湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高三上学期2月期末数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 若复数z满足则的虚部为
A.1B.C.-1D.
【答案】A
【解析】由，故，所以的虚部为1.
2. 已知集合，则
A.-2B.C.D.1
【答案】B
【解析】由集合，
得，所以.
3.直线和直线，则“”是“”的
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，则，解得或，题中应是充分不必要条件.
4.已知某放射性物质的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足表示原有的某种物质的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的该种物质的质量是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）（参考数据：）
A.800年B.810年C.900年D.920年
【答案】C
【解析】由题意知，某放射性物质的质量随时间的衰变规律满足，要使得某放射性物质的质量是原来的倍，可得，即，两边取自然对数，可得，可得，所以年.
5.已知则的最小值为
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】因为，所以，设，则，则，当且仅当，即时等号成立.
6.设且则
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由题设，所以，因为，则，又因为，则，又，所以或，解得或（舍去）.
7.定义在上的奇函数满足，且时，则=
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】定义在上的奇函数满足，所以，所以的周期为6，又因为为奇函数，所以，其中，所以，因为，所以，所以.
8.已知数列的前项和为，且满足若对任意恒成立，则实数λ的取值范围是
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】已知数列的前项和为，且满足，则当时，，整理得，所以，又当时，，故数列是以为首项，3为公差的等差数列，所以，故，所以，当时，，则，当时，，所以，综上可得：，
若对任意恒成立，则，故实数的取值范围是.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的有
A.数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为7，中位数为6
B.一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等
C.若随机变量满足则
D.一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式
【答案】BD
【解析】由，得第75百分位数为第5个数，即11，中位数为，故A错误；根据标准差定义，一组数据的标准差
时，显然有
，故B正确；
若随机变量满足，则，故C错误；
一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，男医生人，女医生人，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，且女医生去同一个医院，三个医院人数可以为，共有种分配方式；三个医院人数可以为，共有18种分配方式，综上，共有36种分配方式，故D正确.
10.如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则
A.三棱锥的体积为
B.平面
C.三棱锥的外接球的表面积为
D.由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为
【答案】ACD
【解析】对于A，三棱锥的体积
，故A正确；
对于B，假设成立，则，显然不成立，故B错误；
对于C，坐标法：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间
直角坐标系，
则，设外接球的球心为，则
，
，
，
求得，故C正确；
对于D，如图，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形为的中点（平行则四点共面），等腰梯形的周长为，D正确.
11.双曲线的左､右焦点分别为，，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，双曲线和椭圆的离心率分别为，，的内切圆的圆心为I，过作直线PI的垂线，垂足为D，则
A.若PI的延长线交x轴于点N，则
B.点D的轨迹在圆上
C.若则
D.若，则
【答案】BCD
【解析】如图：
对于A，设椭圆.
根据定义，
由角平分线的性质，（无恒等关系），故A错误；
对于B，过作直线的垂线，垂足为，延长交于点，由内切圆及垂线性质
可知，，则为中点且，连接，由中位线定理可知，故点的轨迹在以为圆心，半径为的圆上，故B正确；
对于C，若，则等价于，即，又为双曲线的离心率，所以，故，故C正确；
对于D，若，设椭圆的长半轴长为，由可知：为直角三角形，，
因为，即，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则________.
【答案】
13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_______.
【答案】
【解析】对求导得：，当时，，
在点处的切线方程为：，
设曲线的切点为，
，又切点在切线上，，代入曲线方程得， .
14.已知的面积为分别是的中点，若，则BC长度的最小值为________.
【答案】
【解析】连接相交于点，则为的重心，连接并延长交于点，
则由重心的性质得为的中点，，
而，且，得到，
设，则，
所以
根据余弦定理得，可得，
由辅助角公式得，
则，解得，即长度的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生､女生各取100人.设事件A=“学生愿意报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计
（1）根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动的意愿与性别有关？
（2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用X表示在本次答题的题目数量，求X的分布列和期望.
参考公式与数据：其中.
【解析】（1）因为，所以愿意报名参加答题活动的人数为，
又因为，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加答题活动的女生人数为，
则可得到列联表为：
零假设为：学生报名参加答题活动的意愿与性别无关，
则，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001，
（2）的所有可能取值为：，
，
所以的分布列为：
故.
16.如图，四棱锥中，底面是矩形，M是的中点，平面.
（1）证明：
（2）若点P是棱上的动点，直线AP与平面AMC所成角的正弦值为求的值.
【解析】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，则，
（1），
，
，
（2），
设平面的法向量为，
则取，则，
设，其中，
则，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
则
解得，即.
17.已知椭圆M；的左､右焦点为点P是椭圆上任意一点，的最小值是-2.
（1）求椭圆M的方程.
（2）直线与椭圆M交于D，E两点，O为坐标原点.试求当t为何值时，恒为定值？并求此时面积的最大值.
【解析】
（1）由椭圆知，，
，
所以，所以，
所以幅圆的方程为.
（2）设，联立得，
则，即.
则有，
.
当为定值时，即与无关，教，得，
此时
，
又因为点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时成立，所以面积的最大值为1.
18.设数列的前n项和为已知
（1）求的通项公式.
（2）在与之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中m，k，p成公差不为零的等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
（3）已知函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，设数列的前n项和为求除以16的余数.
【解析】（1）当时，，得；
当时，，作差得，
即，
所以是以3为首项，6为公比的等比数列，所以.
（2）因为，由题意知：，
所以.
假设在数列中存在3项（其中成公差不为零的等差数列）成等比数列，
则，即，
化简得：，
又因为成等差数列，所以，
所以，即，
又，所以，
即，所以，这与题设矛盾.
所以在数列中不存在3项（其中成公差不为零的等差数列）成等比数列.
（3）由（1）可知.
因为
，
所以当为奇数时，，当为偶数时，，
所以
，
而，
考虑到当时，能被16整除，也能被16整除，
所以除以16的余数等手除以16的余数，
而，
所以除以16的余数等于10.
19.已知函数
（1）当时，若对任意不等式f（x）≥g（1）恒成立，求实数a的取值范围.
（2）当在有解，求实数k的取值范围.
（3）当函数g（x）有两个极值点且时，是否存在实数m，总有成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）当时，，令，解得，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以在上的最小值为.
又，所以由对任意不等式恒成立，
即.
所以的取值范围为.
（2）令，因为，则，故，
令，则，
故当单调递减；当单调递增，
又，且，
故的值域为，则要满足题意，只需.
即的取值范围为.
（3）因为，
因为有两个极值点，故可得64-8，
也即，且.
因为，故，
则，即，
因为，故上式等价于，即，
又当时，，当时，，
令，则，
当时；，故在单调递增，又，
故当时，，当时；，故不满足题意；
当时，令，
若方程对应时，即时，单调递减，
又，故当时，，当时，，满足题意；
若，即时，又的对称轴，且开口向下，
又，不妨取，
故当单调递增，又，
故此时，不满足题意，舍去，
综上所述，的取值范围为.性别
男生
女生
合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计
200
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
男生
女生
合计
不愿报名参加答题活动
40
80
120
愿意报名参加答题活动
60
20
80
合计
100
100
200
1
2
3
4