重庆市南岸区2025-2026学年高一上学期1月期末考试试题 数学(含答案）

这是一份重庆市南岸区2025-2026学年高一上学期1月期末考试试题 数学(含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”的充分必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知正数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知扇形的圆心角为，圆心角所对的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，，则（ ）
A．7B．C．D．
7．已知，若，则（ ）
A．B．C．1D．3
8．已知不等式对任意锐角均成立，则m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增
D．直线是图象的一条对称轴
11．已知函数，的定义域均为，且，．若函数为偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于对称
B．函数的图象关于对称
C．
D．若函数有m个零点，则的零点之和为m
三、填空题
12．若幂函数是偶函数，则整数m的取值可以是 （写一个即可）.
13．函数的单调递增区间是 .
14．已知函数，且满足，则实数a的值为 .
四、解答题
15．已知，.
(1)求；
(2)求.
16．已知函数.
(1)若，求的值；
(2)若函数，，讨论在上的最小值，
17．已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数（），对，有且仅有一个，使得成立，求的取值范围.
18．设是定义在闭区间上的函数，若函数的值域为的子集，则称m为函数的限增阈值.
(1)求函数在上的限增阈值；
(2)已知函数在上的限增阈值为1，求的取值范围；
(3)已知函数在上存在限增阈值n（），求的最小值与此时对应的参数的取值范围.
19．已知函数（，）的图象关于点对称，相邻两个对称轴之间距离为.
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间上有n个零点，分别记为，求的值；
(3)将函数的图象向右平移个单位，然后将所得曲线上各点的横坐标变为原来的，将纵坐标变为原来的，得到.证明：函数有且仅有一个零点且.
参考答案
1．B
【详解】集合，，则，
故选：B
2．A
【详解】若，即，因为函数是增函数，所以，
所以“”是“”的必要条件；
若，因为函数是增函数，所以，即，
所以“”是“”的充分条件；
综上，“”的充分必要条件是“”
故选：A.
3．C
【详解】由题意可得，，，
故，
故选：C
4．D
【详解】，
，
，
，即，解得，
当时，取等号，故D正确．
故选：D．
5．A
【详解】弧长为的弧所对的圆心角为，则扇形的半径，因此该扇形的面积为.
故 选：A
6．A
【详解】由题意可知，.
故选：A
7．B
【详解】设，则，
则，故为奇函数，
由题得，所以，
则，所以.
故选：B.
8．D
【详解】因为，所以不等式等价于
，即，
令，为锐角，，
不等式转化为对任意均成立，
令，开口向上，对称轴为，
当，即时，函数在上单调递增，
只需，解得，此时；
当，即时，对称轴在区间内，
函数在处取得最小值，
要使，需，解得，此时；
当，即时，函数在上单调递减，
只需，此时；
综上所述，的取值范围为
故选：D.
9．ACD
【详解】因为，由，，所以，故A正确；
由，，所以成立，故C正确；
因为，，由糖水不等式得故D正确；
取，则，，故B错误.
故选：ACD
10．BC
【详解】对于A：，A错误；
对于B：的最小正周期，B正确；
对于C：的单调递增，则，即（），
所以在上单调递增，C正确；
对于D：的对称轴为，即为（），
所以不是其对称轴，D错误.
故选：BC.
11．ABD
【详解】函数为偶函数，，
把替换为，则，关于对称，故A正确；
，把替换为得，
，把替换为得，
，故，
函数的图象关于对称，故B正确；
，把替换为得，
代入，可得，
关于点对称，也即，
，，把替换为得，
，周期，
，关于对称，，
，则，解得，
令，则，
，令，则，
，解得，
令，则，解得，
，
，
，
，故C错误；
，把替换为得，
，，
函数的图象关于点对称，
图象也关于点对称，
设有m个零点，共有对关于对称，
的零点之和为，故D正确．
故选：ABD．
12．0
【详解】要使幂函数为偶函数，需满足
,
则
取 ，
此时，函数为是偶函数。
故答案为：0
13．
【详解】因为，
所以对勾函数的单调递增区间是.
故答案为：
14．
【详解】显然，
若，即，此时，
而，显然，不合题意，舍去；
若，则，
若且，即且时，且不等于，
显然此时，不合题意，舍去；
若，即时，，
由得，
即，，，，
解得，满足要求.
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）由，即，
解得或，
因为，所以，则；
（2），
又，故.
16．(1)62
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，即有，
则；
（2）函数，
令，因为，
所以，当且仅当时取等号，
则，当且仅当时取等号，
则，
①当时，即，，即，
②当时，即，，即.
综上所述：当时，；当时，.
17．(1)（）；
(2)
【详解】（1）
，
由，得，
所以的单调递增区间为（）.
（2），
当，，
由题意则有，解得.
所以的取值范围为.
18．(1)
(2)
(3)；
【详解】（1）解：由函数，可得函数的值域为，
可得，则有，解得，
所以函数的限增阈值为.
（2）解：由函数
因为函数为单调递增函数，可得为递增函数，
所以函数在上单调递增，且，
所以函数的值域为，
又因为函数在上的限增阈值为，所以，
则满足，解得，所以的取值范围为.
（3）解：令，且为单调递增函数，则
设，则在上单调递增，
因为函数为单调递增函数，所以函数在上单调递增，
所以的值域为，
则，
所以，可得，
所以，所以，解得，
所以最小的，且当时，，
所以的最小值为，此时参数的取值范围为.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意，得，则，
因为关于点对称，所以，
得，所以；
（2）若，则，
则有或，即或（），
因为，所以，，，，；
所以有；
（3）函数的图象向右平移个单位，得到，
再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的，得到，
再将纵坐标变为原来的，得到，
令，
①当时，则在上单调递增，
因为，，
所以由零点存在性定理可知，存在零点，
②当时，，
则，，所以，无零点，
③当时，，，所以，无零点，
综上，存在唯一的，满足，
所以，
因为在上单调递减，且，
所以.