山西省太原市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含答案（word版+pdf版）

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1. 抛物线 x2=4y 的准线方程为
A. y=1 B. y=−1 C. x=1 D. x=−1
2. 双曲线 x23−y2=1 的焦点坐标为
A. −2,0,2,0 B. −3,0,3,0
C. 0,−2,0,2 D. 0,−3,0,3
3. 以椭圆 x24+y2=1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为
A. y2=2x B. y2=4x C. y2=6x D. y2=8x
4. 已知方程 x22m−y23−m2=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则实数 m 的取值范围为
A. 0,+∞ B. 1,+∞ C. 0,3 D. 1,3
5. 已知双曲线 C 以圆 x2+y2−4x=0 的圆心为右焦点,其渐近线方程为 y=±3x ,则双曲线 C 的标准方程为
A. x2−y23=1 B. y23−x2=1 C. x22−y26=1 D. y26−x22=1
6. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ,过抛物线 C 上的点 M 作其准线的垂线,垂足为 N ,若 ∠MFN=60∘ ,且 FN=6 ,则 p=
A. 2 B. 23 C. 3 D. 33
7. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点与双曲线 E:x2a2−y2b2=1a>b>0 的右焦点 F 重合, C 的准线与 E 相交于 A,B ,若 △ABF 是等腰直角三角形,则双曲线 E 的离心率为
A. 3+22 B. 3−2 C. 2+1 D. 22−1
8. 已知 A−4,0,B4,0,P 是圆 O:x2+y2=9 (O为坐标原点)上任意一点， Q 是圆 O 外一点，若 ∠AQP=∠BQP ,且 PQ⊥BP ,则点 Q 的轨迹方程为
A. x29−y27=1 B. y27−x29=1 C. x29−y216=1 D. y29−x216=1
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符 合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分.
9. 已知抛物线 C1:x2=y 与 C2:y2=x ,则下列结论正确的是
A. C1 与 C2 的焦点相同 B. C1 与 C2 的离心率相同
C. C1 与 C2 的准线相同 D. C1 与 C2 的焦点到准线的距离相同
10. 已知直线 l:y=kx+1k∈R ,抛物线 C:y2=4x ,则下列结论正确的是
A. 当 k>1 时,直线 l 与抛物线 C 没有公共点
B. 若直线 l 与抛物线 C 有唯一公共点,则 k=1
C. 当 k0 且 λ≠1) 的点的轨迹是圆”. 后来,人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆. 已知在平面直角坐标系 xOy 中, A−2,1,B−2,−2 ,点 M 是当 λ=12 的阿氏圆上的动点. 若点 N 为抛物线 y2=12x 上的动点,过点 N 作 y 轴的垂线,垂足为 H ,则 MA+MN+NH 的最小值为_____.
四、解答题(本题共5小题, 共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题 13 分)
(1)已知抛物线 C 的焦点坐标为 0,1 ,求 C 的标准方程和准线方程;
(2)已知双曲线 C 的实轴长为 2，且经过点 A2,3 ，求 C 的标准方程和焦点坐标.
16. (本小题 15 分)
已知抛物线 C 的焦点 F 是直线 x+y−2=0 与 x 轴的交点.
(1)求抛物线 C 的标准方程；
(2)过点 F 的直线 l 交 C 于 A,B 两个不同点，且 AB=16 ，求直线的 l 方程.
17. (本小题 15 分)
已知点 A−1,0 , B1,0 ,直线 PA 与 PB 相交于点 P ,且它们的斜率之积为 3,记点 P 的轨迹为曲线 C .
(1)求曲线 C 的方程；
(2)若直线 l:y=kx+m 与 C 相交于于 M ， N 两个不同点，且线段 MN 的中点坐标为 1,n ，求实数 n 的取值范围.
18. (本小题 17 分)
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率 e=2 ，其焦点到它的渐近线的距离为 1 . 直线 l:y=kx+1 与 C 的左、右两支分别相交于点 A,B .
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)求实数 k 的取值范围；
(3)若 △AOB (0是坐标原点)的面积为 6 ，求实数 k 的值.
19. (本小题 17 分)
已知抛物线 C:x2=2pyp>0 ，直线 y=1 与 C 相交于 A ， B 两个不同点， A 在 y 轴左侧，且 AB=4 .
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)过抛物线 C 焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 M ， N 两个不同点(异于 A ， B 两点)， M 在 y 轴左侧. ①若直线 l 的斜率为 1，求 MFNF 的值；
②设直线 AM 与 BN 相交于点 G ，证明:点 G 在定直线上.
2025~2026 学年第一学期高二年级期末学业诊断数学试题 参考答案及评分建议
一. 单项选择题:BADC ACCA
二. 多项选择题: 9. BD 10. ACD 11. BCD
三. 填空题: 12.y=±33x 13. 3 14. 26−3
四. 解答题: 15. 解: (1) 由题意可设抛物线 C 的标准方程为 x2=2pyp>0 ,
∵C 的焦点坐标为 0,1,∴p2=1,∴p=2 ,
∴ 抛物线 C 的标准方程为 x2=4y ,其准线方程为 y=−1 . 5 分
(2)当双曲线 C 的焦点在 x 轴上时,设其标准方程为 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ,
由 2a=2,4a2−3b2=1 得 a=1,b=1,∴x2−y2=1 ,焦点坐标为 F±2,0 . 9 分
当双曲线 C 的焦点在 y 轴上时,设其标准方程为 y2a2−x2b2=1a>0,b>0 ,
因 2a=2,3a2−4b2=1 得 a=1,b=2,∴y2−x22=1 ,焦点坐标为 F0,±3 13 分
16. 解: (1) 由题意可设抛物线 C:y2=2pxp>0 , 2 分
∵ 直线 x+y−2=0 与 x 轴的交点为 2,0,∴F2,0,∴p2=2,∴p=4 ,
∴ 抛物线 C 的标准方程为 y2=8x . 6 分
(2)设 Ax1,y1,Bx2,y2 ，直线的 l 方程为 x=my+2 ， 8 分
由 y2=8x,x=my+2 得 y2−8my−16=0,∴y1+y2=8m , 10 分
∵AB=AF+BF=x1+2+x2+2=my1+y2+8=8m2+8=16,∴m=±1,⋯14 分
∴ 直线的 l 方程为 x=±y+2 ,即 x±y−2=0 . 15 分
17. 解: (1) 设 Px,y ,由题意得直线 PA 斜率为 kPA=yx+1x≠−1 , 2 分
直线 PB 斜率为 kPB=yx−1x≠1,∴yx+1⋅yx−1=3 , 5 分
化简,得曲线 C 的标准方程 x2−y23=lx≠±l . 6 分
(2)设 Mx1,y1,Nx2,y2 ，由 y=kx+m,x2−y23=1 得 3−k2x2−2kmx−m2+3=0 ， 8 分
∴x1+x2=2km3−k2=2 ,且 3−k2≠0,∴km=3−k2,∵n=k+m,∴k=3n,m=n3n,⋯⋯12 12 分 ∵Δ=4k2m2+43−k2m2+3>0,∴m2+3>k2,∴n−3n2+3>9n2,∴n3 ,
∴ 实数 n 的取值范围为 −∞−3∪3,+∞ . 15 分
18. 解:(1)由题意双曲线 C 的渐近线方程为 y=±bax ,即 ±bx−ay=0 ， 1 分
由 e=ca=2,bca2+b2=1,得a=b=1,∴双曲线C的方程为x2−y2=1.c2=a2+b2 5 分
(2)设 Ax1,y1,Bx2,y2 ，由 y=kx+1,x2−y2=1 得 1−k2x2−2kx−2=0, 7 分 ∴1−k2≠0,Δ=4k2+81−k2>0,∴−1