福建省宁德市2025-2026学年度第一学期期末高二质量检测数学试卷（含答案）

这是一份福建省宁德市2025-2026学年度第一学期期末高二质量检测数学试卷（含答案），文件包含数学试卷pdf、数学试卷答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
说明:
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共18 分.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共15 分
12. 20 13. 14. 11
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分.
15.解：（1）当n = 7 时，(1+ x) 7 = a0 + a1x + a2x2 + ... + a7x7 ， .1 分令x = 1 ，则(1+1) 7 = a0 + a1 + a2 + ... + a7 = 27 = 128 ， .2 分令x = 0 ，则(1 + 0)7 = a0 = 1 .3 分所以a1 + a2 + ... + a7 = 128 −1 = 127 ..5 分
（2） (1 + x)n 的展开式的通项为Tr+1 = Cxr ，系数ar = C ………… .. …………………… ..6 分
（给出通项公式或写出系数都得分）
由a1, a2, a3 依次成等差数列，得2a2 = a1 + a3 ，即 2C = C + C ……… … .7 分
代入组合数公式化简，得 …… .. ………………………… ..8 分（未列式不扣分）
整理得n2 − 9n +14 = 0 10 分 n = 2 或n = 7 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …... … … … .. …… 分又n ≥ 4,n ∈ N*
所以n = 7 …… .. . … … … … … … … … … … … … … 分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
C
D
A
C
B
9
10
11
ABD
ACD
ABD
a3 = C = 35
… … … … … … … … … … … … … 分
16. 解法一；将l: y = x +1 与圆 C 的方程联立， mx − my +1 = 0
化简得：2x2 + (2 − 2m)x + (2 − m) = 0 2 分
Δ = (2 - 2m)2 - 8(2 - m) = 4(m2 - 3)
由 Δ > 0 解得m > 或m < - . 3 分设直线与圆两交点分别为M (x1, y1 ), N(x2, y2 ) ，
由韦达定理得，x1 + x2 = m -1 , x1x ……… .. ……………………………… . ……5 分 MN = x1 - x2 = = = = … … … … … … … … … … … … … … … … ……7 分
解得m = 2 或m = -2 . … … … … … … … … … … 8 分
（2） OM ON = x1x2 + y1y2 ， 9 分其中y1y2 = (x1 +1)(x2 +1) = x1x2 + x1 + x2 +1 ，
即 OM ON = 2x1x2 + x1 + x2 +1 12 分代入韦达定理结果： m -1 +1 = 2 .
所以OM ON 的值2. … ... … …15 分解法二：
（1）圆x2 + y2 - mx - my +1 = 0 的标准方程为(x - m )2 + (y - m )2 = m2 - 1 ， 2 2 2
则圆心为C(m , m ) ，半径r =
2 2
-1
m2
2
且m2 > 2 . .. . …3 分
（m2 > 2 未写不扣分）
直线l : y = x +1 即x - y +1 = 0 ，
则圆心C 到直线l 的距离d ……………………………………… .. ……5 分根据垂径定理可得： MN = 2 =
即 ………………………………………………………… .. …………7 分所以m = 2 或m= -2 8 分（2）设点P 为MN 的中点，由向量的坐标运算可得
…9 分
MN = 2
…………………………………………………11 分
OP2 = CP2 + CO 2 = |(|( ),l2 + = ， ……………………………………………13 分
所以 … … … … … … … … … … … … … … … … … …15 分17.解：（1）设一轮比赛中，A=“ 甲投中”，B=“乙投中”，C=“‘闪电队’至少投中 1
次 ”．由于两人投篮的结果互不影响，所以 A 与 B 相互独立．由已知可得，
P ………………………………………………………………………2 分（设事件 1 分，事件关系 1 分）
因为AB, AB, AB 两两互斥
P(C) = P(AB AB AB) = P(AB) + P(AB) + P(AB)
…………………………………………………6 分（公式 2 分，带入计算 2 分）
5
因此，“闪电队”在一轮比赛中投中篮球的至少有 1 次的概率是 ．
6
（2）设 A1, A2 分别表示甲两轮投篮投中 1 次，2 次的事件，B1, B2 分别表示乙两轮投篮投中 1 次，2 次的事件，根据事件独立性，得………………………………………………7 分PP(A …………………………………………………9 分
PP(B………………………………………………11 分设 D 表示“闪电队”在两轮活动中投中篮球的总数不少于 3 次，A = A1B2 A2B1 A2B2 ， D = A1B2 A2B1 A2B2 且 A1B2, A2B1, A2B2 两两互斥，A1 与B2 ，A2 与B1 ，A2 与B2 分别相互独立.
P(D) = P(A1B2 ) + P(A2B1 ) + P(A2B2 ) = P(A1 )P(B2 ) + P(A2 )P(B1 ) + P(A2 )P(B2 )
4 1 4 1 4 1 4
= × + × + × = 9 4 9 2 9 4 9
4
因此，“闪电队”获得决赛资格的概率是 ………………………………………………15 分9
（事件关系 2 分，公式与计算 2 分）
解法二：（1）设一轮比赛中，A = “ 甲投中”，B = “乙投中”， C = “‘闪电队’投中篮球至少有 1 次 ”．由于两人投篮的结果互不影响，所以 A, B 相互独立．由已知可得，
P ………………………………………………………………………2 分“至少投中 1 次 ” 的对立事件是 “甲、乙都没投中 ”．…………………………3 分
P = 1 - P ………………………………6 分因此，“闪电队”在一轮比赛中至少投中 1 次的概率是 ．
（2）“投中总数不少于 3 次 ” 包含投中 3 次和投中4 次两种情况：投中 3 次包含第一轮投中 1 次且第二轮投中2 次，或第一轮投中2 次且第二轮投中 1 次；投中 4 次意味着两轮都投中 2 次．…………………………………………………………………………………8 分
设D1 = ”一轮投中 1 次” ， D2 = ”一轮投中 2 次”，则 D1 = AB AB ，D2 = AB ． AB与 AB 互斥
P(D1 ) = P(AB AB) = P(AB) + P(AB) = (1 - ) × + × (1 - ) = ,
P = P ，………………………………………………………11 分
设E = “投中总数不少于 3 次 ”,则E = D1D2 D2D1 D2D2,且D1D2, D2D1, D2D2 两两互
斥，第一轮与第二轮投篮结果互不影响． P(E) = P(D1D2 ) + P(D2D1 ) + P(D2D2 )
1 1 1 1 1 1 4
= × + × + × = 2 3 3 2 3 3 9
4
因此，“闪电队”获得决赛资格的概率是 ……………………………………………15 分9
a a
18. 解：（1）由an = 2an-1 + 2n (n ≥ 2)
得 2 = 2 + 1…………………………………………………………………………………1分
即bn = bn-1 +1 \l "bkmark1" 2
分
a
2
又b1 = 1 = 2 ……………………………………………………………………………………3 分
所以{bn } 是以2 为首项，1为公差的等差数列………………………………………………4 分（2）由（1）得，bn = b1 + (n -1) ×1 = n +1
n 2n
且b = an ，
b bn n +1
an 2 2
所以 = n = n ……………………………………………………………………………5 分
2 Sn = 22 + 23 + 24 +...+ 2n + 2n+1 ②…………………………………………………………7 分
则 Sn = + + +...+ ①………………………………………………………………6 分1 2 3 4 n n +1
1 1 1 1 n +1
①- ②得2 Sn = 1 + ( 22 + 23 + ... + 2n ) - 2n+1 …………………………………………………8 分
3 n + \l "bkmark2" 3
2 2n+1
= - 9 分
所以Sn ……………………………………………………………………………10 分
即 (1+ )(1 + ) ... (1 + ) ≤ λ
艹 对任意正整数n 都成立，………………………………11 分
令f 1 1 1
f (n +1) = (1 + 20 )(1 + 2 ) ... (1 + 2n ) ， ·2n+3
1
则 f (n +1) = 1 + 2n . ·、= 2n +1 f (n) 2n+3 2n . 2
y 单调递减
……………………………………………………12 分
1
= …………………………………………13 分
f (2) 3
f (1) 22
当n = 1 时， = > 1 ，所以f (2) > f (1)
当n ≥ 2 时，
当n ≥ 2 时，f (x) 单调递减…………………………………………………………………15 分
3
所以f (n) ≤ f (2) = …………………………………………………………………………16 分4
3
即 λ ≥
4
3
所以实数λ 的最小值为 ……………………………………………………………………17 分4
c 1 1
19.解：（1）由离心率得e = = ，即 c = a ①1 分
a 2 \l "bkmark3" 2
2 2 2 3 2
2 a 4b
b = a - c = 4 a … . … … … … . … … ….. ………………………………… .. ……… . …2 分椭圆经过点Q(, ) ，所以 + = 1 ② . .. ……… ... … . ……3 分
联立①②解得a2 = 4, b2 = 3 4 分所以椭圆 C 的方程为 …………………………………………………. …………5 分（2）（i）直线ln 过点P(1,0) 且斜率kn = n ，
则直线ln 的方程为y = nx - n …..………..….. 6 分设Mn (x1, y1 ), Nn (x2, y2 ),
联立
整理得(3+4n2 )x2 - 8n2x + 4n2 -12 = 0, Δ > 0
所以x1 + x x1x ……………………………….………..…….………7 分直线AMn 的方程为y = (x + 2)
令x = 4 ，解得ySn ，即Sn
同理，Tn ……………………………..……………..……………………...……8 分线段Sn Tn 的中点Rn 的坐标为
Mn, Nn 在直线y = nx - n 上所以y1 = nx1 - n, y2 = nx2 - n
yRn ………..………………….………..……9 分 = 3n 2x1x2 + x1 + x2 - 4
x1x2 + 2(x1 + x2 ) + 4
3
= -
n所以Rn
则Rn…………………….……..……………………….…………..….………10 分kORn kORn ………………………………………….…………11 分所以 ……………………..……….…………..….………12 分
（ii）线段ORn 的中点坐标为 又kORn 线段ORn 的中垂线方程为y
线段Rn Rn+1 的中垂线方程为y ……………………..…………….………….…13 分联立
解得x ……….…………………………….……………………..….…14 分f 在(0,+∞) 上单调递增………………………..……..………..….…15 分又n ∈ N*
当n = 1 时，f ………………………………………………………………….…16 分所以x0 的取值范围是 ………………………………..……………….……..….…17 分解法二（1）同解法一
（2）（i）设Mn (x1, y1 ) ，Nn (x2, y2 ) ， Sn (4, s) ，Tn (4, t) ， A(-2,0) ,
由 A、Mn 、Sn 三点共线， 即s ，同理可得t
所以Rn .. … …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… ……. …6 分设直线ln : m(x + 2) + ry = 1 ，
将点(1,0) 代入ln 方程可得m ，由 ln 的斜率为n 可得 n 即r .
则直线ln .……………………..…………………………….……..….…7 分
椭圆 C 方程： ，化简得3(x + 2)2 -12(x + 2) + 4y2 = 0 . … .. … . . . . . …8 分则 2 -12y2 = 0 即- y + 4y2 = 0 .
则 ， …………… ……… .. … . ………9 分所以Rn .
则Rn ……………… ……. …… .. ……………………… . ………… .. … . ……… 10 分下同解法一