河南省许昌市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题（解析版）

这是一份河南省许昌市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由可得，即，
因，故.
故选：B.
2. 已知a，b是实数，则“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对于A，由，得，而不能推出，A是；
对于BC，取，满足，，而，BC不是；
对于D，，D不是.
故选：A.
3. 已知角满足，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】由，解得：.
故选：C.
4. 设，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因，而，，
故.
故选：C.
5. 角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】点的坐标为，根据三角函数定义可得，.
化简，
把，代入，可得.
故选：B.
6. 假设在不考虑空气阻力的条件下，某型号火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系是（k为大于0的常数）．已知当燃料质量是火箭质量的15倍时，火箭的最大速度，则当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当燃料质量是火箭质量的15倍，火箭的最大速度时，
则，得，
则当燃料质量是火箭质量的63倍时，
火箭的最大速度.
故选：D.
7. 已知函数是定义在上的减函数，且对任意，恒成立，若，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，，令，可得，
而，
则由可得，
因函数是定义在上的减函数，则有，解得.
故选：A.
8. 若函数与有相同的对称轴，则的所有可能取值的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】函数的对称轴为，
函数的对称轴为，
因为函数与有相同的对称轴，
则，
化为
因为等式右边是奇数，所以不可能为偶数，
因为，所以的可能取值为，
当时，；当时，；
当时，；
综上，的所有可能取值的个数为3.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 命题“”的否定是“”
B. 与表示同一函数
C. 已知，则的最小值为5
D. 函数（，且）的图象过定点
【答案】AC
【解析】对于A，因命题“”的否定是“，故A正确；
对于B，因函数的定义域为，而函数的定义域为，故B错误；
对于C，由可得，，
当且仅当时等号成立，此时的最小值为5，故C正确；
对于D，对于函数（，且），当时，，则，
即函数的图象经过定点，故D错误.
故选：AC.
10. 已知函数部分图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）
A. 的一个周期是
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在区间上单调递增
【答案】ABC
【解析】如图可知，，且函数经过两点，
则得：，
由①得：，因，则得，
因为在增区间中，由②可得，即，
因，则. 故.
对于A，因，故A正确；
对于B，因，
故函数的图象关于点对称，即B正确；
对于C，因，
故函数的图象关于直线对称，即C正确；
对于D，当时，，
因函数的图象在上递减，在递增，故D错误.
故选：ABC.
11. 设函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为
B. 若函数有3个不同零点，则实数a的取值范围为
C. 若函数有3个零点名，则的取值范围为
D. 对任意，函数在内无最小值
【答案】ABD
【解析】对于A中，由函数，要使得在上单调递增，
则，即，所以，所以A正确；
对于B中，令，当时，可得，
若函数有3个零点，则需有一个零点，则；
当时，可得，若函数有3个零点，
则需有两个不等的小于1的实根，则满足，
解得，所以若函数有3个零点，则的取值范围是，所以B正确.
对于C中，设函数的3个零点分别是，
则，可得，
令，则在上单调递减，
所以，，
即的取值范围是，所以C错误；
对于D中，当时，函数是开口向下的二次函数，
对称轴是，
当时，函数在单调递减，
在没有最小值，，
当时，函数单调递增，所以，
因为，所以，所以在内无最小值；
当时，函数在单调递增，在单调递减，
在没有最小值，，
当时，函数单调递增，所以，
因为，所以，所以在内无最小值；
当时，函数在单调递增，在没有最小值，，
当时，函数单调递增，所以，
因为，所以，所以在内无最小值，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的面积为___________．
【答案】
【解析】设扇形的半径为，则由，可得，
则扇形的面积为.
13. 若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为___________．
【答案】
【解析】由不等式对任意都成立，可得不等式对任意都成立，
因，，则得，
故得，即实数m的取值范围为.
14. 已知且满足，则的最大值为___________．
【答案】
【解析】因为，
则.
所以.
即.
则.
等式两边同时除以得.
则，即.
所以.
设，因为，所以，则.
因为，当且仅当，即时等号成立.
所以.则的最大值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 化简求值．
（1）；
（2）已知，若，求的值．
解：（1）
.
（2）由，得，即，则，
因此.
16. 已知函数为幂函数，且在上单调递增．
（1）求的解析式；
（2）若，求实数a的取值范围．
解：（1）因函数为幂函数，
且在上单调递增，
则解得，故.
（2）因为函数为奇函数且在R上单调递增，
所以不等式可化为，
所以，即，
解得或，
故实数a的取值范围为.
17. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）写出函数的解析式并求出的单调递增区间；
（2）当时，求最大值以及取得最大值时x的值．
解：（1）由图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得；
再将其图象向右平移个单位长度得到：.
令，解得，
函数的单调递增区间为.
（2）令，由，可得，
由余弦函数的图象性质可知时，即时，，
此时相应的x的值为.
18. 已知函数．
（1）若，求的值域；
（2）若为偶函数，求实数t的值；
（3）在（2）的条件下，若对使得恒成立，求实数m的取值范围．
解：（1）时，，
因为，因此，，即的值域是．
（2）因为为偶函数，
且的定义域为，
所以由得：，
整理得，
由可知，得．
（3）由题意可知：只需，
由（2）得：，
，
当且仅当时等号成立，因此，即，
因此在恒成立，
即在恒成立，
令，则，
因此在恒成立，
即在恒成立，
所以在恒成立，
只需，
显然函数在内单调递减，
因此，，
所以，即实数m的取值范围是．
19. 若的最大值为1．
（1）求常数a的值；
（2）若，且，求角；
（3）在（2）的条件下，若关于x的方程在区间上有且仅有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．
解：（1）
，
，
，
.
（2）因为，，
，，，
.
（3）由（2）知，则方程在上两根．
令，则，
，
，
则原方程可化为，整理得，
即或，
因关于x的方程有且仅有两根，且，
①当时，，
此时有两个根，无解，满足题意；
②当时，有1个根，
要使原方程有两个根，则有1个根，
则需，所以，
综上：m的取值范围为或.