2025年广东省湛江市中考一模数学试题（解析版）-A4

这是一份2025年广东省湛江市中考一模数学试题（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，解答题二，解答题三，九年级所抽学生竞赛成绩统计表等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共 10 题，每小题3分，共 30分）
1. 化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正数与负数，绝对值的计算；熟练掌握相关的知识点是解题的关键．求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的砝码．
【详解】解：通过求4个砝码的绝对值得：
；
的绝对值最小，所以这个砝码是最接近标准的砝码；
故选：B．
2. 一个正多边形的每个外角度数都等于，则这个多边形的边数为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形的外角和等于，根据正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，外角和等于，即可得出答案．
【详解】解：∵多边形的外角和等于，且这个每个外角都等于，
∴它边数为.
故选：C．
3. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（ ）
A. 极氪B. 小鹏
C 理想D. 蔚来
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，不中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．
4. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由三视图判定几何体的形状，熟练掌握相关概念是解题关键．
根据主视图、左视图、俯视图的概念即可求解．
【详解】解：根据某几何体的三视图可知这个几何体是：
故选：．
5. 如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键要明确：树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，画树状图，共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：将开关依次编号为，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能发光的结果有4种，
使得小灯泡能发光的概率为，
故选：C．
6. 如图，中，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
由，则，根据等边对等角得，所以，然后通过圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
7. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，掌握运算法则是解题的关键．
8. “数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．
根据抛物线只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于，即可解答．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为，
拋物线只经过两个象限，
，
，
故选：A．
9. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
，
故选：B．
10. 如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直线翻折至，与反比例函数的图象交于点．若，为的中点，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，折叠性质，解直角三角形，反比例函数的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
过点作轴于点，由等腰三角形的性质可得，，由折叠性质可知：，从而可证明三点共线，设，则，，所以，，再求出，代入，得出的值即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
∵是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，，
由折叠性质可知：，
∴，，
∴，
∴三点共线，
设，
∴，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵点在的图象，
∴，
解得：（负值已舍去），
∴，
故选：．
二、填空题（共5题，每小题3分，共15分）
11. 若二次根式有意义，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，则，
故答案为：．
12. ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种人工智能技术驱动的自然语言处理工具，ChatGPT的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有多达1750亿个模型参数，数据1750亿用科学记数法表示为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，由此进行求解即可得到答案．熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
【详解】解：亿．
故答案为：．
13. 分解因式：a3－a=___________
【答案】
【解析】
【详解】解：a3－a
=a(a2-1)
=
故答案为：
14. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程的解可得答案．
【详解】解：∵直线与直线相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴关于x的方程的解是，
故答案为：．
15. 座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背AE的长度为，当椅背与椅面的夹角从调整到时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约__________．（结果精确至．参考数据：）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质以及勾股定理．通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理进行计算即可．
【详解】解：如图，过点，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点、点，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
即椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约．
故答案为：．
三、解答题（共3题，每小题7分，共21分）
16. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的除法运算，先进行分式的混合运算，再代入即可求解．
详解】解：
，
当时，
原式．
17. 如图，在中，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（）条件下，垂直平分线交于点，连接，若，求的长．
【答案】（1）作图见解析；
（2）的长为．
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，垂直平分线的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据尺规作图的方法步骤即可求解；
（）由垂直平分线的性质可得，则有，再求出，设，则，然后通过勾股定理得 ，代入求值即可．
【小问1详解】
解：如图，作线段的垂直平分线，交于点，
∴点即为所求；
【小问2详解】
解：由作图可知，线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
∴的长为．
18. 为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗 文化知识竞赛 ”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20 名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用 x 表示，共分为四组：A.，B.，C.，D．），得到如下不完全的信息：
八年级抽取的竞赛成绩在 B 组中的数据为：89 ，88 ，86 ，86 ，86 ，86．
九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99 ，98 ，96 ，96 ，94 ，92 ，92 ，90 ，90 ，89 ，88 ，88 ，88 ，82， 81 ，77 ，77 ，76 ，73 ，66．
请根据以上信息完成下列问题：
（1）填空： ， ，并补全八年级的成绩条形统计图；
（2）规定在 90分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有 1600名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？
【答案】（1）87，88；补全八年级的成绩条形统计图见解析
（2）八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有 680 人
【解析】
【分析】此题考查条形统计图，求中位数，众数，
（1）根据中位数和众数定义解答，求出D组人数并补充条形统计图；
（2）用优秀人数除以样本数据，再乘以总人数即可
【小问1详解】
解：根据条形统计图和 B 组数据可知，第 10 个数为 88 ，第 11 个数为 86，
∴八年级的中位数为
∴；
由九年级取的所有学生竞赛成绩数据可知，出现最多的数据为88， ∴九年级的众数为 88，
∴．
故答案为：87 ，88；
∵八年级抽查的学生人数为 20 人， ∴（人），
∴D 组人数为 2 人，
补全八年级的成绩条形统计图如图：
【小问2详解】
解： （人）
答：八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有 680 人．
四、解答题二（共3题，每小题9分，共27分）
19. 为响应国家节能减排的号召，广东新农村建设把主要村道道路上安装了太阳能路灯．如图（a）所示是行人在某村村道路灯下的影子，图（b）是该村村道上安装的两盏高度不同的太阳能路灯的示意图，其中电线杆的高度为，电线杆的高度为，的长为．身高的聪聪同学（）在两盏路灯之间走动，他在 B，D 两盏路灯下形成的影长分别记作和．（A，E，C，M，N在同一直线上，电线杆和人均垂直于地面）
（1）请在图（b）中画出聪聪同学在路灯D照射下形成的影长；
（2）当聪聪同学站在两盏路灯的中间（即E为的中点）时，请求出影长；
（3）若影长端点N处有一个竹竿，它在路灯B 的照射下其影长端点恰好与点M重合，同时影长端点M处也有一个竹竿，它在路灯D的照射下其影长端点恰好与点N重合．（竹竿，均垂直于地面）请回答下列问题：
①设的长为，则的长为 _______（请用含有x的代数式来表示）；
②请判断的值是否为定值？若是，请求出此定值 ；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）①或；②是，
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．
（1）连接并延长交与点N即可．
（2）先得出，，由相似三角形的性质得出，，分别求出和，最后根据代入计算即可．
（3）①根据题意画出图形， 设，由（2）可知，，由全等三角形的性质得出，，再根据，进而可得出，再证明，即可由全等三角形的性质得出．
②方法一：根据，直接计算即可．
方法二：证明，，由相似三角形的性质得出，，进而可得出，然后求解即可．
【小问1详解】
解：图中线段为所求．
【小问2详解】
解：当米时，
∵，
∴，，
，，
即，，
解得：，，
∴．
【小问3详解】
解：①根据题意画出图形：
设，
由（2）可知，，
，，
即，，
解得：，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
即，
整理得：或，
②方法一：同①可求得，
∵，
∴，
，
，
，
．
方法二：
∵，
∴，，
∴，，
∴，
，
，
，
∴．
20. 如图，内接于，为直径，作交于点E，且．

（1）求证：直线是的切线．
（2）如果，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，可得，然后推导，即可解题；
（2）先根据正弦得到，即可求出，然后根据解题即可．
【小问1详解】
证明：连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴为的切线；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，等腰三角形的性质，解直角三角形，掌握切线的判定和性质是解题的关键．
21. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元
（2）购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，
（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w万元，则该公司购进辆B型汽车，利用总利润=每辆A型汽车的销售利润型汽车的购进数量+每辆B型汽车的销售利润型汽车的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【小问1详解】
解：设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元；
【小问2详解】
解：设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w万元，则该公司购进辆B型汽车，根据题意得：
，
即，
∵，
∴w随m的增大而减小，
又∵m，均为正整数，
∴m的最小值为2，
∴当时，w取得最大值，最大值为（元），此时（辆）．
答：购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元．
五、解答题三（22题13分，23题14分，共27分）
22. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．

（1）求直线及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
【答案】（1）直线的解析式为；抛物线解析式为
（2）存在，点M的坐标为或 或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据对称轴，，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；②当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；
（3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线的对称轴，，
∴，
将代入直线，得，
解得，
∴直线的解析式为；
将代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
存在点，
∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点．
∴当时，，
∴，
①当时，
设直线的解析式为，将点A坐标代入，
得，
解得，
∴直线解析式为，
解方程组，
得或，
∴点M的坐标为；
②当时，
设直线的解析式为，将代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点M的坐标为 或
综上，点M的坐标为或 或；
【小问3详解】
如图，在上取点，使，连接，
∵，
∴，
∵，、
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．
23. 在正方形中，，点是边上的动点，连接．
（1）【探索发现】如图，过点作，求证：；
（2）【类比探究】如图，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积；
（3）【拓展延伸】如图，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，请直接写出线段的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2），的面积为或，的面积为；
（3）的最小值为．
【解析】
【分析】（）由正方形的性质得，，再通过同角的余角相等证出 由相似三角形的判定可得出结论；
（）分两种情况当时， 作于点， 证明，得出，求出则可得出答案；当时，作于点，求出可得出答案；
（）点在以的中点为圆心的圆上，延长交的延长线于点，证明，得出，得出，则最小，最大，即，求出可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形正方形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
【小问2详解】
解： 如图，作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
当为等腰三角形时，只有以下两种可能：
当时，作于点，如图所示，
设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得（负值舍去），
∴，为等腰直角三角形，
∴，
∴此时点三点共线，
∴；
当时，作于点，如图所示，
设，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
解得
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
综上所述，，的面积为或，的面积为；
【小问3详解】
解：的最小值为，
∵，
∴点在以的中点为圆心的圆上，延长交的延长线于点，
设，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∴
若最小，即最小，则最大，当最大时，与圆相切， 即，
设，
∴，
∴，
∴，解得或(舍)，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，圆的切线的性质等知识，掌握相知识点的应用是解题的关键．
八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
八年级
86.6
m
86
九年级
86.6
88.5
n