 2 详解】
5 名“水果达人”中，消费不低于 100 元的人数为： 5
0.1
0.15  0.1
 2 （人），
5
从 5 名“水果达人”中随机抽取 2 人的抽法有C2  10 种，
322
至少有 1 人消费不低于 100 元的抽法有： C1 C1  C2  7 种，
设事件 A ：2 人中至少有 1 人消费金额不低于 100 元，则 P  A  7 .
10
【小问 3 详解】
游客按方案一，购买 10 千克水果，需花费：1110  8  102 元；
按方案二，购买 10 千克水果，需花费： 50  80  50 0.9  100  80 0.8  110 100 0.7  100
元.
所以游客应该选择方案二更优惠.
已知等差数列a 的前 n 项和为 S ， a  2 ，且lg
2a1  2a2 L2a11   132 .
nn12
求数列an的通项公式；
若 bn  是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，数列b 的前 n 项和为T .
 a nn
 n 
求Tn ；
若Tn  m2  m 对 n  N* 恒成立，求参数m 的取值范围.
【答案】（1） an  2n
（2）（ⅰ） Tn
 n 1 2n1  2 （ⅱ） 2,1
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质、对数运算的性质，结合等差数列前 n 项和公式、通项公式进行求解即可；
（2）（ⅰ）根据等比数列的通项公式，结合错位相减法进行求解即可；
（ⅱ）用比较法判断数列的单调性，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.
【小问 1 详解】
设等差数列an的公差为 d ，
22
lg 2a1  2a2 L2a11   132  lg 2a1 a2 La11  132
 a  a L a  132  11 2  1 1110d  132  d  2 ，
12112
所以数列an的通项公式 an  2  n 1 2  2n .
【小问 2 详解】
 bn 
因为 a  是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，
 n 
所以 bn  1 2n1  b  2n  2n1  b
 n  2n .
a
nn
n
n
T  1 21  2  22  3 23 L n 1 2n1  n  2n ， 2T  1 22  2  23  3 24 L n 1 2n  n  2n1 ，
n
1
两式相减，得Tn  21  22  23 L 2n  n  2n

2 1 2n
T  n  2n1  T
 n 1 2n1  2 ；
n1 2n
Tn
 m2  m  n 1 2n1  2  m2  m ，
因为Tn1
 Tn
 n  2n+2  2  n 1 2n1  2  2n  2n1  n 1 2n1  n 1 2n1  0,
所以Tn1  Tn ，所以数列Tn是单调递增数列，所以数列Tn的最小项为T1  2 ，
要想Tn  m2  m 对 n  N* 恒成立，
只需 m2  m  T
 m2  m  2  m2  m  2  0  m  2m 1  0  2  m  1 ，
1
所以参数m 的取值范围为2,1 .
如图，四棱锥 A  BCDE 是正四棱锥，设平面 ACD 与平面 ABE 的交线为l ， F 为l 上异于点 A 的一点.
求证： AF ∥CD ；
在棱 DE 上找一点G ，使得平面 ABC  平面 AFG ，并给出证明；
若正四棱锥 A  BCDE 的所有棱长均相等， AF  1 CD ，求直线 DF 与平面 ABC 所成角的正弦值.
3
【答案】（1）证明见解析
当G 为 DE 的中点时，证明见解析
2 42
21
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证得CD / / 平面 ABE ，再利用线面平行的性质定理即可得证；
当G 为 DE 的中点时，平面 ABC  平面 AFG ，利用面面垂直的判定定理即可得证；
建立空间直角坐标系，求平面 ABC 的法向量 n ，利用向量的夹角公式即可求解.
【小问 1 详解】
在正四棱锥 A  BCDE 中，底面 BCDE 为正方形，所以CD / / BE ，又CD  平面 ABE ， BE  平面 ABE ，所以CD / / 平面 ABE ，
又CD  平面 ACD ，平面 ABE ∩平面 AC D 
所以 AF / /CD ；
【小问 2 详解】
AF ，
当G 为 DE 的中点时，平面 ABC  平面 AFG ，证明如下：
在正四棱锥 A  BCDE 中， AD  AE ，又G 为 DE 中点，所以 AG  DE ，
在正方形 BCDE 中， BC / / DE ，所以 AG  BC ，
在正方形 BCDE 中， BC  CD ，又 AF / /CD ，
所以 AF ⊥BC ，又 AF ∩ AG  A ， AF , AG  平面 AFG ，所以 BC  平面 AFG ，又 BC  平面 ABC ，
所以平面 ABC  平面 AFG ；
【小问 3 详解】
因为正四棱锥 A  BCDE 的所有棱长均相等，所以OC,OD,OA 两两垂直，
以O 为原点，分别以OC,OD,OA 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系O  xyz ，如图所示：
设正四棱锥 A  BCDE 的棱长为3，
2
所以OA  OC  OD  OB  OE  3 ，
所以 A0, 0, 3, B 0, 3, 0, C 3, 0, 0, D 0, 3, 0 ，
所以CD  3, 3, 0, BA  0, 3, 3, CA  3, 0, 3, DA  0, 3, 3 ，
又 AF 
1–––→
CD ，所以 AF 
1 –––→
CD 
1 3, 3, 0  1,1, 0 ，
333
所以 DF  DA  AF  0, 3, 3  1,1, 0  1, 2, 3 ，
→
设平面 ABC 的法向量为 n   x, y, z  ，
→ –––→
n  BA  3y  3z  0→
所以→
–––→
，令 z  1，得 n  1, 1,1 ，
n  CA  3x  3z  0
n  DF
→ –––→
n DF
→ –––→
11 21  31 3  14
设直线 DF 与平面 ABC 所成角为θ，
→ –––→
42 42
所以sinθ cs n, DF
，
3  14
21
所以直线 DF 与平面 ABC 所成角的正弦值为 2 42 .
21
已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过
x2y2FF
另一个焦点.若从椭圆C :

a2b2
 1a  b  0 的左焦点 1 发出的光线，经过两次反射之后回到点 1 ，
光线经过的路程为 8，其离心率为 3 .
2
求椭圆C 的方程；
设 A0,1 ， B 0, 1 ，过点T 0, 2 作直线l 与椭圆C 交于不同的两点 M ， N （异于 A ， B ），直线 BM ， AN 的交点为G .
某同学闲暇时作了多条不同直线l ，相应产生了多个不同G 点，他感觉这些G 点在一条直线上.请你对其感觉的正确性给出判断并证明；
设直线 AM ， BN 交点为 H ，试问： △GAB 与aHAB 的面积之积是否为定值？若是，求出该定
值；若不是，说明理由.
x22
【答案】（1） y
4
 1；
（2）（ⅰ）在直线 y  1 上，证明见解析；（ⅱ）定值为3 ，证明见解析.
2
【解析】
【分析】（1）利用离心率和椭圆定义即可求解；
（2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，再利用交点坐标表示两条相交直线，通过方程组求出交点纵坐标，再利用韦达定理来证明定值即可；
（ⅱ）把面积问题转化为两交点的横坐标问题，通过求解横坐标之积，就能证明两三角形面积之积为定值的问题.
【小问 1 详解】
4a  8
3
c

由题意可得：  
a  2
3

，解得c ，
 a2

222
b  1
b  a  c
所以椭圆C 的方程为
x2  2
y
4
 1；
【小问 2 详解】
设直线l 方程为
y  kx  2
，与椭圆
x2  2
y
4
 1联立，消
y 得：
x2  4 kx  22  4  0  1 4k 2  x2 16kx 12  0 ，
又设交点 M  x , y , N  x , y
 ，则 x  x
 16k
, x x 12，
1122
所以有3 x1  x2   4kx1x2
121 4k 21 2
1 4k 2
则直线 AN 方程为： y  y2 1 x 1，直线 BM 方程为： y  y1 1 x 1，
x2x1
y1 1  y2 1
两式消元 x 得： y x1
x2 x2 kx1  3  x1 kx2 1  2kx1 x2  3x2  x1 ，
y1 1  y2 1
x2 kx1  3  x1 kx2 1
3x2  x1
x1x2
3 x  x 2  3 x1  x2   3x  x
x
1 x
12
代入 kx x 可得： y 4
21  2 22 1  1 ，
1 24
3x  x
3x  x2
2121
即交点为G 的纵坐标为常数 1 ，即这些G 点在一条直线 y  1 上；
22
1
2
因为△GAB 与aHAB 的面积之积是AB x  1 AB x 1  2 x  1  2 x
 x  x,
2H2G2
GH
由（ⅰ）可得交点为G 的纵坐标为常数 1 ，代入直线 AN 方程 y  y2 1 x 1可得：
1  y2 1 x 1  x   1
2
x2， 即交点为G 的横坐标为 x
x2
  1x2
2x2 y 1G2 y 1
222
又设直线 AM 方程为： y  y1 1 x 1，直线 BN 方程为： y  y2 1 x 1，
x1x2
两式消元 x 得： y  2kx1 x2  3x1  x2 ，
3x1  x2
3 x  x 
2  3 x1  x2   3x  x
x
1 x
12
代入 kx x 可得： y 4
12  2 12 2  1 ，
1 24
3x  x
3x  x2
1212
即交点为 H 的纵坐标也为常数 1 ，即 H 点也在这条直线 y  1 上，
22
把 y  1 代入直线 BN 方程 y  y2 1 x 1可得：
2
1  y2 1 x 1  x  3
x2
x2，即交点为 H 的横坐标为 x 3x2，
2x2 y 1H2 y 1
222
3x1x3x23x2
由 xG  xH  2   2    2  2 ，
2 y 12 y 14 y2 14 1 y2
2222
x
4
3 x2
x222x2
x  x
  2  3
因为 2  y
4
2  1  1 y2
 2 ，所以 GH2，
2
4
即△GAB 与aHAB 的面积之积是
AB x  1 AB x x  x
 3 .
1
2
G2HGH