安徽合肥市蜀山区区域联盟校2025-2026学年上学期期末考试高一年级数学试卷（试卷+解析）

这是一份安徽合肥市蜀山区区域联盟校2025-2026学年上学期期末考试高一年级数学试卷（试卷+解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题教师：徐老师 审题教师：邓老师
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
4. 要得到函数的图象，需要把函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
6. 函数在区间上的图像可能是（ ）
A. B.
C D.
7. 若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，若方程有且仅有4个不同实根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分）
9. 下列函数定义域和值域相同的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 不等式解集为，下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C. 不等式的解集是
D. 不等式的解集是
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A
B.
C. 的最小正周期为
D. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则__________.
13. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为__________.
14. 定义在上的函数，满足，，且函数为偶函数，则对任意正整数n，__________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，集合.
（1）求；
（2）求.
16. 已知幂函数过点.
（1）求解析式，判断的奇偶性并证明；
（2）判断函数在上的单调性并证明.
17. 已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）设，若对，不等式恒成立，求正实数的取值范围.
18. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳.且当茶水温度接近室温时，将趋于稳定.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：
（1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，不用说明理由，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式.
（2）根据（1）中所求模型，
（ⅰ）请推测实验室室温；
（ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间.
（参考数据：，）
19. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；
（3）将函数的图像上点的横坐标向右平移个单位得到函数的图像，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.时间/分钟
0
1
2
3
4
5
水温/℃
95.00
88.00
81.70
76.03
7093
66.33
2025年秋季学期期末考试高一年级数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
命题教师：徐老师 审题教师：邓老师
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先找出两个集合的构成元素，再找出它们的公共元素即可.
【详解】因为，即所有大于 且小于 的实数；
，即所有形如 的整数，也就是所有奇数；
所以，就是所有大于 且小于 的奇数；
则在区间 内的奇数有： 和 ，
因此，.
故选：D.
2. 已知，则“”是“”（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数的性质即可判断.
【详解】若，且或，则或无意义，此时条件“”无法推出结论 “”，故充分性不成立；
若，因为在上单调递增，可知，因此结论“”可以推出条件“”，故必要性成立.
因此，“”是“”的必要不充分条件.
故选：C.
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断函数连续性，再计算各选项区间端点的函数值，最后利用零点存在定理确定零点所在区间.
【详解】由题知函数 在其定义域上连续且在上递增，
又
，
函数 的零点所在区间是 ；
故选： D.
4. 要得到函数的图象，需要把函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用函数图象变换规律，可得结论．
【详解】要得到函数的图象，
要得到函数的图象，
需要把函数的图象向左平移个单位长度；
故选：C
5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较大小.
【详解】在上是单调递减函数，，，，
在上是单调递增函数，，，，
在上是单调递减函数，，，，
.
故选：C.
6. 函数在区间上的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的函数，探讨其奇偶性及的大小排除选项并得解.
【详解】函数的定义域为，，
则函数为偶函数，排除选项AB；
又，则，排除选项D，选项C符合题意.
故选：C.
7. 若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，将恒成立转化为，得到的一元二次不等式求解.
【详解】正实数、满足，
，
当且仅当时，即，即时，等号成立，
的最小值为，
恒成立，，
，，，实数的取值范围是.
故选：C.
8. 已知函数，若方程有且仅有4个不同实根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，将原方程有4个根转化为与有1个交点，与有3个交点；或者与有2个交点，与有2个交点，再结合函数的单调性及值域判断可得.
【详解】由函数，当时，单调递增，值域为；
当时，，当时，单调递减，值域为
当时，单调递增，值域为.所以当时，.如图：
又由，令，则，解得.
要使原方程有4个不同实根，
①与有1个交点，与有3个交点；
所以且，即，符合题意；
②与有2个交点，与有2个交点.
当且，即，符合题意；
当且，因为，故不存在，不符合题意；
综上所述，或
故选：B
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分）
9. 下列函数定义域和值域相同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】逐一求出各选项函数的定义域及值域即可判断.
【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，A不是；
对于B，函数的定义域为R，当时，，
当时，，因此的值域为R，B是；
对于C，函数的定义域为，值域为，C不是；
对于D，函数的定义域、值域均为R，D是.
故选：BD
10. 不等式解集为，下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C. 不等式的解集是
D. 不等式的解集是
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用 “三个二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的关系，通过已知解集推出系数 的符号和关系，再求解新的不等式逐项分析即可.
【详解】因为 解集为 ，
所以，解得，
因为 ，所以 ，，故选项A、B正确；
选项C：不等式 可化为 ，
即 ， 解得 ， 不等式解集 ， 选项C错误；
选项D：不等式 可化为 ，
即 ， 解得 或 ，
不等式的解集为 ， 选项D正确.
故选： ABD.
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 的最小正周期为
D. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出的解析式，再结合正弦函数的图象性质逐项分析判断.
【详解】对于A：依题意，，解得，
又函数的最小正周期，解得，
则，由，得，
而，则，所以，解得，故A正确；
对于B：由A可知，所以，故B错误；
对于C：如下图：的最小正周期为，故C正确；

对于D：将的图象向右平移个单位长度得到
，
则，
由正弦函数图象性质可知：的图象关于点对称，故D正确；
故选：ACD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的定义计算可得.
【详解】角的终边过点,
所以.
故答案为：
13. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数单调递减的性质，分别分析每一段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，进而确定实数的取值范围.
【详解】当 时，：
令 ， 在 上是减函数，
因为 在 上单调递减，所以 是增函数，则 ，
且 在 恒成立，当 时，，
当 时，，
二次函数 ，二次项系数 ，对称轴 ，
要使 在 上单调递减，则 ，即 ，
在 时，需满足 ，
因为 ，所以 ，
移项得 ，解得 ，
综上，取 ，， 的交集，得 ，
故实数 的取值范围是 .
故答案：
14. 定义在上的函数，满足，，且函数为偶函数，则对任意正整数n，__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题中所给的条件可得函数的一个周期为4的偶函数，且，进而可得及，从而可得所求值.
【详解】因为函数为偶函数，所以——①，
又因为，所以，即——②.
因为，所以——③.
将②③代入①得，，
所以，即，所以，
两式相减得，所以4是函数的一个周期.
由，得，
所以，
再由②，得，且.
所以，即，
，所以函数是偶函数.
所以，且，所以.
所以
.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，集合.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合，利用交集的运算求解；
（2）利用补集和并集的运算求解.
【小问1详解】
不等式可化为，
解得或，
则，则.
【小问2详解】
因为
所以=.
16. 已知幂函数过点.
（1）求的解析式，判断的奇偶性并证明；
（2）判断函数在上的单调性并证明.
【答案】（1），奇函数，证明见解析
（2）在上单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由幂函数的定义及经过的点可得函数解析式，并用奇偶性的定义判断可得；
（2）直接根据幂函数性质判断并用单调性的定义证明可得.
【小问1详解】
因为为幂函数，且过点，所以，解得
所以，所以该函数为奇函数.
理由：定义域为，因为都有，
且，所以该函数为奇函数.
【小问2详解】
函数在上单调递减.
证明：，且，则
，，又因为，，即.
，即
在上单调递减.
17. 已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）设，若对，不等式恒成立，求正实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）换元，转化成求二次函数的值域；
（2）换元，利用基本不等式求函数的最值即可.
【小问1详解】
令，因为，所以，
则可转化为：，
所以当时，的最小值，此时，
所以
故的值域为.
【小问2详解】
将代入得：
，
令，因为，所以，
所以对，不等式恒成立等价于：
恒成立，等价于恒成立，
因，由基本不等式得：
当且仅当，即时，等号成立，
所以要使恒成立，只要使左边的最小值满足，
解得.
故正实数的取值范围为.
18. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳.且当茶水温度接近室温时，将趋于稳定.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：
（1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，不用说明理由，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式.
（2）根据（1）中所求模型，
（ⅰ）请推测实验室室温；
（ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间.
（参考数据：，）
【答案】（1）选模型②，
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式；
（2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可．
【小问1详解】
由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，
模型③为单调递增的函数，不符合，
模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢，
故模型①③不符合，所以选模型②，
则，解得，
所以；
【小问2详解】
（i）因为，
所以当趋于无穷大时，无限接近于，
所以推测实验室室温为；
（ii）令，则，
所以，
即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为．
19. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；
（3）将函数的图像上点的横坐标向右平移个单位得到函数的图像，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先用二倍角公式和辅助角公式，把化成标准形式，再套单调区间通式，解出的范围即可；
（2）先算出时，的范围，再得到的值域，最后转化为恒成立，代入最值求出的范围；
（3）先换元，利用，把三角方程变成关于的代数方程，再根据的区间求的范围，最后整理方程根据单调性，得到的取值范围.
【小问1详解】
因为，
所以令，则，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】


不等式等价于，即，
因为该不等式对任意恒成立，
所以
所以实数的取值范围是.
【小问3详解】
由题意有，
则关于的方程为，
令，
当时，， ，
则，有，
若关于的方程在上有解，
则关于的方程在上有解，
即.时间/分钟
0
1
2
3
4
5
水温/℃
95.00
88.00
81.70
76.03
70.93
66.33