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四川省雅安市2023-2024学年高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题（含答案）
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这是一份四川省雅安市2023-2024学年高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题（含答案），文件包含四川省遂宁市2023-2024学年高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题docx、2024地区一诊理数答案简pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
数学（理科）
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
3．执行如图所示的程序框图，若输入的值为2023，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙两个口袋中均装有1个黑球和2个白球，现分别从甲、乙两口袋中随机取一个球交换放入另一口袋，则甲口袋的三个球中帢有两个白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，正方形的边长为4，E为的中点，为边上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．5
7．“”是“函数的图象关于直线对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（ ）
A．420 B．460 C．480 D．520
10．若点是函数图象上任意一点，直线为点处的切线，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12．已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，分别为的左、右顶点．为上一点，且轴，直线与轴交于点，直线与交于点，直线与轴交于点．若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数满足则的最大值为________．
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数：________．
①偶函数；②最大值为2；③最小正周期是．
15．在正四棱台内有一个球与该四棱台的每个面都相切（称为该四棱台的内切球），若，则该四棱台的外接球（四棱台的顶点都在球面上）与内切球的半径之比为________．
16．若点为的重心，，则________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生依据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
某工厂注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线．现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联表：
（1）通过计算判断，是否有的把握认为产品质量与生产线有关系？
（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品．若在这6件产品中随机抽取3件，求这3件产品中产自于甲生产线的件数的分布列和数学期望．
附表及公式：
其中．
18．（12分）
已知数列与正项等比数列满足，且________．
（1）求与的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（12分）
已知为坐标原点，过点的动直线与抛物线相交于两点．
（1）求；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在不同于点的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（12分）
如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面．
（1）求证：；
（2）若，在棱上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）
已知函数（其中为实数）．
（1）若，证明：；
（2）探究在上的极值点个数．
（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，已知曲线（其中），曲线为参数，，曲线（t为参数，）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求的极坐标方程；
（2）若曲线与分别交于两点，求面积的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数．
（1）解不等式；
（2）令的最小值为，正数满足，证明：． 良
优
合计
甲生产线
40
80
120
乙生产线
80
100
180
合计
120
180
300
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
数学（理科）
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
3．执行如图所示的程序框图，若输入的值为2023，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙两个口袋中均装有1个黑球和2个白球，现分别从甲、乙两口袋中随机取一个球交换放入另一口袋，则甲口袋的三个球中帢有两个白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，正方形的边长为4，E为的中点，为边上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．5
7．“”是“函数的图象关于直线对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（ ）
A．420 B．460 C．480 D．520
10．若点是函数图象上任意一点，直线为点处的切线，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12．已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，分别为的左、右顶点．为上一点，且轴，直线与轴交于点，直线与交于点，直线与轴交于点．若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数满足则的最大值为________．
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数：________．
①偶函数；②最大值为2；③最小正周期是．
15．在正四棱台内有一个球与该四棱台的每个面都相切（称为该四棱台的内切球），若，则该四棱台的外接球（四棱台的顶点都在球面上）与内切球的半径之比为________．
16．若点为的重心，，则________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生依据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
某工厂注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线．现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联表：
（1）通过计算判断，是否有的把握认为产品质量与生产线有关系？
（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品．若在这6件产品中随机抽取3件，求这3件产品中产自于甲生产线的件数的分布列和数学期望．
附表及公式：
其中．
18．（12分）
已知数列与正项等比数列满足，且________．
（1）求与的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（12分）
已知为坐标原点，过点的动直线与抛物线相交于两点．
（1）求；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在不同于点的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（12分）
如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面．
（1）求证：；
（2）若，在棱上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）
已知函数（其中为实数）．
（1）若，证明：；
（2）探究在上的极值点个数．
（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，已知曲线（其中），曲线为参数，，曲线（t为参数，）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求的极坐标方程；
（2）若曲线与分别交于两点，求面积的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数．
（1）解不等式；
（2）令的最小值为，正数满足，证明：． 良
优
合计
甲生产线
40
80
120
乙生产线
80
100
180
合计
120
180
300
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
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