湖北咸宁市2025-2026学年上学期高中期末考试高三数学试题（试卷+解析）

这是一份湖北咸宁市2025-2026学年上学期高中期末考试高三数学试题（试卷+解析），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，时长120分钟，满分150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数的虚部为（ ）
A. 3B. C. D.
2. 已知集合，则的元素个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
3. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 若函数的图象的一个对称中心的横坐标为2，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 等比数列的前项和为，，则（ ）
A. 60B. 50C. 40D. 30
6. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ）
A. B. 1C. 3D. 7
7. 已知圆上有不同的4个点到直线：的距离等于1，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，，其中，若存在两条不同的直线同时与曲线和相切，则正数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在长方体中，底面为正方形，分别是的中点，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. 平面
C. D. 平面
10. 过抛物线焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点，直线，的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 以为直径的圆与抛物线的准线相切
B.
C. 的最小值为
D. 面积的最小值为
11. 在锐角中，角的对边分别为，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的常数项是______.
13. 已知，，与的夹角为，若，则___________．
14. 不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的1个白球和3个黑球，从袋子中逐个取球，规则如下：若取到黑球，则不放回且立即停止取球；若取到白球，则放回袋中，然后向袋中加入一个除颜色外完全相同的白球，继续取球．若最多进行次取球，即当取球次数为时，立即停止取球，记随机变量为取球的次数，设的数学期望为，则___________，___________（用表示）．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表：
（1）在1200名选择甲方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取12人，再从这12名患者中随机抽取4人，设这4人中至少有1名患者效果不明显为事件，求事件的概率．
（2）根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联．
附：．
16. 已知数列中，．
（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求的前项和．
17. 如图1所示，在梯形中，⊥，，把沿折起，得到四棱锥，如图2所示．
（1）若，证明：平面．
（2）若平面平面，在同一个球面上，设该球面所在球的球心为，
（i）求球的半径；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知椭圆的离心率为，点在上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，当直线不与轴重合时，求的面积的取值范围．
19. 已知．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若对任意，恒成立，求的取值范围；
（3）证明：．
效果明显
效果不明显
合计
甲方案
1000
200
1200
乙方案
600
200
800
合计
1600
400
2000
01
0.01
0001
2.706
6.635
10828
咸宁市2025-2026学年度上学期高中期末考试
高三数学试卷
本试卷共4页，时长120分钟，满分150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数的虚部为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合复数的定义，即可求解.
【详解】因为，
所以复数的虚部为.
故选：B.
2. 已知集合，则的元素个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
分析】求出两集合，再根据交集含义即可得到答案.
【详解】，，
则，则的元素个数为3.
故选：A.
3. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据离心率可得，进而可得渐近线方程.
【详解】由题意可知：，解得，
且双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
4. 若函数的图象的一个对称中心的横坐标为2，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出正切函数的对称中心，根据题意得，结合，即可求得的最小正值.
【详解】对于，由，可得，，
即函数的图象的对称中心为，
依题意，，
解得，
因为，则时，可得的最小值为.
故选：B.
5. 等比数列的前项和为，，则（ ）
A. 60B. 50C. 40D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的性质和基本量运算求出公比，再由前项和公式计算即得.
【详解】设等比数列的公比为，因，且，
故可将看成一元二次方程的两根，解得或.
当，则，解得，故；
当，则，解得，故.
故选：C.
6. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ）
A. B. 1C. 3D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知函数的一个周期为4，结合周期性运算求解即可.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，
由题意知，即，可得，
可知函数的一个周期为4，
又因为当时，，且
所以.
故选：C.
7. 已知圆上有不同的4个点到直线：的距离等于1，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求圆心到直线的距离，由题意可知，代入运算求解即可.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，
则到直线：的距离，
若圆上有不同的4个点到直线的距离等于1，则，
即，解得，
所以实数取值范围是.
故选：D.
8. 已知函数，，其中，若存在两条不同的直线同时与曲线和相切，则正数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，将该切线方程与函数的解析式联立，可得出关于的二次方程有两个不等的实根，由可得出，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】在曲线上取点，，
故曲线在点处的切线方程为，
联立可得，
因为存在两条不同的直线同时与曲线和相切，
则关于的二次方程有两个不等的实根，
所以，可得，
所以关于的方程有两个不等的实根，
显然不满足方程，故，所以，
令，其中，则，列表如下：
且当时，；当时，，如下图所示：
由图可知，当时，即时，直线与函数的图象有两个交点，
故实数的取值范围是.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在长方体中，底面为正方形，分别是的中点，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. 平面
C. D. 平面
【答案】ABD
【解析】
【分析】设，建系并标点，利用空间向量判断空间中线面关系，进而逐项分析判断.
【详解】设，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
对于选项A：因为，
则，所以，故A正确；
对于选项B：因为，
且，则，，
且，平面，所以平面，故B正确；
对于选项C：因为，
则，所以不与垂直，故C错误；
对于选项D：因为，，
则，可得，
且平面，平面，所以平面，故D正确；
故选：ABD.
10. 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点，直线，的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 以为直径的圆与抛物线的准线相切
B.
C. 的最小值为
D. 面积的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】依题意设直线的方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，结合抛物线焦点弦性质，以及基本不等式推理计算即可逐一判断各选项.
【详解】由题意得，抛物线的焦点为，准线方程为，
显然直线的斜率存在，可设直线的方程为，
联立方程组，可得，，
设，则，
则，
对于A，由抛物线的性质，可得，
设的中点为，则，
点到准线的距离为，
故以为直径的圆与抛物线的准线相切，即A正确；
对于B，由，所以B不正确；
对于C，因为，可得
由抛物线的焦半径公式，可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；
对于D，由图知的面积
，当且仅当时等号成立，
即的面积的最小值为，故D错误.
故选：AC.
11. 在锐角中，角的对边分别为，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正弦定理、余弦定理，和差化积公式与和角公式将题设等式化简即可判断A，B项；借助于和角的正切公式和题设条件由即可证明C项；利用求导判断函数单调性即可求得最小值判断D项.
详解】对于A，由和余弦定理，可得，整理得，
即得，故A正确；
对于B，由和正弦定理，可得，则，
即，由和差化积公式可得，
因，则得，
展开得，
整理得，则有，故B错误；
对于C，因是锐角三角形，故，
则得，即，故，即C正确；
对于D，又，，
设，则，且，则，
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增.
故，
即当时，的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的展开式中的常数项是______.
【答案】240
【解析】
【分析】根据展开式的通项公式，即可求解.
【详解】中，，
当，时，常数项.
故答案为：240
13. 已知，，与的夹角为，若，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量垂直的充要条件数量积为0，转化为数量积运算求得的值，再根据，利用向量数量积的运算律求得结果.
【详解】因为，，与的夹角为，所以，
因为，
所以，即，.
所以.
故答案为：.
14. 不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的1个白球和3个黑球，从袋子中逐个取球，规则如下：若取到黑球，则不放回且立即停止取球；若取到白球，则放回袋中，然后向袋中加入一个除颜色外完全相同的白球，继续取球．若最多进行次取球，即当取球次数为时，立即停止取球，记随机变量为取球的次数，设的数学期望为，则___________，___________（用表示）．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由题知的可能取值为，再依次求各取值对应的概率，进而计算即可；的可能取值为，对于当，时，前次取白球，第次取黑球，进而计算对应概率，,前次都取白球，再计算，最后根据裂项求和求解期望即可.
【详解】的可能取值为，
所以，，，
所以；
的可能取值为，
；
当，时，前次取白球，第次取黑球，
,前次都取白球，
，
所以
因为
所以，
所以
综上，.
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表：
（1）在1200名选择甲方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取12人，再从这12名患者中随机抽取4人，设这4人中至少有1名患者效果不明显为事件，求事件的概率．
（2）根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联．
附：．
【答案】（1）
（2）治疗效果与选择甲、乙方案有关联．
【解析】
【分析】（1）先计算出抽样比，分别求出所抽取的12人中效果明显与不明显的人数，根据所求事件考虑运用对立事件的概率公式计算，结合组合数表示和计算即得；
（2）根据题意，由列联表代入的计算公式计算，再根据独立性检验内容即可得到结果.
【小问1详解】
由题意，分层随机抽样的比例为，则效果明显的患者应抽取人，效果不明显的患者应抽取人，
事件是“至少有1名患者效果不明显”，可用对立事件计算.
即表示“4人都效果明显”，则，
故
【小问2详解】
零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联，
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联．
16. 已知数列中，．
（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求的前项和．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的定义判断是等差数列，结合等差数列的通项公式求的通项公式.
（2）利用错位相减求和法求数列的前项和.
【小问1详解】
当时，，
所以，，又，所以，
故是以2为首项，3为公差等差数列.
故，所以，．
【小问2详解】
，
令，①
则，②
①-②得：，
，
故.
17. 如图1所示，在梯形中，⊥，，把沿折起，得到四棱锥，如图2所示．
（1）若，证明：平面．
（2）若平面平面，在同一个球面上，设该球面所在球的球心为，
（i）求球的半径；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）（i）5；（ii）
【解析】
【分析】（1）求出各边长，由勾股定理逆定理得⊥，证明出线面垂直得到⊥，进而证明出平面；
（2）（i）作出辅助线，得到，即为球心，球的半径为5；
（ii）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的夹角公式进行求解.
【小问1详解】
由题意得，又，
故，故⊥，
梯形中，⊥，故⊥且⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面；
【小问2详解】
（i）平面平面，交线为，
又⊥，平面，所以⊥平面，
又平面，所以⊥，⊥，
又⊥，在同一个球面上，
取的中点，在上取点，使得，连接，则，
因为，，⊥，所以四边形为矩形，
由勾股定理得，同理，，
所以，即为球心，球的半径为5；
（ii）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
故，，
，
设平面的法向量为，
则，
解得，令，则，故，
设直线与平面所成角的大小为，
则，
直线与平面所成角的正弦值大小为.
18. 已知椭圆的离心率为，点在上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，当直线不与轴重合时，求的面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）在轴上存在定点，使得为定值.
（3）
【解析】
【分析】（1）由离心率和点在椭圆上，列出等式求解即可；
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，利用韦达定理和向量的数量积求出，此时为定值；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，求出此时点也满足前面的结论，即得解.
（3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，由根与系数的关系可得，利用可求的面积的取值范围．
【小问1详解】
设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
代入椭圆的方程，可得，
设，，则，，
设，则
，
若为定值，则，解得，
此时，点的坐标为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
代入，得，
不妨设，若，
则，，
综上所述，在轴上存在定点，使得为定值.
【小问3详解】
设直线的方程为，代入椭圆方程，
得，整理得，
设，可得，
所以由（2）可得
，
，
所以，
令，则在上单调递减，
当时，，当，，
所以的面积的取值范围．
19. 已知．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围；
（3）证明：．
【答案】（1）
（2） （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对函数求导，求出函数在切点处的导数值和函数值，进而求得切线方程.
（2）先对求导，然后令，对求导，讨论当时，函数的单调性，进而求得结果.
（3）根据（2）的不等式，将不等式变形为分别令，进而证明结论.
【小问1详解】
当时，，求导得.
所以.
所以在处的切线方程为.
【小问2详解】
求导得，令，则.
当时，因为，所以，所以恒成立；
当时，因为，所以，
所以，在上单调递增，
所以，在上单调递增，，满足条件.
当时，因为，所以，
所以，所以在上单调递增，所以.
即，因为，所以设使得.
当时，，单调递减，，不满足题意.
综上，的取值范围是.
【小问3详解】
由（2）可知，当时，对任意的恒成立，
即，变形可得.
分别令，可得：.
将上述不等式累加可得：.
减
减
极小值
增
效果明显
效果不明显
合计
甲方案
1000
200
1200
乙方案
600
200
800
合计
1600
400
2000
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828