河南许昌市长葛市2025-2026学年高二第一学期期末质量检测数学试题（试卷+解析）

这是一份河南许昌市长葛市2025-2026学年高二第一学期期末质量检测数学试题（试卷+解析），共24页。试卷主要包含了 如图，在直三棱柱中，为的中点等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.
写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A. B. 4C. D. 5
3. 已知，则（ ）
A. 1B. C. 2026D.
4. 已知等比数列的前项和为，满足，公比，若，则的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
5. 已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）
A B.
C. D.
6. 法国数学家加斯帕尔•蒙日被称为“画法几何创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，称为椭圆的“蒙日圆”.若椭圆，且的离心率为，则的“蒙日圆”的方程为（ ）
A. 或
B 或
C 或
D. 或
7. 已知直线与抛物线交于两点，，点是上一点，若存在点，使得，则的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
8. 已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）
A.
B.
C. 的最小值为
D. 成立的最大正整数的值为15
10. 如图，在直三棱柱中，为的中点.若为线段上两点，且，则（ ）
A. 平面
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 点到平面的距离为
11. 已知抛物线的焦点为，准线为与轴交于点，过的一条直线交于两点，点为线段的中点，点是上异于原点的一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若等边的三个顶点都在上，则的周长为
B. 若的角平分线与轴交于点，则
C. 若点是轴正半轴上一点，且，则
D. 若，当取得最大值时，的面积为2
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则的极小值点为__________.
13. 某型号运载火箭的推进剂加注过程中，第1次加注的剂量为3吨，从第2次开始，每次加注的剂量比前一次多吨（为加注次数），则第次加注的剂量为______吨.
14. 已知点为双曲线的右顶点，点的坐标为，若上存在一点（不与点重合），使得，则的离心率的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知圆过点.
（1）求的标准方程；
（2）若过点直线与交于两点，且，求的方程.
16. 已知数列中，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）记，求数列的前项和.
17. 已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求的方程；
（2）若为坐标原点，过点且斜率不为0的直线与交于两点，求面积的最大值.
18. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面，.
（1）证明：平面；
（2）已知点为线段上一点（与不重合）.
（i）若二面角余弦值为，求的值；
（ii）若四点均在球的球面上，求球表面积的最小值.
19. 已知函数.
（1）当时，求的图象在点处的切线方程；
（2）若在上有唯一零点，求的取值范围；
（3）当时，若在上恒成立，求实数的最大整数值.
2025—2026学年第一学期期末质量检测
高二数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.
写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得直线的斜率，得出，结合倾斜角的定义，即可求解.
【详解】由直线，可得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，可得，
因为，所以.
故选：A.
2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A. B. 4C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出点的坐标，进而求出向量的模长.
【详解】由点是点在坐标平面内的射影，得,
，所以.
故选：D
3. 已知，则（ ）
A. 1B. C. 2026D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得，令可得答案.
【详解】，令，
则.
故选：D
4. 已知等比数列的前项和为，满足，公比，若，则的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列通项公式及前项和公式列出方程求解.
【详解】依题意，，，
由，得，整理得，则，
所以.
故选：B
5. 已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为
所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程，
所以
整理得，
故选：.
6. 法国数学家加斯帕尔•蒙日被称为“画法几何创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，称为椭圆的“蒙日圆”.若椭圆，且的离心率为，则的“蒙日圆”的方程为（ ）
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】注意到椭圆两条互相垂直的切线的交点为，据此可得椭圆的“蒙日圆”方程为：，然后讨论椭圆焦点位置结合题设可得答案.
【详解】对于椭圆，其两条互相垂直的切线的交点为，由题干信息，可得在椭圆“蒙日圆”上，又“蒙日圆”圆心在，则“蒙日圆”半径为，
即椭圆的“蒙日圆”方程为：.
对于椭圆，若焦点在轴上，由题可得
，，，则“蒙日圆”方程为：；
对于椭圆，若焦点在轴上，由题可得
，，，则“蒙日圆”方程为：.
故选：C
7. 已知直线与抛物线交于两点，，点是上一点，若存在点，使得，则的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】由直线与抛物线交于两点,联立组成方程组,利用韦达定理和弦长公式求抛物线方程,根据向量数量积的运算,利用基本不等式,计算即可.
【详解】直线与抛物线交于两点，
，整理得：，
设，由韦达定理得：，，
直线方程为：，
，即，
由弦长公式得
，则，
，
，
整理得：，解得：或（舍去），
抛物线的方程为，
若存点，使得，
设，则，，
，
化简得：，
，即，
当且仅当，即时，等号成立.
故选: C
8. 已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导数，由并同构变形,结合单调性转化为在恒成立，再构造函数并求出最小值即可.
【详解】依题意，，
由在上单调递增，得不等式
在上恒成立，令，
而在上单调递增，则函数在上单调递增，
因此在上恒成立，
令函数，求导得，
由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，则，因此，
所以实数a的最大值为.
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列前项和为，公差为，若，则（ ）
A.
B.
C. 的最小值为
D. 成立的最大正整数的值为15
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质可得，进而求得，再结合等差数列前项和公式及性质逐一判断.
【详解】在等差数列中，由，得，
则，即，因此，
对于A，由，得，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，等差数列是首项为正，公差为负的递减等差数列，
且是开口向下的二次函数，无最小值，C错误；
对于D，由选项C知，，当时，，当时，，
因此成立的最大正整数的值为15，D正确.
故选：AD
10. 如图，在直三棱柱中，为中点.若为线段上两点，且，则（ ）
A 平面
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 点到平面的距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据线面平行的判定定理、三角形中位线定理、异面直线所成角的定义，结合三棱锥体积公式和等积性逐一判断即可.
【详解】A：连接交于，连接，易知为中点，
，平面，平面，
所以面，所以本选项说法正确；
B：延长交于点，连接．则为平面与平面的交线，由于为中点，
所以，四边形为平行四边形．所以，
即为异面直线与所成角，
因为，
所以，，，，，所以本选项说法不正确；
C：，
在平面中，点到的距离为定值，而，
所以的面积是定值，
又因为三棱柱是直棱柱，
所以平面，平面，
所以，由上可知为中点，，
所以，因为平面，
所以平面，
所以是定值，所以三棱锥的体积为定值，因此本选项说法正确；
D：设点到平面的距离为，
因为，
所以，所以，
因为三棱柱是直棱柱，
所以平面，平面，
所以平面平面，
因为平面平面，平面，
所以平面，因为为中点，
所以点到平面的距离为，
所以由，得，
所以本选项说法正确.
故选：ACD
11. 已知抛物线的焦点为，准线为与轴交于点，过的一条直线交于两点，点为线段的中点，点是上异于原点的一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若等边的三个顶点都在上，则的周长为
B. 若的角平分线与轴交于点，则
C. 若点轴正半轴上一点，且，则
D. 若，当取得最大值时，的面积为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出点的坐标及的方程，由正三角形结合两点间距离公式确定点关系，进而求出三角形周长判断A；利用导数求出点的抛物线切线斜率，确定直线与夹角范围，再利用抛物线定义及三角形面积公式求解判断B；举例说明判断C；求出最大时点横坐标，进而求出三角形面积判断D.
【详解】抛物线的焦点，准线，，设，
对于A，设，由等边，得，则，
即，整理得，又，则，
而不重合，则线段被轴垂直平分，不妨令直线倾斜角为，
其方程为，由，得，，的周长为，A正确；
对于B，过点作于，则，由，求导得，
当直线与抛物线相切时，，解得，此时直线斜率的绝对值为1，
直线与的夹角最小，且为，因此，由平分，
得，B正确；
对于C，当轴时，点与重合，为轴正半轴上除焦点外任意一点，
均有，此时，而，不等式不成立，C错误；
对于D，由选项B得，当时，，，D正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则的极小值点为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求，根据导数的正负判断函数的单调性，进而确定函数的极值点.
【详解】定义域为，
，
令，解得：或，
当，，
在区间单调递增；
当，，
在区间单调递减；
是的极大值点，
当，，
在区间单调递增；
是的极小值点.
故答案为：
13. 某型号运载火箭的推进剂加注过程中，第1次加注的剂量为3吨，从第2次开始，每次加注的剂量比前一次多吨（为加注次数），则第次加注的剂量为______吨.
【答案】
【解析】
【分析】设第次加注的剂量为，先根据已知得出，再应用累加法结合等差数列求和公式计算求解.
【详解】设第次加注的剂量为，
因为从第2次开始，每次加注的剂量比前一次多吨，
所以，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
14. 已知点为双曲线的右顶点，点的坐标为，若上存在一点（不与点重合），使得，则的离心率的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由得，整理得：，与双曲线方程联立得：，计算即可.
【详解】点为双曲线的右顶点，
，
若上存在一点（不与点重合），使得，设，，
，，
，
整理得：，
与双曲线方程联立得：，
整理得：，
解得：，
由题意知要使点P存在，须，解得，
又P不与A重合，故，则点P必在双曲线右支上，
则，
整理得：即，结合，
.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知圆过点.
（1）求的标准方程；
（2）若过点的直线与交于两点，且，求的方程.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出圆心及半径即可.
（2）由圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，再按斜率是否存在分类，结合点到直线距离公式求解.
【小问1详解】
依题意，线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程为，
因此圆的圆心，半径，
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
依题意，圆心到直线的距离，而直线过点，
点到直线的距离为3，因此直线的方程可以为；
当直线的斜率存在时，设其方程为，即，
由，解得，直线的方程为，
所以直线的方程为或.
16. 已知数列中，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的定义求解即可；
（2）利用错位相减法求出即可求解.
【小问1详解】
由，可得，即，
则，所以，
因此是首项为，公比为的等比数列.
【小问2详解】
由（1）得，
因为，
①
②
①-②得，
，
所以.
17. 已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求的方程；
（2）若为坐标原点，过点且斜率不为0的直线与交于两点，求面积的最大值.
【答案】（1）；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，得出关于的方程组求解.
（2）设出直线的方程，利用韦达定理列出三角形面积的函数关系，再利用基本不等式求出最大值.
【小问1详解】
由椭圆的离心率为，得，则，
由点在，得，联立解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设直线的方程为，，
由消去得，，
，则的面积
，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为1.
18. 如图，在四棱锥中，平面，平面平面，.
（1）证明：平面；
（2）已知点为线段上一点（与不重合）.
（i）若二面角的余弦值为，求的值；
（ii）若四点均在球的球面上，求球表面积的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）．
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质、线面平行的判定推理得证.
（2）（i）建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标，再求出平面的法向量坐标，利用二面角余弦值的向量法列式求解；（ii）利用两点间距离公式列式求出球半径的函数关系，利用二次函数求出半径平方的最小值即可.
【小问1详解】
由平面平面，得，
在平面中，，则，又，
则，，由平面平面，
平面平面，平面，得平面，
又平面，则，而平面，
所以平面．
【小问2详解】
（i）由（1）知，即，又平面，即直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则
，
设，则，
设平面的法向量为，
则，取，则，
由（1）平面，得为平面的一个法向量，记，
由题意得，
整理得，则，所以．
（ii）由（i）知，即，
设球的球心坐标为，半径为，则，
即，
，
解得，
而，则当时，取得最小值，
所以球表面积的最小值为.
19. 已知函数.
（1）当时，求的图象在点处的切线方程；
（2）若在上有唯一零点，求的取值范围；
（3）当时，若在上恒成立，求实数的最大整数值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）4.
【解析】
【分析】（1）把代入，求出的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）由函数零点的意义得，构造函数并利用导数探讨函数的性质即可求出范围.
（3）由不等式恒成立分离参数并构造函数，利用导数求出函数的最小值即可.
【小问1详解】
当时，函数，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
【小问2详解】
函数的定义域为，由得，，
令，依题意，直线与函数的图象有唯一公共点，
，当时，；当时，，
函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，
因此当且仅当或时，直线与函数的图象有唯一公共点，
所以的取值范围是.
【小问3详解】
当时，，不等式恒成立，
令函数，求导得，令函数，
求导得，函数在上单调递增，而，，
则存在，使得，即，当时，，即；
当时，，即，函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，则，
所以实数的最大整数值为4.