2022-2023学年福建省厦门六中高二（上）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2022-2023学年福建省厦门六中高二（上）期中数学试卷-普通用卷，共15页。试卷主要包含了直线l，已知圆C，已知椭圆Γ，已知M是椭圆C，已知空间中三点A，B，C，则等内容，欢迎下载使用。
A. (2,−3)B. (2,3)C. (−3,2)D. (3,2)
2.以F1(−1,0)，F2(1,0)为焦点，且经过点(1,32)的椭圆的标准方程为( )
A. x23+y22=1B. x24+y23=1C. x23+y24=1D. x24+y2=1
3.两直线3x+4y−3=0与mx+8y+1=0平行，则它们之间的距离为( )
A. 4B. 75C. 710D. 1710
4.直线l：y=x被圆C：(x−3)2+(y−1)2=3截得的弦长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.已知{a,b,c}是空间向量的一组基底，{a,b+c,b−c}是空间向量的另一组基底，若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,3,−1)，则向量p在基底{a,b+c,b−c}下的坐标是( )
A. (2,−1,−2)B. (2,−1,2)C. (2,1,−2)D. (2,1,2)
6.已知点P为椭圆x216+y215=1上的一个动点，过点P作圆(x−1)2+y2=1的一条切线，切点为A，则|PA|的取值范围是( )
A. [2,6]B. [2 2,2 6]C. [2 2,6]D. [2,2 6]
7.已知圆C：(x+1)2+(y−4)2=m(m>0)和两点A(−2,0)，B(1,0)，若圆C上存在点P，使得|PA|=2|PB|，m的取值范围是( )
A. [8,64]B. [9,64]C. [8,49]D. [9,49]
8.已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，过F2的直线与Γ交于A，B两点.若|AF2|=3|F2B|，|AB|=2|AF1|，则Γ的离心率为( )
A. 15B. 55C. 105D. 155
9.已知M是椭圆C：x28+y24=1上一点，F1，F2是其左、右焦点，则下列选项中正确的是( )
A. 椭圆的焦距为2B. 椭圆的离心率e= 22
C. |MF1|+|MF2|=4 2D. △MF1F2的面积的最大值是4
10.已知空间中三点A(2,1,−1)，B(1,0,2)，C(0,3,−1)，则( )
A. |AB|= 11B. AB⊥AC
C. cs∠ABC= 1119D. A，B，C三点共线
11.已知直线l1：x+my+6=0，l2：(m−2)x+3y+2m=0，下列命题中正确的有( )
A. 当m=3时，l1与l2重合B. 若l1//l2，则m=0
C. l1过定点(−6,0)D. l2一定不与坐标轴平行
12.已知圆M：x2+(y−2)2=1，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是( )
A. 四边形PAMB周长的最小值为2+2 3B. |AB|的最大值为2
C. 直线AB过定点D. 存在点N使|CN|为定值
13.方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，则实数k的取值范围是______ .
14.若焦点在x轴上的椭圆x210−m+y2m−2=1的焦距为4，则m=______ .
15.点B在x轴上运动，点C在直线l：x−y+2=0上运动，若A(1,2)，则△ABC的周长的最小值为______.
16.如图，已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，AF=13AD,AG=2GA1，AC1与平面EFG交于点M，则AMAC1=__________.
17.直线l经过两直线l1：x+y=0和l2：2x+3y−2=0的交点.
(1)若直线l与直线3x+y−1=0垂直，求直线l的方程；
(2)若点A(3,1)到直线l的距离为5，求直线l的方程.
18.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(−1,5)，B(5,5)，C(6,−2)
(1)求△ABC外接圆的方程；
(2)动点D在△ABC的外接圆上运动，点E坐标(7,4)，求DE中点M的轨迹.
19.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90∘，AB=BC=1，BB1=2.
(1)求异面直线B1C1与A1C所成角的正切值；
(2)求直线B1C与平面A1BC所成角的余弦值．
20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是 63，点A(32,12)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点B(0,2)的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△OPQ(O为坐标原点)面积的最大值．
21.如图多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘，EA⊥平面ABCD，EA//BF，AB=AE=2BF=2.
(1)证明：平面EAC⊥平面EFC；
(2)在棱EC上有一点M，使得平面MBD与平面ABCD的夹角为45∘，求点M到平面BCF的距离．
22.已知圆C的圆心在直线x=−2上，且圆C与l：x+ 3y−2=0相切于点Q(−1, 3).过点(−1,0)作两条斜率之积为−2的直线分别交圆C于A，E与B，F.
(1)求圆C的标准方程；
(2)设线段AE，BF的中点分别为M，N，证明：直线MN恒过定点.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了直线的方向向量，属于基础题．
先根据直线方程得直线的斜率，再根据斜率可得直线的方向向量．
【解答】
解：依题意，直线3x+2y−1=0的斜率为k=−32，
∴则直线3x+2y−1=0的一个方向向量为(2,−3)，
故选：A.
2.【答案】B
【解析】【分析】
首先设出椭圆的标准方程x2a2+y2b2=1，然后根据题意，求出a、b满足的2个关系式，解方程即可．
本题考查了求椭圆标准方程的常规做法：待定系数法，熟练掌握椭圆的几何性质是解题的关键，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧．属基础题．
【解答】
解：设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1，(a>b>0).
∵c=1，
∴a2−b2=1①，
∵点(1,32)在椭圆E上，
∴1a2+94b2=1②，
由①、②得：a2=4，b2=3，
∴椭圆E的方程为：x24+y23=1.
故选：B.
3.【答案】C
【解析】解：因为直线3x+4y−3=0与mx+8y+1=0平行，
故3×8−4m=0，解得m=6.
故直线6x+8y−6=0与mx+8y+1=0间的距离为|−6−1| 62+82=710.
故选：C.
先根据直线平行求得m，再根据平行线间的距离公式求解即可．
本题考查平行线间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：圆 C：(x−3)2+(y−1)2=3的圆心坐标C(3,1)，半径为 3，
圆心到直线x−y=0的距离d=|3−1| 2= 2，
∴直线l：y=x被圆 C：(x−3)2+(y−1)2=3截得的弦长为2 3−2=2.
故选：B.
由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后利用勾股定理求解．
本题考查直线与圆相交的性质，训练了利用垂径定理求弦长，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,3,−1)，
∴p=2a+3b−c，
设向量p在基底{a,b+c,b−c}下的坐标是(x,y,z)，
∴p=2a+3b−c=xa+y(b+c)+z(b−c)，
即p=2a+3b−c=xa+(y+z)b+(y−z)c，
∴x=2y+z=3y−z=−1，解得x=2，y=1，z=2，即(2,1,2).
故选：D.
根据空间向量的坐标的定义即得．
本题主要考查了空间向量基本定理，考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：设椭圆的参数方程为x=4csθy= 15sinθ，θ∈[0,2π]，
因为|PA|为切线长，
设圆心为O(1,0)，
则|PA|= |PO|2−|OA|2= (4csθ−1)2+( 15sinθ)2−1= 16cs2θ−8csθ+1+15sin2θ−1
= 15+cs2θ−8csθ= (csθ−4)2−1，
∵csθ∈[−1,1]，
∴ (csθ−4)2−1∈[2 2,2 6]，
故|PA|∈[2 2,2 6].
故选：B.
设椭圆的参数方程为x=4csθy= 15sinθ，结合几何关系可得：|PA|= |PO|2−|OA|2，由三角函数化简再结合二次函数特征即可求解对应范围．
本题考查椭圆上动点与圆的切线长的位置关系，设参数可简化运算，结合几何关系是解题的关键，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：设P(x,y)，又A(−2,0)，B(1,0)，且|PA|=2|PB|，
∴ (x+2)2+y2=2 (x−1)2+y2，
化简得P点的轨迹为圆D：(x−2)2+y2=4，圆心D(2,0)，半径r1=2，
又点P在圆C：(x+1)2+(y−4)2=m(m>0)上，圆心C(−1,4)，半径r2= m，
∴两圆有公共点，
∴|r1−r2|≤|CD|≤r1+r2，
∴|2− m|≤ 9+16≤2+ m，(m>0)，
解得9≤m≤49.
故选：D.
设P(x,y)，先由|PA|=2|PB|，求出P的轨迹方程，根据题意可得两圆有公共点，从而建立不等式即可求解．
本题考查轨迹方程的求解，圆与圆的位置关系，不等式思想，属基础题．
8.【答案】C
【解析】解：设|F2B|=m，∴|AF2|=3m，∴|AB|=4m，∵|AB|=2|AF1|，∴|AF1|=2m，∴2m+3m=2a，
∴m=2a5，∴|F1B|=8a5，|AF1|=4a5，|AF2|=6a5，
在△BF1F2中，cs∠BF2F1=(2a5)2+(2c)2−(8a5)22×2c×2a5，
在△AF1F2中，cs∠AF2F1=(6a5)2+(2c)2−(4a5)22×6a5×2c，
∵∠BF2F1+∠AF2F1=180∘，
∴(2a5)2+(2c)2−(8a5)22×2c×2a5+(6a5)2+(2c)2−(4a5)22×6a5×2c=0，
解得c2a2=25，∴e= 105.
故选：C.
设|F2B|=m，由椭圆的性质可得m=2a5，可得|F1B|=8a5，|AF1|=4a5，|AF2|=6a5，由题意可得(2a5)2+(2c)2−(8a5)22×2c×2a5+(6a5)2+(2c)2−(4a5)22×6a5×2c=0，求解即可．
本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的几何性质，属中档题．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的定义与标准方程及其性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
椭圆C：x28+y24=1，可得a=2 2，b= 4=2=c，利用椭圆的定义及其性质、三角形面积计算公式即可判断出正误．
【解答】
解：椭圆C：x28+y24=1，可得a= 8=2 2，b= 4=2，
c= a2−b2=2，∴椭圆的焦距为2c=4，故A错误；
离心率e=ca=22 2= 22，故B正确；
|MF1|+|MF2|=2a=4 2，故C正确；
△MF1F2的面积的最大值=12⋅2c⋅b=2×2=4，故D正确.
故选BCD.
10.【答案】AB
【解析】解：根据题意，空间中三点A(2,1,−1)，B(1,0,2)，C(0,3,−1)，
则AB=(−1,−1,3)，AC=(−2,2,0)，BC=(−1,3,−3)，
依次分析选项：
对于A，AB=(−1,−1,3)，则|AB|= 1+1+9= 11，A正确；
对于B，AB⋅AC=2−2+0=0，则AB⊥AC，B正确；
对于C，cs∠ABC=cs=BA⋅BC|BA||BC|=−1+3+9 11× 19= 11 19，C错误；
对于D，由B的结论，AB⊥AC，则A、B、C不共线，D错误；
故选：AB.
根据题意，求出向量AB、AC、BC的坐标，由此分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查空间向量的数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：当m=3时，直线l1：x+3y+6=0，直线l2：x+3y+6=0，即两直线重合，故A正确；
当l1//l2时，则m(m−2)=3且2m≠6(m−2)，解得m=−1，故B错误；
∵−6+m×0+6=0，
∴直线l1过定点(−6,0)，故C正确；
当m=2时，直线l2:y=−43与x轴平行，故D错误；
故选：AC.
当m=3时，分别求出两直线方程，可判断选项A；
由两直线平行的公式计算得出m，可判断选项B；
将(−6,0)代入直线方程，可判断选项C；
当m=2时，直线l2与x轴平行，判断出选项D.
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，直线恒过定点问题，圆中的定值问题等知识，属于中档题．
设|MP|=t，可得|AP|=|BP|= t2−1，可表示出四边形PAMB周长，进而求得其最小值，可判断A；利用SPAMB=2S△PAM表示出|AB|=2 1−1t2，可判断B；根据圆的切线性质表示出切线方程，进而求出AB的直线方程，求其过的定点坐标，可判断C；判断C点位于某个圆上，可知出其圆心和C点距离为定值，从而判断D.
【解答】
解：圆M：x2+(y−2)2=1，圆心M(0,2)，半径为1，
如图所示：
设|MP|=t，则|AP|=|BP|= t2−1，
所以四边形PAMB周长为2 t2−1+2，
当P点位于原点时，t 取得最小值，最小值为2，
故当t取最小值2时，四边形PAMB周长取最小值为2 3+2，故A正确；
由SPAMB=2S△PAM可得：12×|MP|×|AB|=2×12×|PA|×1，
则|AB|=2 t2−1t=2 1−1t2，而t≥2，则 3≤|AB|0
∴k2−3k−4>0，
∴k>4，km−2>02 10−m−(m−2)=4，
解得m=4.
故答案为：4.
根据椭圆中基本量的关系得到关于m的方程，解方程得到m的值．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
15.【答案】 26
【解析】解：设点A(1,2)关于x轴的对称点为D，则点D的坐标为(1,−2)，
设点A(1,2)关于l：x−y+2=0的对称点为E(x,y)，
则y−2x−1=−1x+12−y+22+2=0，解得x=0y=3，即点E的坐标为(0,3)，
由对称性可知|AC|=|CE|，|AB|=|BD|，
所以△ABC的周长为|AB|+|AC|+|BC|=|BD|+|CE|+|BC|≥|DE|= (1−0)2+(−2−3)2= 26，
即△ABC的周长的最小值为 26.
故答案为： 26.
求出点A关于x轴的对称点为D，点A关于l：x−y+2=0的对称点为E，利用对称性将△ABC的周长的最小值转化为求DE的长度即可得解．
本题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】213
【解析】【分析】
本题考查空间向量以及应用，涉及棱柱的相关知识，属于中档题．
设AM=λAC1(0