山东省菏泽市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含答案（word版+pdf版）

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1. 本试卷分选择题和非选择题两部分. 满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑:非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的.
1. 已知经过 A0,2 、 B−1,0 两点的直线的方向向量为 a,1 ，则 a 的值为
A. -2B. −12 C. 12 D. 2
2. 已知 an 为等差数列. a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99 ,则 a21=
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3. 若圆 x2+y2+2ax−4ay+5a2−4=0 上所有的点都在 y 轴左侧,则实数 a 的取值范围是
A. −2,+∞ B. 0,+∞ C. 2,+∞ D. 0,2
4. 如图，在四面体 OABC 中， OA=a.OB=b.OC=c . 点 N 在 BC 上，且 CN=12NB,M 为 OA 的中点，则 MN 等于

A. −12a+13b+23cB. 32a−53b+23c
C. 32a−13b−23cD. −12a+23b+13c
5. 已知一动圆与圆 x2+y2+6y+5=0 外切，同时与圆 x2+y2−6y−91=0 内切，则该动圆圆心的轨迹方程为
A. x236+y227=1 B. y236+x227=1 C. x24−y25=1 D. y24−x25=1
6. 在空间直角坐标系中,若平面 α 经过点 Px0,y0,z0 且以 n1=a1,b1,c1 为法向量,则平面 α 的方程为 a1x−x0+b1y−y0+c1z−z0=0 : 若直线 l 经过点 Px0,y0,z0 且以 n2=a2,b2,c2a2b2c2≠0 为方向向量,则直线 l 的方程为 x−x0a2=y−y0b2=z−z0c2 . 已知平面 α 的方程为 2x−2y+z−5=0 ,直线 l 的方程为 x+12=y−22=z ,且 l⊥β ,则平面 α 与平面 β 夹角的正弦值为
A. 19 B. 13 C. 229 D. 459
7. 设 S=2×22026+3×22024+4×22023+5×22022+⋯+2026×21 ,则 S 的值为
A. 22027−2028 B. 3×22027−4056 C. 22028−4056 D. 22029−4056
8. 双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1、F2,A1 为双曲线的左顶点, O 为坐标原点,以 F1F2 为直径的圆与 C 的渐近线在第一象限交于点 M ,且 tan∠A1MO=13 , 则双曲线 C 的离心率为
A. 2 B. 3 C. 5 D. 2 或 5
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知数列 an 满足 an=a1+n−1dn∈N∗ ， d 为常数，则
A. an 是等差数列
B. 2an 是等比数列
C. ∃d≠0 ，使得 1an 为等差数列
D. ∃d≠0 ，使得 an 中存在相邻三项成等比数列
10. 已知 O 为坐标原点，点 P 在直线 l:tx+y−3=0t∈R 上， PA、PB 是圆 O : x2+y2=3 的两条切线， A 、 B 为切点，则
A. 直线 l 恒过定点 0,3
B. 若圆 O 上恰有三个点到 l 的距离为 32 ，则 t=11
C. 若 △PAB 为等边三角形，则 OP=23
D. 若 PA⊥PB ,则 t 的取值范围是 −∞,−22∪22,+∞
11. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=4,AD=2,AA1=3,M 为 CC1 的中点， N 为 ABCD 所在平面上一动点, N1 为 A1B1C1D1 所在平面上一动点,且 NN1⊥ 平面 ABCD ,则
A. 若点 N 到点 N1 与到直线 BC 的距离相等,则动点 N 的轨迹为抛物线
B. 若 MN 与平面 ABCD 所成的角为 π6 ，则动点 N 的轨迹为圆
C. 若三棱柱 NAB−N1A1B1 的侧面积为定值，则动点 N 的轨迹为椭圆
D. 若 D1N 与 AD 所成的角为 π4 ，则动点 N 的轨迹为双曲线
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱 AA1 的长为 2 ， 且 ∠A1AB=∠A1AD=60∘ ，则 AC1 的长为_____.
13. 已知数列 an 的通项公式为 an−−n2+3λn,n≤8λ−12n−5,n>8 n∈N∗,λ∈R ,若 an 是递增数列, 则实数 λ 的取值范围是_____.
14. 过点 −1,2 的直线分别与 x 轴、 y 轴交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点. 若使得 △AOB 的面积为 m 的直线有且只有 2 条,则 m 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 在三棱锥 P−ABC 中,已知 PA=1,0,2,PB=−2,0,1,PC=−2,1,0 .
(1)若 PA+kPB 与 PC 垂直，求 k ；
(2)求点 A 到平面 PBC 的距离.
16. (15 分) 已知抛物线 C:x2=2pyp>0 的准线与圆 x−22+y2=1 相切， M 是 C 上一点.
( 1 )若 F 是抛物线 C 的焦点， O 为坐标原点，且满足 ∠MFO=120∘ ，求 MF ；
(2)若点 A 的坐标为 12,6 ，求点 M 到点 A 的距离与到 x 轴的距离之和的最小值.
17. (15 分) 如图，在斜三棱柱 ABC−A1B1C1 中， AB⊥AC,O 为 BC 的中点，且 A1O⊥ 平面 ABC,AA1=2,AB=AC=2 .
(1)证明:四边形 BCC1B1 为矩形;
(2)若点 P 在线段 AB1 上(异于 A 点)，直线 A1P 与平面 APC 所成角的正弦值为 255 ，求 APAB1 的值.
18. (17分)已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 an+1=Sn+n+1n∈N∗,a2=3 .
(1)证明: an+1 是等比数列，并求 an 的通项公式；
(2)若 bn=an+12an+anan+1 ，求 bn 的前 n 项和 Tn ；
(3)是否存在正整数 m,n ，使得 40532026n .
因为 m,n 为正整数,所以 m−n≥1 ,
又 2m−12n−1=2m−n2n−1+2m−n−12n−1=2m−n+2m−n−12n−1