2026届上海市普陀区部分学校高三上学期1月学业质量监测数学试卷（学生版）

这是一份2026届上海市普陀区部分学校高三上学期1月学业质量监测数学试卷（学生版），共5页。
一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 设集合，则__________.
2. 不等式的解集为____________.
3. 已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为__________.
4. 在的展开式中的系数为_________.
5. 已知为实数，且函数是偶函数，则________.
6. 某运动员在某次男子米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：，，，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为_________.
7. 设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为________.
8. 若圆锥的体积为，它的母线与底面所成的角的余弦值为，则圆锥的表面积为________.
9. 设，在如图所示的平行六面体中，，，，点是棱的中点，，若，则的值为________.
10. 双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______．
11. 2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为_______．（用含有H、h、m、t的式子表示）
12. 已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有_______个．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 设，则“”是“且”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
14. 下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（ ）
A. B.
C. D.
15. 设且都是正整数，数列的通项公式为记数列中前项的最小值为，由所有的值所组成的集合记为，若集合中仅有四个元素，则下列说法中错误的是（ ）
A. 当时，的取值范围是B. 不存在和的值，使得
C. 当时，的取值范围是D. 存在和的值，使得
16. 设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（ ）．
①存在等比数列以及锐角α，使成立．
②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立．
A. ①是真命题，②是真命题B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题D. ①是假命题，②是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.
17. 设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求不等式的解集.
18. 如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形.
（1）求正三棱锥的体积；
（2）设分别是线段的中点.
求证：①平面；②若平面交于点，则四边形是正方形.
19. 第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产的、三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表：（单位：个）
现采用分层抽样的方法在某一天生产的所有产品中抽取100个，其中款产品有30个.
（1）求的值；
（2）用分层抽样的方法在款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率；
（3）对抽取到的款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2，精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的款产品的某种指标的总体方差.
20. 设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点.
（1）若点是上的一点，，求的值；
（2）设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标；
（3）设的延长线与交于点，若向量与满足：，求的面积S的取值范围.
21. 设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质．
（1）判断是否具有性质，并说明理由；
（2）设，若函数具有性质，求实数a的取值范围；
（3）设函数的定义域为R，且对任意以及，都有.若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质．产品
产品
产品
普通装
180
400
精品装
300
420
600