2025年广东省初中学业水平考试模拟测试2卷数学试题（解析版）-A4

这是一份2025年广东省初中学业水平考试模拟测试2卷数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了全卷共9页，共23题，考试结束后，请将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
说明：
1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好．
2．全卷共9页，共23题．考试时间120分钟，满分120分．
3．作答单项选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．
4．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（共10题，共30分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是相反数的含义，熟记相反数的定义是解本题的关键．
只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义可得答案．
【详解】解：的相反数是2，
故选：C．
2. 光年是天文学中的距离单位，光年大约是，这个数据用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】.
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数是关键．
3. 过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（ ）
A. B. x（x﹣1）=380
C. 2x（x﹣1）=380D. x（x+1）=380
【答案】B
【解析】
【分析】设该班级共有同学x名，每个人要发（x-1）条短信，根据题意可得等量关系：人数×每个人所发的短信数量=总短信数量．
【详解】设全班有x名同学，由题意得：
x（x-1）=380，
故选B．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
4. 如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A. B. 平分C. D. 垂直平分
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定 ，角平分线的性质和定义，先由角平分线的性质可得，再证明得到，根据现有条件，无法证明垂直平分，即可解答．
详解】解：平分，，，
，故A结论正确，不符合题意；
在和中，
，
，
，故C结论正确，不符合题意；
∴平分，故B结论正确，不符合题意
根据现有条件，无法证明垂直平分，即该结论不一定成立，故D结论错误，符合题意；
故选：D．
5. 若点在轴上，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是掌握直角坐标系中点的坐标特征．根据轴上的点的纵坐标为求出的值，即可求解．
【详解】解：点在轴上，
，
解得：，
，
，
故选：C．
6. 如图所示的组合体，它的主视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：这个组合体的主视图是

故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
7. 将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中与一定互余的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了对余角和补角的应用．根据图形，结合互余的定义判断即可．
【详解】解：A、与不一定互余，故本选项错误；
B、与互余，故本选项正确；
C、与不互余，故本选项错误；
D、与不互余，与互补，故本选项错误；
故选：B．
8. 如图是自动测温仪记录的图象，它反映了齐齐哈尔市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化，下列从图象中得到的信息正确的是( )

A. 0点时气温达到最低B. 最低气温是零下4℃
C. 0点到14点之间气温持续上升D. 最高气温是8℃
【答案】D
【解析】
【分析】根据气温T如何随时间t的变化而变化图像直接可解答此题.
【详解】A.根据图像4时气温最低，故A错误；B.最低气温为零下3℃，故B错误；C. 0点到14点之间气温先下降后上升，故C错误；D描述正确.
【点睛】本题考查了学生看图像获取信息的能力，掌握看图像得到有用信息是解决此题的关键.
9. 如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（ ）

A. AE=EFB. AB=2DE
C. △ADF和△ADE的面积相等D. △ADE和△FDE的面积相等
【答案】C
【解析】
【分析】先判断出△BFC是直角三角形，再利用三角形的外角判断出A正确，进而判断出AE=CE，得出CE是△ABC的中位线判断出B正确，利用等式的性质判断出D正确．
【详解】如图，连接CF，

∵点D是BC中点，
∴BD=CD，
由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF，
∴BD=CD=DF，
∴△BFC是直角三角形，
∴∠BFC=90°，
∵BD=DF，
∴∠B=∠BFD，
∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE，
∴AE=EF，故A正确，
由折叠知，EF=CE，
∴AE=CE，
∵BD=CD，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，故B正确，
∵AE=CE，
∴S△ADE=S△CDE，
由折叠知，△CDE≌△△FDE，
∴S△CDE=S△FDE，
∴S△ADE=S△FDE，故D正确，
∴C选项不正确，
故选C．
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，作出辅助线是解本题的关键．
10. 如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集，在图上图像高于，对应的x的范围即可，此题得解．
【详解】观察函数图象可知：已知相交于点，当x＞-1时，直线y=4x+2在直线y=kx+b的上方，
∴不等式4x+2kx+b的解集为x-1．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
二、填空题（共5题，共15分）
11. 方程转化为一元二次方程的一般形式是________．
【答案】
【解析】
【分析】方程去括号,移项合并,整理为一般形式即可.
【详解】解:方程整理得:,
故答案为:.
【点睛】考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式是:ax+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.
12. 已知：中，，，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是_______．
【答案】2.4
【解析】
【分析】根据已知得出四边形是矩形，得出，要使最小，只要最小即可，根据垂线段最短得出即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，于F，于E，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
要使最小，只要最小即可，
当时，最小，
在中，，，，
由勾股定理得：，
由三角形面积公式得：，
∴，
即，
故答案为：2.4．
【点睛】本题利用了矩形性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，最短，题目比较好，难度适中．
13. 如图，，是的高，且，判定的依据是______．
【答案】HL
【解析】
【分析】根据已知条件可得直角三角形中斜边和一条直角边分别对应相等即可求解．
【详解】解：∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠BDC=∠BEC=90°
在Rt△BDC和Rt△BEC中：
BD=EC，BC=CB
∴△BCD≌△CBE（HL）.
故答案为：HL．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的全等的判定，掌握直角三角形的判定定理并能找到公共边是关键．
14. 如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是__________．
【答案】同位角相等，两直线平行．
【解析】
【详解】利用三角板中两个60°相等，可判定平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行
考点:平行线的判定
15. 如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为________________．
【答案】，或，
【解析】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标特征．当与轴相切时，点的纵坐标是2或，把点的坐标代入函数解析式，即可求得相应的横坐标．
【详解】依题意，可设或．
①当的坐标是时，将其代入，得
，
解得，
此时，或，；
②当的坐标是时，将其代入，得
，即，此时无解．
综上所述，符合条件的点的坐标是，或，；
故答案为：，或，．
三、解答题（一）（共3题，共24分）
16. 如图，点 ， 在 上，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，根据，可推出，再利用证得，从而得到．
【详解】解：，
，
即，
在 和 中，

，
．
17. 解关于的方程．
（1）
（2）（配方法）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】(1)先把方程的右边化为0,再把左边因式分解即可;
(2)移项、二次项系数化成1,两边加上一次项系数一半的平方,则左边是一次式的平方,右边是常数,即可利用直接开平方法求解;
【详解】解：（1），
得：，
，
，或，
解得，；
（2）（配方法），
解：，
得：，
，
即，
则，
则，；.
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的方法：因式分解法与配方法.
18. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，求树高．

【答案】米
【解析】
【分析】利用和相似求得的长后加上边到地面的高度，即可求得树高AB．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
答：树高米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
四、解答题（二）（共3题，共27分）
19. 某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚的恤衫，其中甲种款型共用7800元，乙种款型共用6000元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少8元.
（1）甲、乙两种款型的恤衫各购进多少件？
（2）若甲种款型恤衫每件售价比乙种款型恤衫的每件售价少10元，且这批恤衫全部售出后，商店获利不少于6700元，则甲种恤衫每件售价至少多少元？
【答案】（1）甲购进150件，乙购进100件；（2）甲每件售价至少78元
【解析】
【分析】（1）设购进乙件，则购进甲件，根据等量关系，列出方程，即可求解；
（2）设甲每件售价元，根据不等量关系，列出关于m的不等式，即可求解．
【详解】（1）设购进乙件，则购进甲件，
由题意得：，
解得，，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲购进150件，乙购进100件；
（2）设甲每件售价元，则
，
解得：，
答：甲每件售价至少78元．
【点睛】本题主要考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，找出题目中的等量关系和不等量关系，列方程和不等式，是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A（﹣2，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求双曲线与直线AC的解析式；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）；（2）4.
【解析】
【分析】（1）将点A（﹣2，a）代入直线y=-x得A坐标，再将点A代入双曲线即可得到k值，由AB关于原点对称得到B点坐标，由BC⊥x轴，垂足为C，确定出点C坐标，将A、C代入一次函数解析式即可求解；
（2）由三角形面积公式即可求解.
【详解】将点A（﹣2，a）代入直线y=-x得a=-2，
所以A（-2,2），
将A（-2,2）代入双曲线，
得k=-4，
∴，
∵
，
，
，，
解得，
∴；
（2）
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21. 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【详解】分析：（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可；
（2）根据弧长公式解答即可．
详证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED；
（2）∵OC⊥AD，
∴ ，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴ =．
点睛：此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答．
五、解答题（三）（共2题，共24分）
22. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB=2，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OB=2时，求点D坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；
（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y=（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P．问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点D坐标为（5，）；（2）OB=3；（3）k=12．
【解析】
【详解】分析：（1）如图1中，作DE⊥x轴于E，解直角三角形清楚DE，CE即可解决问题；
（2）设OB=a，则点A的坐标（a，2），由题意CE=1．DE=，可得D（3+a，），点A、D在同一反比例函数图象上，可得2a=（3+a），求出a的值即可；
（3）分两种情形：①如图2中，当∠PA1D=90°时．②如图3中，当∠PDA1=90°时．分别构建方程解决问题即可；
详解：（1）如图1中，作DE⊥x轴于E．
∵∠ABC=90°，
∴tan∠ACB=，
∴∠ACB=60°，
根据对称性可知：DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠CDE=90°-60°=30°，
∴CE=1，DE=，
∴OE=OB+BC+CE=5，
∴点D坐标为（5，）．
（2）设OB=a，则点A坐标（a，2），
由题意CE=1．DE=，可得D（3+a，），
∵点A、D在同一反比例函数图象上，
∴2a=（3+a），
∴a=3，
∴OB=3．
（3）存在．理由如下：
①如图2中，当∠PA1D=90°时．
∵AD∥PA1，
∴∠ADA1=180°-∠PA1D=90°，
在Rt△ADA1中，∵∠DAA1=30°，AD=2，
∴AA1==4，
在Rt△APA1中，∵∠APA1=60°，
∴PA=，
∴PB=，
设P（m，），则D1（m+7，），
∵P、A1在同一反比例函数图象上，
∴m=（m+7），
解得m=3，
∴P（3，），
∴k=10．
②如图3中，当∠PDA1=90°时．
∵∠PAK=∠KDA1=90°，∠AKP=∠DKA1，
∴△AKP∽△DKA1，
∴．
∴，
∵∠AKD=∠PKA1，
∴△KAD∽△KPA1，
∴∠KPA1=∠KAD=30°，∠ADK=∠KA1P=30°，
∴∠APD=∠ADP=30°，
∴AP=AD=2，AA1=6，
设P（m，4），则D1（m+9，），
∵P、A1在同一反比例函数图象上，
∴4m=（m+9），
解得m=3，
∴P（3，4），
∴k=12．
点睛：本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、解直角三角形、待定系数法等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会了可以参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
23. 如图，抛物线与直线相交于两点，且抛物线经过点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求P点坐标；
（3）如图2所示，设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点Q，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）存在，．
【解析】
【分析】（1）先由点B在直线上求出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出和的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；
（3）作轴于点P，设，知，根据四边形的面积建立关于n的函数，再利用二次函数的性质求解可得．
【小问1详解】
解：∵点在直线上，
，
，
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得，
解得，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：设，则，则，
，
，
当时，解得或，但当时，P与A重合不合题意，舍去，
；
当时，解得或，但当时，P与A重合不合题意，舍去，
；
综上可知P点坐标为或；
【小问3详解】
解：存在这样的点Q，使得四边形的面积最大．
如图，过点Q作轴于点P，

设，则，
四边形的面积
，
当时，四边形的面积取得最大值，最大值为，此时点Q的坐标为．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及利用割补法列出四边形面积的函数关系式．