2026年上海市中考数学模拟预测训练试题（原题卷+解析版）

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1．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键．
根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方运算法则分别判断即可．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、与不能合并，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》票房表现亮眼，截止到3月4日，累计票房已达145亿元，
据相关数据预测，电影《哪吒之魔童闹海》到3月30日下映时的总票房将达到160亿元以上，
数据16000000000用科学记数法表示约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可．
【详解】解：16000000000用科学记数法表示为．
故选：A．
3．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形对角互补，即可求解．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ，
∴，
故选：C．
某校足球社团共有30名成员，他们的年龄在12岁至16岁之间，在统计全体社团成员的年龄时，
14岁和15岁的人数尚未统计完全，并制作了如下的表格，根据表格，
关于全体社团成员年龄的统计量能确定的是（ ）
A．平均数和中位数；B．平均数和方差；
C．众数和中位数；D．众数和方差．
【答案】C
【分析】本题主要考查了众数和中位数，理解众数和中位数的定义是解题的关键．通过已知人数确定总人数关系，分析各统计量是否受未确定人数影响．
【详解】解：由表可知，年龄13岁与14岁的频数和为：，
13岁的人数有11人，该组数据的众数为13，中位数为13，
所以全体社团成员年龄的统计量能确定的是众数和中位数，
故选：C．
4．如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（ ）

A．B．8C．D．4
【答案】A
【分析】连接，根据可得为的直径，又根据得到，故在直角三角形中，利用特殊角的三角函数即可求出．
【详解】解：连接，
，
，
为的直径，
，
，
在中,
，
．.
故选：A．
最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角
（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．
机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ）

A．40cmB．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：连接，过B作于D，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即机器狗正常状态下的高度为，
故选：D．
如图，在中，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，
分别交于E，F两点；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，
两弧在内交于点G，作射线交于点H，则的长为（ ）

A．1B．2C．2.5D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，正确求出的长是解题的关键．
根据平行四边形的性质以及角平分线的性质求出，进而求出，据此解答．
【详解】解：由作图方法可知，平分，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
．
故选：A．
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7．若分式有意义，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不等于零，即可求解．
【详解】解：若分式有意义，
则，
解得，
故答案为：．
8. 因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查的是用提公因式法、平方差公式分解因式，能够熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，再用平方差公式来分解因式．
【详解】解∶ ．
故答案为∶ ．
9．方程的根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解无理方程，掌握解方程的步骤是解题的关键．
先两边平方，化为整式方程，再求解，注意解无理方程与分式方程一样需要检验．
【详解】解：
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴原方程的根为，
故答案为：．
方程的解为 ．
【答案】
【分析】方程两边同时乘以化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验．
【详解】解：方程两边同时乘以，得，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
11．不等式组的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】解：
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：；
故答案为：．
12．一般情况下路口会设置红色、黄色、绿色三种颜色的信号灯．
已知某路口三种信号灯的时长依次是：红灯秒、黄灯4秒、绿灯秒，
一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查简单概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键，根据题意找到事件中的部分和整体，利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是：，
故答案为：．
13．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有实数根时．
根据一元二次方程有实数根，可知，然后即可求得a的取值范围．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
14．方程组的解是 .
【答案】或
【分析】本题考查解二元二次方程组，代入消元法．将方程组先转化为或，再进行求解即可．
【详解】解：，
由①得：，
∴或，
∴或，
∴方程组的解为：或；
故答案为：或．
小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行
所走的路程 S（千米）关于小张所用时间 t（分钟）的函数关系．根据图象提供的信息，
小张比小王早到乙地的时间是 分钟．

【答案】12
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟悉掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．根据图象所给信息，利用待定系数法即可求出小王和小张路程的函数解析式，再把路程8代入即可求出小王和小张行走8千米的时间，作差即可．
【详解】解：由图象可知：
设的解析式为：，
∵经过点，
∴，得，
∴函数解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴小张到达乙地所用时间为48（分钟）；
设的解析式为：，
∴，
解得：，
∴的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴小张比小王早到乙地的时间是（分钟）．
故答案为：12．
如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点，
若的面积为6，则 .

【答案】4
【分析】过点作轴的垂线交轴于点，可得到四边形，和三角形的面积相等，通过面积转化，可求出的值．
【详解】解：过点作轴的垂线交轴于点，
的面积和的面积相等．
的面积和四边形的面积相等且为6．
设点的横坐标为，纵坐标就为，
为的中点．
，，
四边形的面积可表示为：
．
故答案为：4．
如图，在中，点是边中点，点是线段中点，
设，那么 ．（结果用含、的式子表示）

【答案】
【分析】本题考查了平面向量的知识点，运用三角形法则是解题的关键．先用、的线性组合表示，再表示即可．
【详解】解：在中，
，，
是边中点，
，
在中，
，
点是线段中点，
，
在中，
，
故答案为：．
18. 第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽如图1所示，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，
恰好能够组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为_______

【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，锐角三角函数．熟练掌握直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，正弦定义，是解决问题的关键．
在中，运用勾股定理求出，同理在中，求出，再根据正弦定义计算，即得．
【详解】∵中，，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值，二次根式，分数指数幂，零指数幂等．先化简绝对值，二次根式，分数指数幂，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．
【详解】解：
．
先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，掌握运算法则是解题的关键．
先计算括号内分式减法运算，再将除法化为乘法进行计算，最后再代入，分母有理化即可．
【详解】解：原式
．
把代入，原式=．
某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，
某高架路上车辆的平均速度（千米/时）与高架路上每百米车的数量（辆）的关系如图所示．

求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时．
① 求该时刻高架路上每百米车的数量；
② 如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．
而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，
为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？
【答案】(1)，，且x为整数；
(2)①25辆；②20分钟
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
（1）设出函数解析式，再根据函数图象利用待定系数法求解即可；
（2）①根据（1）所求函数解析式，令函数值为30，求出x的值即可得到答案；②令函数值小于20求出x的取值范围，再根据每百米车辆数每4分钟增加1辆和现在每百米车的数量为25辆列式求解即可．
【详解】（1）解：设关于的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴关于的函数解析式为，
在中，当时，，
∴，且x为整数；
（2）解：①在中，当时，，
∴该时刻高架路上每百米车的数量为25辆；
②由题意得，，
解得，
分钟，
答：为了避免严重拥堵，那么最晚20分钟需启动限流措施．
如图，在中，为中线，平分，且，分别交、于点、，
，交于点，，．

求的长；
求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据三角函数计算出，，从而得到，结合角平分线得到，即可得到答案；
（2）根据垂直得到，从而得到，，即可得到答案．
【详解】（1）解析：，，
，，
∴，
∵平分，
∴，
；
（2）解：为中线，
为中点，
，，
∴，
∴，
∴
为中点，
，
同理可得，，
，
，
∵，
，
．
23．为的直径，，点C在上．联结OC、，过点O作，交于点D．
(1) 如图，联结，当时，求证：四边形是菱形；

作，垂足为E．
① 如图，联结、，交半径于点F，当时，求线段的长；

② 如图，联结、、，设的面积为，四边形的面积为，
如果，求线段的长．

【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）利用同圆的半径相等的性质，平行线的性质和等边三角形的判定与性质得到，再利用菱形的判定定理解答即可；
（2）①利用平行线的性质，圆周角定理和垂径定理得到，则，，即可得出结论；
②过点O作于点H，得，则，利用全等三角形的面积相等和同高的三角形的面积比等于底的比的性质得到，从而求得；利用全等三角形的性质得到，最后根据解答即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
同理，是等边三角形，．
又∵，
∴．
∴四边形是菱形．
（2）解：①∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，
∴，
∴．
②过点O作于点H，得，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴．
∵在中，，，
∴．
平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），
与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E．

直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标；
(2) 联结，如果平分，求a的值；
(3) 点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，
那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由．
【答案】(1)直线，
(2)
(3)直线恒过定点．
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）根据对称轴计算公式求出对称轴，再求出函数值为0时自变量的值即可求出A、B的坐标；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义可推出，则，再根据题意可得点C和点E关于抛物线的对称轴对称，则；求出点C坐标，进而表示出，根据建立方程求解即可；
（3）根据图形面积之间的关系可得，则，求出D、E坐标，进而得到直线解析式为，则直线解析式为，进一步求出，同理可得直线解析式为，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线，
当时，解得或，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，且C、E都在抛物线上，
∴点C和点E关于抛物线的对称轴对称，
∴；
在中，当时，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴或（舍去）；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴，
由对称性可知，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∴可设直线解析式为，
把代入中得：，解得，
∴直线解析式为，
联立解得或，
∴，
同理可得直线解析式为，
在中，当时，，
∴直线恒过定点．
25．（1）【问题发现】

如图①，在中，，，D为的中点．以为一边作正方形．
点E恰好与点A重合，则与的数量关系为______________；
（2）【拓展研究】
在（1）的条件下，如果正方形绕点C旋转，连接，
，．与的数量关系是否会发生变化？请仅就图②的情形给出证明；
（3）【问题解决】
当正方形旋转到B，E，F三点共线时，求线段的长．
【答案】（1）；
（2）与的数量关系不会发生变化；证明见解析．
（3）或；
【分析】（1）本题考查勾股定理，正方形的性质，根据勾股定理直接求出，从而得到，结合正方形的性质即可得到即可得到答案；
（2）本题考查解直角三角形的应用及相似三角形判定与性质，根据解直角三角形得到，即可得到，即可得到答案；
（3）本题考查勾股定理的应用及线段的加减，根据题意分点在线段上，当点在线段的延长线上两类讨论求解即可得到答案；
【详解】解：（1），理由如下，
在中，，
根据勾股定理，得，
为的中点，
，
四边形是正方形，
，
，
；
（2）与的数量关系不会发生变化，
证明：在中，，
，
，
，
中，，
，
又，
，即，
，
，
，
与的数量关系不会发生变化；
（3）①当点在线段上时，如题图②．
由题意可知，，
在中，，，
根据勾股定理，得，
，
由（2）知，
；
②当点在线段的延长线上时，
．
同理可得，
，
由（2）知，
，
年龄（单位：岁）
12
13
14
15
16
人数（单位：名）
7
11
2