【数学】北京市顺义区2026届高三上学期期末质量监测试题（学生版+解析版）

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1. 已知集合，集合，则（）
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知，且，则（）
A. B.
C. D.
4. 已知向量，，，则（）
A. B.
C. D.
5. 若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（）
A. B.
C. D.
6. 已知是等比数列，若，，则（）
A. B.
C. D.
7. 在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量.已知当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了20秒，则（）
A. B.
C. D.
8. 已知函数满足，则“单调递减”是“存在，对任意的，均有”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 过直线上的点作圆的两条切线，切点分别为，若的面积与面积相等，则的一个可能取值为（）
A. B.
C. D.
10. 如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒.在时刻，设质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设，给出下列三个结论：
①在上的单调递减；
②若，则的最小值为；
③若，则的最大值为；
其中正确结论的个数为（）
A. 个B. 个
C. 个D. 个
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在的展开式中，的系数为_____________.
12. 已知点在抛物线C：上，则点A到抛物线C的准线的距离为__________．
13. 将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，记函数，若，则的最小值为________；若的最大值为，则的一个取值为____________．
14. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体（如图），，分别在上，满足，则几何体的体积为__________；___________.
15. 已知无穷数列前项和为，若存在，当时，，则称为“平衡数列”.给出下列四个结论：
①已知数列，则数列为“平衡数列”；
②若等比数列为“平衡数列”，则公比为；
③若数列和均为“平衡数列”，则为“平衡数列”；
④存在两个公差均不为的等差数列和，其中数列，，和均为“平衡数列”；
其中所有正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数.
（1）求的值；
（2）设，，求的最大值.
17. 如图，在四棱锥中，，底面是菱形，其中.
（1）若是棱上一点，平面与棱交于点，求证：；
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值.
18. 某高中举办 “京剧脸谱体验展”，通过增强现实技术让学生沉浸式感受京剧文化魅力.为了解全校学生的体验效果，研究团队在三个不同年级中各随机抽取人作为样本，统计其体验时长，并通过问卷方式调查认知度提升效果.已知体验时长（单位：分钟）分为三段，，，各段人数及认知度显著提升人数如下表：
假设三个年级人数相同，以频率估计概率.
（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生为高二年级学生且体验时长的概率；
（2）从全校所有“认知度显著提升”的学生中随机抽取3人，记为抽取的3人中高二年级学生的人数，求的分布列和数学期望；
（3）假设学生的认知提升度只受年级与体验时长的影响，且当“体验时长”时，每个年级的学生“认知度显著提升”的概率相等，当“体验时长”时，高一学生“认知度显著提升”的概率为；高三学生“认知度显著提升”的概率为，判断，的大小关系.（结论无需证明）
19. 已知椭圆的右焦点为，分别是的左、右顶点，.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线与直线相交于点.若，求的值.
20. 已知函数，直线是曲线在点处的切线.
（1）当时，求直线的方程；
（2）求证：函数有唯一零点；
（3）记的零点为，当直线与轴相交时，交点横坐标为.若，求的取值范围.
21. 已知数列，定义数列的伴随数列为，其中.记，，其中，表示集合中最大的数，表示集合中最小的数.
（1）已知数列，求和；
（2）若，，，求的最小值；
（3）若，，求的最大值.人数
年级
体验时长
体验时长
体验时长
认知度
显著提升
高一年级
55人
30人
15人
70人
高二年级
40人
45人
15人
50人
高三年级
25人
30人
45人
30人