湖北省云学联盟2026届高三上学期期末联考数学试卷含答案

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一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 复数 4+i1−i 的虚部为
A. 3 B. -3 C. 3i D. −3i
2. 已知集合 A={xx∣≤2},B=x∈Z x2−2x−30,b>0 的离心率为 174 ,则 C 的渐近线方程为
A. y=±xB. y=±12x C. y=±13x D. y=±14x
4. 若函数 y=tanωx+π6ω>0 的图象的一个对称中心的横坐标为 2,则 ω 的最小值为
A. π12 B. π6 C. π4 D. π3
5. 等比数列 an 的前 n 和为 Sn,a1+a4=28,a2⋅a3=27 ,则 S4=
A. 60 B. 50 C. 40 D. 30
6. 已知 fx 是定义在 R 上的偶函数,且 f4−x=fx ,当 0≤x≤2 时, fx=2x−1 ,则 f2026=
A. -1 B. 1 C. 3 D. 7
7. 已知圆 C:x−32+y2=9 上有不同的 4 个点到直线 l:y=kx 的距离等于 1,则实数 k 的取值范围是
A. −35,35 B. −355,355 C. −25,25 D. −255,255
8. 已知函数 fx=ex,gx=12ax2 ,其中 a>0 ,若存在两条不同的直线同时与曲线 y=fx 和 y=gx 相切,则正数 a 的取值范围是
A. 0,e22 B. e22,+∞ C. 0,e D. e,+∞
二、多选题: 本题共3小题, 每小题6分, 共18分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分.
9. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为正方形， E ， F 分别是 AB1 ， BC1 的中点，则下列结论一定成立的是
A. EF⊥AA1 B. EF⊥ 平面 BDD1B1
C. AE⊥CF D. AC// 平面 BEF
10. 过抛物线 C:x2=y4 的焦点 F 作直线与抛物线 C 交于 A,B 两点， O 为坐标原点，直线 OA ， OB 的斜率分别为 k1,k2 ,则下列说法正确的是
A. 以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 B. k1⋅k2=−2
C. AF+2BF 的最小值为 3+2216 D. ΔOAB 面积的最小值为 116
11. 在锐角 △ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 3a2−3b2=c2 ,则下列结论正确的是
A. c=3bcsA B. tanA=3tanB
C. tanB>22 D. tanAtanBtanC 的最小值为 964
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. x2+2x6 展开式中常数项为_____.
13. 已知 a=1 ， b=2 ， a 与 b 的夹角为 π3 ，若 2a+kb⊥ak∈R ，则 a−kb= _____.
14. 不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的 1 个白球和 3 个黑球, 从袋子中逐个取球, 规则如下:若取到黑球，则不放回且立即停止取球；若取到白球，则放回袋中，然后向袋中加入一个除颜色外完全相同的白球,继续取球. 若最多进行 n 次取球 n∈N∗,n≥2 ,即当取球次数为 n 时,立即停止取球,记随机变量 Xn 为取球的次数,设 Xn 的数学期望为 EXn ,则 EX3= _____， EXn= _____(用 n 表示).
四、解答题:本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取 2000 名得到如下列联表:
(1)在 1200 名选择甲方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取 12 人，再从这 12 名患者中随机抽取 4 人，设这 4 人中至少有 1 名患者效果不明显为事件 A ，求事件 A 的概率 PA .
(2)根据小概率值 α=0.001 的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联.
附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d .
16. (15 分) 已知数列 an 中， a1=4 ， an=an−1+2n−1+3 ， n≥2，n∈N∗ .
(1)证明数列 an−2n 是等差数列，并求 an 的通项公式:
(2)设 bn=an2n−1 ，求 bn 的前 n 项和 Tn .
17. (15 分)如图 1 所示，在梯形 A1BCD 中， BC=6,A1D=12,A1E=BE=4 ，把 △A1BE 沿 BE 折起， 得到四棱锥 A−BCDE ，如图 2 所示. BEL 平面 AED

图1

图2
(1)若 AD=43 ，证明: AD⊥ 平面 ABE .
(2)若平面 ABE⊥ 平面 BCDE,A,B,C,D 在同一个球面上，设该球面所在球的球心为 O ，
( i ) 求球 O 的半径 r ;
(ii) 求直线 OC 与平面 ABC 所成角的正弦值.
18. (17分)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 22 ，点 0,2 在 C 上.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)已知动直线 l 过曲线 C 的左焦点 F ，且与椭圆 C 分别交于 P,Q 两点，试问 x 轴上是否存在定点 R ,使得 RP⋅RQ 为定值? 若存在,求出该定点坐标; 若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的条件下，当直线 l 不与 x 轴重合时，求 △RPQ 的面积 S 的取值范围.
19. (17 分) 已知 fx=x+1lnx+1+asinx .
(1)当 a=1 时，求 fx 在 0,f0 处的切线方程；
(2)若对任意的 x∈0,π ， fx>0 恒成立，求 a 的取值范围；
(3)证明: 12sin1+23sin12+⋯+nn+1sin1n