江苏省苏州市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含答案（word版+pdf版）

这是一份江苏省苏州市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含答案（word版+pdf版），文件包含江苏省苏州市2025-2026学年高二上学期期末考试数学答案pdf、江苏省苏州市2025-2026学年高二上学期期末考试数学答案docx、江苏省苏州市2025-2026学年高二上学期期末考试数学docx、江苏省苏州市2025-2026学年高二上学期期末考试数学pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
一、选择题: 本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的..
1. 若直线 l 的一个方向向量为 3,−3 ，则 l 的倾斜角为 D( ).
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°.
【答案】D。
【解析】由题知直线 l 的斜率为 −33 ，因为 tanα=−33 ，所以倾斜角 α=150∘ ，故选 D。
2. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 x2=2y 的准线方程为 D( ).
A. y=−12 B. y=12 C. y=−1 D. y=1 。
【答案】A。
【解析】因为抛物线 x=2y 焦点在 y 轴正半轴上,且 2p=2⇒p=1 ,所以准线方程为 y=−p2=−12 。 故选 A。
3. 某班级 20 名学生参加数学测验的得分如下:62,65,68,70,71,73,75,75,77,78,79,81,82,85,87,89,90,92,95,98,则这组数据的第 75 百分位数是 D( ).
A. 87 B. 88 C. 89 D. 90,
【答案】B。
【解析】 20×75%=15 ,第 15 个数为 87,第 16 个数为 89,所以第 75 分位数为 87+892=88 ,
故选 B。
4. 在各项均为正数的等比数列 an 中， Sn 为其前 n 项和，若 a2=2,S4=S2+12 ，则 S10= D()
A. 511 B. 512 C. 1023 D. 1024。
【答案】 C4
【解析】由题得 S4−S2=a3+a4=12a2=2⇒a3+a4a2=q+q2=6⇒q+3q−2=0, 。
因为等比数列 an 各项均为正数. 所以 q>0 ,所以 q=2 ,则 a1=a2q=1 ,所以 S10=1−2101−2=210−1=1023 。 故选C。
5. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O:x2+y2=4 与圆 C:x2+y2+2x+6y+8=0 的公切线条数为 D 0
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4,
【答案】B。
【解析】圆 O0,0 ,半径 RO=2 ,圆 C−1,−3 ,半径 RC=2 。
圆心距 OC=10∈2−2,2+2 ，所以两圆相交，有两条公切线。
故选 B。
6. 某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的 400 名学生进行了调查. 调查中使用了两个问题，问题 A : 你的手机尾号是否是偶数？问题 B : 你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置， 这是一个装有大小、形状和质量完全一样的 50 个白球和 50 个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取 1 个球 (摸出的球再放回袋中), 摸到白球的学生如实回答问题 A , 摸到红球的学生如实回答问题 B ,每个学生只需回答 “是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题.已知手机尾号为偶数的概率为 0.5,若在 400 名学生中共有 130 人回答 “是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为 D( ).
A. 0.15 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.3
【答案】A。
【解析】因为摸到白球和红球的概率均为 12 ,回答 A 问题 “是” 的学生人数为 400×12×12=100 ,
所以回答B问题“是”的学生人数为 130−100=30 ,所以男大学生吸烟人数的比例约为 30400×12=0.15 。 故选A。
7. 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 a4=18,S7=12764 ,则 1a1+1a2+⋯+1a7= ( ).
A. 64 B. 127 C. 256 D. 5114
【答案】B。
【解析】法 1: 因为数列 an 为等比数列,所以 a1⋅a7=a2a6=a3⋅a5=a42, 。
所以 S7=a1+a2+1a1+1a2+⋯+1a7=1a1+1a7+1a2+1a6+1a3+1a5+1a4 。
=a1+a7a1⋅a7+a2+a6a2⋅a6+a3+a5a3⋅a5+1a4=a1+a7a42+a2+a6a42+a3+a5a42+1a4
=a1+a2+a3+a5+a6+a7a42+1a4=12764−18182+8=127−8+8=127✓
法 2: S7=a1+a2+⋯+a7=a4q3+a4q2+a4q+a4+a4q+a4q2+a4q3 ,
=a41q3+1q2+1q+1+q+q2+q3=12764⇒1q3+1q2+1q+1+q+q2+q3=12764×8=1278✓
所以 1a1+1a2+⋯+1a7=1a4q3+q2+q+1+1q+1q2+1q3=5×1278=127 。
故选 B。
8. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2,F1F2=2,C 上有一点 P 位于第一象限，线段 PF1 交 y 轴于点 M ， PM=2 ，若 F2M 为 ∠F1F2P 的角平分线，则 C 的离心率为
0
A. 22 B. 32 C. 2−1 D. 3−1 。
【答案】C。
【解析】法1: 由角平分线性质得 MF1PM=F1F2PF2⇒MF1⋅PF2=22 ①。
又 △PMF2∽△PF2F1 ，可得 PMPF2=PF2PF1⇒PF22=PF1⋅PM=2+MF12 ②，
联立①②， 8MF12=2+MF12⇒2+MF1MF12=42⇒MF1=2,PF2=2 。
所以 2a=PF1+PF2=22+2 ,椭圆离心率 e=F1F2PF1+PF2=222+2=2−1 ,选C.
法 2: 设 PF2=x,F1M=F2M=y ,则: xy=22 。
设 ∠PF1F2=θ ,则 ∠PF2M=∠MF2F1=θ,S△PMF2+S△MF2F1=S△PF2F1
即 12xysinθ+ysinθ=y+2sinθ=xsin2θ 。
⇒y+2=2xcsθ=2xy=42y2⇒y=2✓
则 csθ=1y=22 ,故 θ=π4⇒e=12+1=2−1 ,选 C .

二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.,
9. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,则下列说法正确的有 D( )
A. 若 an 的各项均为正数,则 Sn 一定是递增数列
B. 若 an 是常数数列,则 Sn 一定是常数数列
C. 若 an 是等差数列,则 Sn 可能是等差数列
D. 若 an 是等比数列,则 Sn 可能是等比数列。
【答案】AC。
10. 现有一枚质地均匀的骰子,甲、乙两人各掷一次,设事件 A= “甲掷得的点数为奇数”, B= “甲掷得的点数为偶数”， C = “两人掷得的点数之和为奇数”， D = “两人掷得的点数之和大于 8”，则 D()
A. A 与 B 互为对立事件 B. A 与 C 相互独立
C. C 与 D 互斥 D. PAC>PBD 。
【答案】 ABD 。
【解析】事件 A 发生的概率为 PA=36=12 ,事件 B 发生的概率为 PB=36=12,PA+PB=1 ,
A 正确;。
事件 C 发生的概率为 PC=1836=12 ,.
事件 D 的基本事件有 {3,6,4,5,4,6,5,4,5,5,5,6,6,3,6,4,6,5,6,6}10 种,
所以事件 D 发生的概率有 PD=1036=518 。
事件 AC 的基本事件有 {1,2,1,4,1,6,3,2,3,4,3,6,5,2,5,4,5,6}9 种,.
所以事件 AC 的概率为 PAC=936=14=PA⋅PC ,所以事件 A 与 C 独立, B 正确。
对于 C ,比如两人掷得的点数为 3,4,3,6 等,所以事件 C 与 D 可能同时发生,选项 C 错误;,
事件BD的基本事件有 {4,5,4,6,6,3,6,4,6,5,6,6}6 种,
所以事件 AC 的概率为 PBD=636=16 ,因为 14>16 ,即 PAC>PBD ,选项 D 正确;
故选 ABD。
11. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 Γ:y2=4x 的焦点为 F ,过点 Mm,0m>1 的直线与 Γ 交于 A,B 两点，直线 AF,BF 分别交 Γ 于 C,D 两点. 记 Ax1,y1,Bx2,y2,△AFD 面积为 S1 ， △BFC 面积为 S2 ，则 ⊳ ( ).
A. y1y2=−4m B. AB 的最小值为 4
C. 当 m>4 时， ∠AOB 为锐角
D. S1S2=AF−1BF−1 。
【答案】ACD。
【解析】设直线 AB:x=ty+m ，联立抛物线得 y2−4ty−4m=0 ，则 y1+y2=4t ， y1y2=−4m ， A 正确；。
选项 B:AB=1+t2y1−y2=1+t2⋅16t2+16m=4t2+1t2+m≥4m>4 ， B 错误；。
选项 C:m>4 时， OA⋅OB=x1x2+y1y2=m2−4m>0 . 故 △AOB 为锐角， C 正确；。
选项 D : 设 Cx3,y3,Dx4,y4 ,则 y1y3=y2y4=−4,AF−1BF−1=x1x2=y12y22 。

S1S2=AF⋅DFBF⋅CF=y1y4y2y3=y1⋅−4y2y2⋅−4y1=y12y2=AF−1BF−1,D 正确；
因此,选 ACD .
三、填空题:本题共3小题，每小题 5 分，共15 分。.
12. 若样本数据 1,2,5,8,a 的平均数为 5，则这组数据的极差为_____.
【答案】8.
【解析】 1+2+5+8+a=5×5⇒a=9 ,所以极差为 9−1=8 。
13. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:x+my−m=0 与圆 C:x+22+y−32=9 交于 A,B 两点， AB 的中点为 M ，则 OM 的最大值为_____.
【答案】 5+2 。
【解析】直线 l:x+my−m=0 过定点 D0,1 ,因为 M 为 AB 中点，所以 CM⊥AB ,即 ∠CMD=90∘ ，
所以点 M 在 CD 为直径的圆上,即点 M 轨迹方程为圆 Ex+1++y−22=2, 。
所以 OM≤OE+2=−12+22+2=5+2 ,当点 M,E,O 共线时取等,。
故 OM 的最大值为 5+2 。

14. 在数列 an 中，已知 a1=0 ， an+1=an+1 ， n∈N∗ ，则 an 的前 10 项和的最小值为_____。
【答案】-5
【解析】 an+1=an+1 或 an+1+an=−1 ，易得 S10 的最小值 =−5. .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. (13 分)。
已知数列 an 为等差数列， a1>0 ， a3+a7=18 ， a8=a2⋅a3. ，
(1)若 a2,am,a14 成等比数列，求正整数 m 的值；。
(2)记 bn=3n⋅ann∈N∗ ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn .
【解析】因为数列 an 为等差数列,设公差为 d ,由 a3+a7=18a8=a2⋅a3⇒2a1+8d=18a1+7d=a1+da1+2d 。
⇒d2−8d+12=0⇒d=2 或 6，当 d=2 时， a1=1 ，当 d=6 时， a1=−15 ，因为 a1>0 ，所以 a1=−15 ， d=6 舍去； ∴ 所以 a1=1,d=2,an=2n−1 ；。
(1)若 a2,am,a14 成等比数列，则 am2=a2⋅a14=3×27=81⇒am=9 ，所以 2m−1=9 ，解得 m=5 ；。
(2) bn=3n2n−1 ，则 Sn=b1+b2+⋯+bn=3+3⋅32+5⋅33+⋯+2n−13n ①，
① × 3 得 3Sn=32+3⋅33+5⋅34+⋯+2n−13n+1 ②。
①-②得 −2Sn=3+232+33+⋯+3n−2n−13n+1=2⋅31−3n1−3−3−2n−13n+1=−2n−1⋅3n+1−6 ;
所以 Sn=n−1⋅3n+1+3 。
16. (15 分)。
某学校对高一年级全体学生进行了 “每日体育活动时长” 的问卷调查 (单位: 小时). 收集到的数据分成 5 组: [0,0.5),[0.5,1),[1,1.5),[1.5,2),2,2.5 ,得到如下频率分布直方图:.

(1)若每组中的数据以该区间的中点值为代表，试估计该校高一年级学生每日体育活动时长的平均值 x ；
(2)规定:“每日体育活动时长不少于 1 小时” 为达标，现从全体参加问卷调查的学生中随机抽取一个容量为 200 的样本...
①根据频率分布直方图，估计样本中学生的达标人数；。
②根据频率分布直方图，从每日体育活动时长在 [1.5,2) ， 2,2.5 的学生中，采用分层抽样的方法随机抽取 4 人，再从这 4 人中随机抽取 2 人出来访谈，求被抽取的 2 人中恰有 1 人每日体育活动时长在 [2,2.5] 的概率... 【解析】 1x=0.5×0.25×0.4+0.75×0.7+1.25×0.5+1.75×0.3+2.25×0.1=1 ;
(2)① “每日体育活动时长不少于 1 小时” 的频率为 0.5×0.5+0.3+0.1=0.45 ，
则容量为 200 的样本中，学生达标人数为 200×0.45=90 人；
②时长在 [1.5,2) ， 2,2.5 的学生的频率比为 3:1，所以采用分层抽样的方法随机抽取 4 人中， ι
有3人在 [1.5,2) 组中，设这 3 人为 A,B,C ，有1人在 2,2.5 组中，设这一人为D，。
从这 4 人中抽取 2 人的事件共有 {AB,AC,AD,BC,BD,CD}6 种,。
其中恰有 1 人活动时长在 2,2.5 的事件有 {AD,BD,CD}3 种，。
所以被抽取的 2 人中恰有 1 人每日体育活动时长在 2,2.5 的概率为 p=36=12 .
17. (15 分)。
在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的上顶点为 D0,2 ,离心率为 22 ,直线 l 与圆 M:x2+y2=83 相切且与 C 交于 A,B 两点.,
(1)求 C 的标准方程；
(2)求证: OA⊥OB ；。
(3)求 OA+OB 的最小值.。
【解析】(1) 因为椭圆 C 的上顶点为 D0,2 ,所以 b=2 ,又因为离心率 e=ca=22 ,即 a=2c ,
所以 b2=a2−c2=2c2−c2=c2=4 ,则 a2=2c2=8 . 所以椭圆 C 方程为 x28+y24=1 ;
(2)法1 ①若直线 l 斜率不存在，不妨为 x=83 ，代入椭圆方程可解得 y2=83 ，。
可得 A83,83 ， B83,−83 . 所以 OA⋅OB=83−83=0 ，所以 OA⊥OB4
②若直线 l 斜率存在，设直线 l 方程为 y=kx+m ， Ax1,y1 ， Bx2,y2 ，。
因为直线 l 与圆 M 相切,则圆心到直线 l 距离 d=m1+k2=83⇒3m2=81+k2 ，
联立直线 l 方程与椭圆 C 方程 x28+y24=1y=kx+m 化简整理得 2k2+1x2+4kmx+2m2−8=0,Δ>0 。
x1+x2=−4km2k2+1,x1x2=2m2−82k2+1,⋯
所以 OA⋅OB=x1x2+y1y2=x1x2+kx1+mkx2+m=k2+1x1x2+kmx1+x2+m2 。
=2m2−8k2+12k2+1+−4k2m22k2+1+m2=2k2m2+2m2−8k2−8−4k2m2+2k2m2+m22k2+1.
=3m2−8k2−82k2+1 .
=81+k2−8k2−82k2+1 .
=0 ,所以 OA⊥OB 。
(3)因为直线 l 与圆 M 相切，所以圆心到直线的距离 d=R=83 . 由(2)知， △AOB 为直角三角形，。
由等面积法得 AB⋅d=OA⋅OB⇒d=OA⋅OBAB=OA⋅OBOA2+OB2=83,✓
则 8OA2+OB2=3OA2⋅OB2⇒8OA+OB2=3OA2⋅OB2+16OA⋅OBe
因为 OA⋅OB≤OA+OB24 ,当且仅当 OA=OB 时取等,
所以 8OA+OB2≤3OA′+OB′416+4OA+OB2 得 OA+OB2≥643 。
故 OA+OB≥643=833 .
即 OA+OB 的最小值为 833 .
法 2: 1x28+y24=1 ;
(2)设 l:mx+ny=1,Ax1,y1,Bx2,y2 ，
d=1m2+n2=223⇒m2+n2=38✓
mx+ny=1x2+2y2=8⇒2m2+n2x2−4mx+2−8n2=02m2+n2y2−2ny+1−8m2=0⇒x1x2=2−8n22m2+n2y1y2=1−8m22m2+n2 .
则 OA⋅OB=x1x2+y1y2=3−8m2+n22m2+n2=0 ,故 OA⊥OB ; 。
(3)由(2) OA⊥OB ，又 AB 与圆 M 相切。
故 1OA2+1OB2=1d2=38≥2OAOB⇒OAOB≥163当且仅当1OA2=1OB2 时取等)。
所以 OA+OB≥2OAOB≥833 (当且仅当 OA=OB 时取等)。
两次取等条件一致，故 OA+OB 的最小值为 833 .。

18. (17 分)。
已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1=2,Sn=an+1−n2n∈N∗ . 。
(1)求 a2 的值；。
(2)判断数列 an+2n+1 是否为等比数列？说明理由，并据此求出 an 的通项公式:。
(3)记 bn=−1n2n+2−3−Snn∈N∗ ，数列 bn 的前 n 项和为 Pn ，若存在 n∈N∗ ，使得 Pn+14!≥t ，求实数 t 的最大值.
【解析】(1) 在 Sn=an+1−n2n∈N∗ 中,令 n=1 得 a1=a2−1⇒a2=a1+1=3 ,
(2)因为 Sn=an+1−n2n∈N∗ ，则 Sn−1=an−n−12n∈N∗ ，且 n≥2+
两式相减得 an=Sn−Sn−1=an+1−n2−an+n−12=a−1−an−2n+1 。
则 an+1=2an+2n−1 ,则 an+1+2n+1+1=2an+2n+1,n≥2,
因为 a2+2×2+1=8 ,而 2a1+2×1+1=10 . 所以当 n=1 时,上式不成立,
所以数列 an+2n+1 不是等比数列,
而当 n≥2 时， an+1+2n+1+1=2an+2n+1 , a2+2×2+1=8≠0 。
所以 an+2n+1=8⋅2n−2=2n+1,n≥2 ,所以 an=2n+1−2n−1,n≥2 。
所以 an=2,n=12n+1−2n−1,n≥2 。
(3)法1:由(2) an+1=2n−2−2n−3 ，则 Sn=an+1−n2=2n+2−n2−2n−3 。
故 bn=−1nn2+2n=12−1)nn−−1n+2n+2 。
Pn=12−11−−133+−122−−144+−133−⋯+−1n−1n−1−−1n+1n+1+−1nn−−1n+2n+2.
=−14−−1n+12n+1−−1n+22n+2 .
则 Pn+14=12−1n+1n+1+−1n+2n+2=121n+1−1n+2=12n+1n+2≤112 。
故 t 的最大值为 112 .
(3)法2:由(2) an+1=2n+2−2n−3 ，则 Sn=an+1−n2=2n+2−n2−2n−3,n∈N∗,e
则 2n+2−3−Sn=n2+2n
所以 bn=−1n2n+2−3−Sn=−1nn2+2n=−1nnn+2=12⋅−1n1n−1n+2 。
当 n 为偶数时, Pn=12−11+13+12−14−13+15+⋯−1n−1+1n+1+1n−1n+2 。
=12−11+12+1n+1−1n+2 。
=−14+121n+1−1n+2⇒Pn+14=121n+1−1n+2∣=121n+1n+2.
所以 Pn+14=121n+1n+2≥t ,存在正偶数使之成立,
显然当 n=2 时, 121n+1n+2 有最大值 124 ,即 t≤124 ; 。
当 n 为奇数时, Pn=12−11+13+12−14−13+15+⋯+1n−1−1n+1−1n+1n+2 。
=12−11+12−1n+1+1n+2 。
=−14+12−1n+1−1n+2⇒Pn+14=121n+2−1n+1=12−1n+1n+2 。
所以 Pn+14=121n+1n+2≥t ,存在正奇数使之成立,
显然当 n=1 时, 121n+1n+2 有最大值 112 ,即 t≤112 ;,
综上,若存在 n∈N∗ ,使得 Pn+14≥t ,则 t≤112 ,即实数 t 的最大值为 112 。
19. (17 分)。
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线方程为 y=33x , 左、右焦点分别为 F1,F2,F1F2=4 ，过 F1 作互相垂直的两条直线 l1,l2,l1 交 E 的左支于 A,B 两点， l2 交 E 的两支于 C,D 两点，线段 AB,CD 的中点分别为 M,N . 记直线 AB 的斜率为 kk>0,△MNF1,△MNF2 的面积分别为 S1,S2.✓

(1)求 E 的标准方程；
(2)求证: S1S2 为定值；
(3)当 S2≥54 时，求 k 的取值范围.
【解析】(1) x23−y2=1 ;
(2)证:设 l1: y=k1x+2, l2:y=k2x+2, k1=k>0, k1k2=−1 。
y=k1x+2k13y2−x2+3=0⇒3k12−1x2+12k12x+12k12+3=0.
xM=xA+xB2=−6k123k12−1,yM=k1xM+2=−2k13k12−1 ,即 M−6k123k12−1,−2k13k12−1 ,
设 MN:y=mx+n,M 代入得: −2k13k12−1=−6mk123k12−1+n 。
整理得: 32m−nk12−2k1+n=0 ,同理: 32m−nk22−2k2+n=0 。
则 k1,k2 为方程 32m−nx2−2x+n=0 ,所以 k1k2=n32m−n=−1 。
得: n=3m ，故 MN : y=mx+3m ，恒过定点 G−3,0 。
所以 S1S2=12F1GyM−yN12F2GyM−yN=F1GF2G−15 ；。
(3) 由 (2) S2=12F2GyM−y1=522k3k22−1−2k13k12−1=52−2k13−k12−2k13k12−1=10k3+k3−k23k2−1≥54 。
因为 A,B 在左支， C,D 在左右两支，渐近线为 y=±33x ,故 k2>3 ，又 k>0 ，故 k>3 。
故 S2=10k3+kk2−33k2−1=10k+1k3k2+1k2−10=10k+1k3k+1k2−16≥54 。
3k+1k2−8k+1k−16≤0 ，解得: −43≤k+1k≤4 。
−43≤k+1k≤4k>3⇒k∈(3,2+3].。