2022长沙长郡中学高二上学期期中考试数学试卷含答案

长郡中学2021-2022学年度高二第一学期期中考试

数  学

得分：

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分100分．

第Ⅰ卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知向量，则向量的模为（       ）

A．1 B．2 C． D．

2．数列为等差数列，若，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．双曲线的离心率是（       ）

A．1 B． C．2 D．

4．直线在轴上的截距为（       ）

A．2 B． C． D．3

5．已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（       ）

A． B． C． D．

6．在平面直角坐标系中，已知点，，动点M满足，则的最大值为（       ）

A． B．0 C．1 D．2

7．如图所示，在正方体中，点E是棱BC的中点，点G是棱的中点，则异面直线GB与所成的角为（       ）

A．120° B．90° C．60° D．30°

8．对任一实数序列，定义序列，它的第项为．假定序列的所有项都为1，且，则（       ）

A．1000 B．2000 C．2003 D．4006

二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对得2分）

9．数列满足，对任意，都有，数列前n项和为，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

10．已知直线，A（1，2），B（3，3），则下列结论正确的是（       ）

A．当时，直线的倾斜角为45° B当时，直线的斜率不存在

C．直线恒过定点 D．当时，直线与直线垂直

11．若函数的图象与直线有公共点，则实数的可能取值为（       ）

A． B．1 C． D．0

12．已知抛物线C：（）的焦点为，直线的斜率为，且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论正确的是（       ）

A．  B．F为AD中点

C．  D．

第Ⅱ卷

三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）

13．已知是椭圆上的一点，则点到两焦点的距离之和是         ．

14．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为         ．

15．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为         钱．

16．2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离．我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点，探测器在处以12km/s的速度匀速直线飞向距月心2000 km的圆形轨道上的某一点P，在点P处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以18 km/s的速度匀速直线飞至，这一过程最少用时         s．

四、解答题（本题共6小题，每小题8分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（6分）已知三个顶点是，，．

（1）求BC边上的垂直平分线的直线方程；

（2）求点A到BC边所在直线的距离．

18．（8分）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线为．

（1）求椭圆的焦点坐标；

（2）求双曲线的标准方程．

19．（8分）已知数列的前项和为，点在直线上．

（1）求数列的前项和，以及数列通项公式；

（2）若数列满足：，设数列的前项和为，求的最小值．

20．（8分）已知，直线和圆．

（1）求直线斜率的取值范围；

（2）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？

21．（8分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．

（1）求证：平面；

（2）若直线与底面所成的角的正切值为，求二面角的正切值．

22．（10分）设抛物线（）的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，已知，．

（1）求抛物线的方程；

（2）过焦点作直线交于，两点，为上异于，的任意一点，直线，分别与的准线相交于，两点，证明：以线段为直径的圆经过轴上的两个定点．

长郡中学2021—2022学年度高二第一学期期中考试

数学参考答案

一、单项选择题

1.C     2.B     3.D     4.B     5.C

6.C  易知的轨迹为椭圆，其方程为，设，则，

∴，

因为，所以，即，∴.故选C.

7.B

8.D  【解析】依题意知是公差为1的等差数列，设其首项为，通项为，

则，于是

.

由于，即，解得，.故.故选D.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对得2分）

9.AD    10.CD    11.ABCD

12.ABC  【解析】如图，，直线的斜率为，则直线方程为，

联立，得.解得，，

由，得.∴抛物线方程为.

，则；，∴，

，则为中点.∴运算结论正确的是A、B、C.故选：ABC.

三、填空题

13.6

14.  【解析】：∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，∴该四棱锥的体积.

15.  【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，

则根据题意有，

解得，所以戊所得为.

16.  【解析】设，，飞行过程所用时间，

令，即，设点在圆形轨道内，取点坐标为，而，

由得，，即，

设动点，当时，即，

化简整理得，即满足的动点的轨迹就是给定的圆形轨道，

所以距月心2000km的圆形轨道上的任意点均有成立，如图，连，

于是有，

当且仅当为线段与圆形轨道交点时取“＝”，

即有，

所以这一过程最少用时.

四、解答题

17.【解析】（1）∵，，∴，则所求直线的斜率为：.

又的中点的坐标为，所以边上的中垂线所在的直线方程为：.

（2）直线的方程为：，

则点到直线的距离为：.

18.【解析】（1）椭圆的焦点坐标为.

（2）设的方程为，即，

依题意，解得，所以的标准方程为：.

19.【解析】（1）由题意知：，则，

当时，；当时，；

而，∴，.

（2），当时，当时，

故.

20.【解析】（1）∵，∴（*），（求出斜率表达式给2分）

∵，∴当时，，解得且，

又当时，，方程（*）有解，综上所述，.

（2）假设直线能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧.设直线与圆交于、两点，则.∵圆，∴圆心到的距离为1.

故有，整理得

∵，∴无实数解.

因此直线不可能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧.

21.【解析】（1）证明：在四边形中，，，，

所以，都为等腰直角三角形，即，

又因为平面平面，，平面平面，

所以直线平面，又平面，

所以，又，所以平面.

（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，

，则，，

因为直线与底面所成角的正切值为，所以在中，，∴.

设平面和平面法向量分别为，，易知可取，，

因为，，

所以，即，令，解得.

设所求二面角为，所以，∴.

22.【解析】（1）设点，因为点在抛物线上，，则，

得，即.因为，则.

因为，则，即，所以，化简得，

解得，所以抛物线的方程是.

（2）设直线的方程为，代入，得.

设点，，则，.

设点，则，直线的方程为.

令，得，所以点.

同理，点.

设以线段为直径的圆与轴的交点为，

则，.

因为，则，即，

∴，

得或.

故以线段为直径的圆经过轴上的两个定点和.