2025-2026学年四川省雅安市高三上学期月考第一次诊断性考试数学试卷（学生版）

这是一份2025-2026学年四川省雅安市高三上学期月考第一次诊断性考试数学试卷（学生版），共5页。试卷主要包含了解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知平面向量与的夹角为，，则（ ）
A. 2B.
C. D.
5. 已知函数则方程实数根的个数为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则其离心率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在正四棱台中，，，，则该正四棱台的外接球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，函数 的图象过 ， 两点，则（ ）

A.
B.
C. 在区间 上的值域为
D. 将 的图象向右平移 个单位后得到的函数的图象关于直线 对称
10. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点为上异于长轴的顶点的一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时，椭圆的离心率为；
B. 当的面积的最大值为时，椭圆的长轴长的最小值为4；
C. 已知 ，当点位于第一象限时，四边形的面积的最大值为；
D. 已知 ，则直线与直线的斜率之积为.
11. 如图，已知正方体的棱长为，分别是的中点，是正方形内（含边界）一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当四点共面时，点的轨迹的长度为
B. 平面截正方体所得的截面的形状可能是五边形
C. 一定是锐角三角形
D. 当正方形内（含边界）一点满足平面平面时，的最小值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上
12. 计算：___________.
13. 甲、乙两人分别从A，B，C，D，E五个景点中随机选择一个景点游玩，若这两人中至少有一人选择景点A，则他们选择的景点不相同的概率为____.
14. 在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，如图所示的曲线为卡西尼卵形线且过坐标原点，其中两定点为，，曲线上点在第一象限内且满足的面积为，则_______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前n项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，为的前n项和，证明：.
16. 某高校为制定针对性的阅读推广方案，从全校随机抽取400名大学生开展“纸质书阅读偏好”专项调查，收集到的性别与专业交叉数据如下表（单位：人）：
（1）依据的独立性检验，能否认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关？
（2）从样本中“喜欢阅读纸质书”的大学生里，按专业类型用分层抽样抽取8人组建“纸质书推广志愿队”，再从这8人中随机抽取3人负责校园书展策划，记最后抽取的3人中，选中的文科学生人数为，求的分布列与数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
17. 如图所示，在中，，，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，使得二面角为直二面角.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面；
（3）若，为中点，求直线与平面所成角的正弦值.
18. 已知函数.
（1）若，证明：；
（2）令，若函数在区间上恰有一个零点，求k的取值范围；
（3）若，证明：.
19. 已知曲线上动点满足，其中，，抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上，线段与抛物线交于点，，.
（1）求曲线方程和抛物线的方程；
（2）点是抛物线上的动点，过点作曲线的两条切线分别与交于两点，求的面积的最小值及此时点的坐标.
专业类型
阅读偏好
合计
喜欢阅读纸质书
不喜欢阅读纸质书
文科
150
120
270
理工科
50
80
130
合计
200
200
400
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828