青海省海东市平乐区2025-2026学年度第一学期期末考试高二数学试题（试卷+解析）

这是一份青海省海东市平乐区2025-2026学年度第一学期期末考试高二数学试题（试卷+解析），共24页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分 时间：120分钟）
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 13B. 14C. 16D. 20
3. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在三棱台中，，、分别为、的中点，设，，，则可用表示为（ ）
A. B.
C. D.
5. 甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底公司分红后的剩余资金为万元，则至少经过（ ）年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元？（年数取整数，参考数据：）
A. 4B. 5C. 6D. 7
6. 已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 3
8. 已知双曲线，直线与双曲线C交于M，N两点，直线与双曲线C交于P，Q两点，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若数列的通项公式为，前项和为，则（ ）
A. B. 数列中存在三项成等比数列
C. 数列是公差为1的等差数列D. 数列的前项和为
10. 在平行六面体中，，，，，下列结论正确是（ ）
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 点到平面的距离为
11. 设抛物线的焦点为，准线为，经过点的直线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则直线的倾斜角为
B. 以线段为直径的圆与相切
C. 存在直线，使得
D. 若直线交于点，则
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等比数列，，，则_____.
13. 已知，，三点，则到直线的距离为______.
14. 已知双曲线左､右焦点分别为，过的直线与的左､右两支分别交于点，若为线段的中点，且成等差数列，则双曲线的离心率的值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求的方程．
16. 已知正项数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，当时，求满足条件的最小整数．
17. 已知抛物线焦点为，过点的直线与相交于两点，且，
（1）若为线段AC的中点，
（i）求直线的斜率；
（ii）求|AC|；
（2）若点在抛物线上，满足，求取值范围．
18. 四棱锥中，底面是正方形，为正三角形，，E为的中点．
（1）证明：平面．
（2）证明：平面平面．
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
19. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，且
（1）求的方程；
（2）过且不与轴重合直线与的另一个交点为，与直线交于点，过且平行于的直线与直线交于点.
（ⅰ）若，求的面积；
（ⅱ）证明：存在定点，使得.
2025-2026学年度第一学期期末考试
高二数学试题
（满分150分 时间：120分钟）
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定方程求出直线的斜率即可求得倾斜角作答.
【详解】直线斜率，由斜率的定义得直线的倾斜角为，
所以所求倾斜角为.
故选：A
2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 13B. 14C. 16D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】由，及即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
，
所以，
，
故选：A
3. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得是以为顶角的等腰三角形，列出关于的方程，再由离心率的计算公式，即可得到结果.
【详解】由题可知，，即，是以为顶角的等腰三角形，
则有：，，，
所以，又因为，即，，
可得：，解得，故离心率为．
故选：B．
4. 如图，在三棱台中，，、分别为、的中点，设，，，则可用表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量基本定理表示向量即可.
【详解】由题意：.
故选：B
5. 甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底公司分红后的剩余资金为万元，则至少经过（ ）年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元？（年数取整数，参考数据：）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据题设条件可得.进而得到，结合题设条件可得关于的不等式，从而可得至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元.
【详解】由题意得，投入生产的启动资金共有万元，
，
，
．
则
，
而也满足该式，故.
令，所以，
因为：，，即．
所以至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元.
故选：D
6. 已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案.
【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径，
圆的圆心坐标为，半径，
所以点P到圆心C的最大距离为，
因为A为切点，所以，
所以，
所以四边形面积的最大值.
故选：A.
7. 在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，进而点的坐标可以用来表示，由题可知，时, 取得最小值，利用数量积为0，即可求出，进而可知的模长.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
因为点在线段上，点在线段上，
所以设，，
，，又，，
所以，，则，
当的长度最小时，有，，
所以，即，解得，
此时，所以，
所以的长度最小值为.
故选：C.
8. 已知双曲线，直线与双曲线C交于M，N两点，直线与双曲线C交于P，Q两点，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将代入双曲线方程可求，将代入双曲线可求，根据，得出，从而可求离心率.
【详解】将代入，得，
即，
解得，
所以，
将代入，得，即，
解得，
所以，
因为，所以，
所以，即，
所以双曲线C的离心率为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若数列的通项公式为，前项和为，则（ ）
A. B. 数列中存在三项成等比数列
C. 数列是公差为1的等差数列D. 数列的前项和为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据条件可得数列是以2为首项，2为公差的等差数列，表示可得选项A错误；根据可得选项B正确；根据可得选项C错误；利用裂项相消法可得选项D正确.
【详解】由得，，
∴数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴.
A. ，选项A错误.
B．由题意得，，
∴，即成等比数列，选项B正确.
C.∵，∴，
∴数列是公差为的等差数列，选项C错误.
D.∵，
∴数列的前项和为，选项D正确.
故选：BD.
10. 在平行六面体中，，，，，下列结论正确的是（ ）
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 点到平面的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由可判断A，由向量法可判断B，如图，设为棱中点，为棱中点，连接，连接交于点，确定四棱锥是棱长为1的正四棱锥，由线面角的定义可判断C，由等体积法可判断D.
【详解】因为，，，，
所以
可得，
所以，故A正确；
选项B：因为，
所以，
所以，，
设异面直线与所成角为，则，故B正确；
如图，设为棱中点，为棱中点，连接，
连接交于点，连接，
因为，，，，
所以，四边形为正方形，
所以，又，，
所以,又，且,
所以，又中点，则,
得到四棱锥是棱长为1的正四棱锥，
由正棱锥的性质可知平面，
则是直线与平面所成角，
可得，故C错误；
设点到平面的距离为，
由，得，
解得，即点到平面的距离为，故D正确；
故选：ABD.
11. 设抛物线的焦点为，准线为，经过点的直线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则直线的倾斜角为
B. 以线段为直径的圆与相切
C. 存在直线，使得
D. 若直线交于点，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A选项：先设直线方程与抛物线联立，得出和的值，再结合求出，进而得到直线斜率和倾斜角.对于B选项：利用抛物线定义，找到AB中点到准线距离与的关系，判断圆与准线是否相切.对于C选项：通过向量垂直性质，计算，看是否能满足.对于D选项：先求出直线AO与准线交点的纵坐标，再结合，判断与纵坐标是否相同，确定BD与准线的位置关系.
【详解】对于A选项，抛物线的焦点，准线.设直线AB的方程为，，.
联立，消去得，则，.
由抛物线的定义知，.
因为，所以，即.
又，联立可解得，则直线AB的斜率，倾斜角为或，所以A选项错误.
对于B选项，设AB的中点为，过，，分别作准线的垂线，垂足分别为.
根据抛物线的定义，，，则.
所以以线段AB为直径的圆与相切，B选项正确.
对于C选项，，，若，则.
由，，可得，则，所以不存在直线AB使得，C选项错误.
对于D选项，直线AO的方程为，令，得.
因为，所以.
又，则，所以点的纵坐标与点的纵坐标相同，即，D选项正确.
故选：BD.

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等比数列，，，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用等比数列的性质求解即可.
【详解】为等比数列，，
.
故答案为：.
13. 已知，，三点，则到直线的距离为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】因为，，所以，
得到，
所以到直线的距离为，
故答案为：.
14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左､右两支分别交于点，若为线段的中点，且成等差数列，则双曲线的离心率的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，由题意求出参数m，进而得到，从而求出，再在中由勾股定理即可求解.
【详解】连接，则由题意可知，
设，则，
因为成等差数列，所以，
所以，所以，
所以，即，
所以，即，
所以双曲线的离心率的值为.
故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用点到直线的距离公式即可求得圆心从而求得方程.
（2）分类讨论借助点到直线的距离公式求得直线方程.
【小问1详解】
设圆心坐标为，又因为圆半径为2.
由勾股定理可得圆心到直线的距离
所以.
所以圆的方程为：
【小问2详解】
由已知：
（1）当直线斜率不存在时，直线方程为，显然符合题意.
（2）当直线斜率存在时，设直线方程为，
又因为圆心到直线的距离
所以直线的方程为.
综上所述：直线为或.
16. 已知正项数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，当时，求满足条件的最小整数．
【答案】（1） （2）1013
【解析】
【分析】（1）由已知结合和与项的递推关系进行转化，结合等差数列的通项公式即可求解；
（2）利用裂项求和求出，然后解不等式即可求解.
【小问1详解】
因为，当时，，即，又，故，
当时，，因为，两式相减得，
因为，所以，所以，均是以2为公差的等差数列，
，，.
所以.
【小问2详解】
由得，，
所以，
因为，所以，解得.
所以满足条件的最小整数为1013.
17. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于两点，且，
（1）若为线段AC的中点，
（i）求直线的斜率；
（ii）求|AC|；
（2）若点在抛物线上，满足，求取值范围．
【答案】（1）（i）；（ii）6
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）由题意可求得，可求得，进而求得直线的斜率；（ii）利用求解即可；
（2）求得直线BC的斜率为，线BP的斜率为，利用已知可得，进而可得，可求得取值范围．
【小问1详解】
（i）由题意知，焦点，因为为线段AC的中点，所以，即，
所以，即，所以直线的斜率为．
（ii）由题意及（1），．
【小问2详解】
由题意知，直线BC的斜率为，
同理直线BP的斜率为，
因为，所以，所以，
又因为直线BC的方程为，所以点在直线BC上，
所以，所以，
所以，
所以，因为，所以，
当且仅当，即满足，所以取值范围为．
18. 四棱锥中，底面是正方形，为正三角形，，E为的中点．
（1）证明：平面．
（2）证明：平面平面．
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用中位线来证明线线平行，即可证线面平行；
（2）利用线线垂直去证明线面垂直，再证明线线到线面再到面面垂直即可；‘
（3）利用空间向量法来求面面角的余弦值即可.
【小问1详解】
证明：连接，交于F，连接．
因为E为的中点，F为的中点，
所以为的中位线，所以．
因为平面，平面，所以平面．
小问2详解】
证明：因为四边形为正方形，所以．
因为，，平面，所以平面．
因为平面，所以．
因为为等边三角形，且E为的中点，所以．
因为，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
【小问3详解】
过点P作，垂足为O，由是等边三角形，可知O为的中点．
又因为平面，平面，所以平面平面，
又因为平面平面，平面PDC，所以平面．
设的中点为Q，连接，则，平面．
以O为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，则，，，，．
设是平面ACE的法向量，因为，，
所以令，得．
取PC的中点M，连接DM，由中点得，所以，
由等边可知：，
因为平面，平面，所以，
又因为，所以，又因为平面，
所以平面，即为平面的一个法向量．
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
19. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，且
（1）求的方程；
（2）过且不与轴重合的直线与的另一个交点为，与直线交于点，过且平行于的直线与直线交于点.
（ⅰ）若，求的面积；
（ⅱ）证明：存在定点，使得.
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）8；（ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可.
（2）（ⅰ）由已知求出点的坐标，再借助平行关系求得，进而求出面积；（ⅱ）由（ⅰ）的信息可得平分角，当不垂直于轴时，设出直线方程，并与椭圆方程联立求出点坐标，借助二倍角的正切公式证得平分角，结合相似三角形性质推理得证.
【小问1详解】
设，而，则，
又，解得，则
所以的方程为
小问2详解】
（ⅰ）由共线，且的横坐标分别为，，
则由,可得点的横坐标为，因,则，
由对称性不妨设在第一象限，由，得，即，
设，由，解得，直线的斜率，
设直线与轴的交点为，因，可得，
又，则，又，则，
所以的面积.

（ⅱ）由（ⅰ）猜想平分角，
由，设直线的方程为，
由消去，得，
设，则可得，
则有，，
当斜率不存在时，由（ⅰ）知，，
当时，斜率存在，，，
且，则有，即，
由，得，又，
于是，设关于直线的对称点为，则，
取，则，∽，则，
又，因此∽，，
所以存在定点，使得.