广东省汕头市2026届高三上学期1月教学质量监测数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省汕头市2026届高三上学期1月教学质量监测数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．复数的共轭复数是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则下列结论错误的是（ ）
A．解释变量和响应变量线性相关B．相关系数
C．决定系数D．残差平方和等于1
4．的展开式的中间一项是（ ）
A．20B．C．D．
5．已知是异面直线，设平面满足，且，则这样的（ ）
A．不存在B．有且仅有1个
C．有且仅有2个D．有无数多个
6．已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知是椭圆上一点，且在轴上方，分别是椭圆的左､右焦点，直线的斜率为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．设满足，则的值为（ ）
A．0B．1C．D．
二、多选题
9．设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量的坐标为
D．
10．已知函数，函数是奇函数，则（ ）
A．
B．有两个零点
C．不等式的解集为
D．曲线在点处的切线与曲线有三个公共点
11．在正三棱柱中，分别是侧棱上的点，，则（ ）
A．平面与平面的夹角的余弦值为
B．直线与平面所成角的正切值为
C．在侧棱上存在唯一的一点，使
D．若棱柱的外接球半径，则
三、填空题
12．一家水果店的店长为了解本店水果的日销售情况，记录了过去30天苹果的日销售量（单位：），结果如下：
83，96，107，91，70，75，94，80，80，100，75，99，117，89，74，
94，84，85，101，87，93，85，107，99，55，97，86，84，85，104．
一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求（在100天中，大约有80天可以满足顾客的需求），则每天应该进 千克的苹果．
13．如图，以双曲线上一点为圆心的圆与轴恰相切于双曲线的一个焦点，且与轴交于、两点.若为正三角形，则该双曲线的离心率为 .
14．把1到37这37个整数排成一个数列，其前项和为，已知，且对于任意的，都有能被整除，则 ．
四、解答题
15．据调查，某校学生的人近视，而该校有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率为.
(1)从该校任选一名学生，记事件“该生每天玩手机超过1小时”，“该生近视”，试判断与是否相互独立，并说明理由；
(2)现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率.
(3)根据上述结果，能得出什么结论？
16．已知函数.
(1)求在上的单调递增区间；
(2)设分别是内角的对边，若，成等比数列，求证：成等比数列，并求公比的取值范围.
17．已知抛物线，过的焦点作直线交于两点，直线（为的顶点）交的准线于点.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
18．已知矩形中，为边的中点，将沿直线翻折成，如图所示.
(1)证明：不存在某个位置，使；
(2)设点为线段的中点，
①判断线段的长是否为定值，并说明理由；
②当平面与平面的夹角为时，求异面直线与所成角的余弦值.
19．某些函数如和的图象具有性质：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.这个性质可表示为：设是定义在区间上的函数，则对于上的任意与任意，总有成立.
(1)设，求证：；
(2)设，求证：；
(3)某同学研究发现，若函数在上存在导函数，则上述性质的充要条件为在上递增，求证：，其中均为正数.
参考答案
1．A
【详解】由，其共轭复数为.
故选：A
2．C
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以.
故选：C.
3．D
【详解】直线对应的函数为一次函数，故解释变量和响应变量是一次函数关系，故A正确.
因为样本点都落在直线上，所以样本相关系数，所以，所以B 正确。
决定系数和残差平方和都能反映模型的拟合程度，故决定系数，残差平方和为0，故C正确，D错误
故选：D
4．B
【详解】由题意展开共有7项，中间一项是第4项，
所以.
故选：B
5．B
【详解】在上任取一点作的平行线，因，则经过的平面只有1个，设为.
则，又，则，从而，即这样的平面有且只有一个.
故选：B
6．C
【详解】因为，所以，
又，所以，则.
故选：C
7．D
【详解】椭圆化成标准形式为，
是椭圆左、右焦点，且，
，若，则，解得，
的面积.
故选：D
8．A
【详解】令，得：，
令，得：，
所以，
从而得：.
故选：A
9．ACD
【详解】由题可得，，，，
对于A，
，故A正确；
对于B，
，故B错误；
对于C，在上的投影向量为，由B分析可得，
又，
则，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD
10．BC
【详解】
，
函数是奇函数，
，解得，
，故A错误；
令，即，解得或，
所以有两个不同的零点，故B正确；
解不等式，即，移项得，
即，
或，
解得或，
所以，不等式的解集为，故C正确；
，则，
则切线方程为，即，
联立，得，
即，解得，
所以切线与曲线只有一个公共点，故D错误．
故选：BC．
11．ACD
【详解】取的中点，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，
则，
所以，
对于A，易知平面的一个法向量为，
，
设平面的法向量为，
所以，
令，则，
所以，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为，故A正确；
对于B：易知是平面的一个法向量，
又，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以，
所以，故B错误；
对于C，假设在侧棱上存在点，使，
设，又，所以，
所以，又，解得，
所以侧棱上存在唯一的一点，使，故C正确；
对于D，棱柱的外接球半径，
则，即，所以，
则，
，
所以，故D正确；
故选：ACD
12．99.5
【详解】过去30天苹果的日销售量按从低到高排列：
55，70，74，75，75，80，80，83，84，84，85，85，85，86，87，89，91，93，94，94，96，97，99，99，100，101，104，107，107，117
，
故第80百分位数：
故答案为：99.5
13．
【详解】因为与轴相切于双曲线的焦点，所以，，点到轴的距离为.
从而，正的边长为，边上的高为.
由.
解得，即双曲线的离心率为.
14．
【详解】，任意的，都有能被整除，
能被整除，
是质数，或，
又数列是到的排列，，所以，故，
能被整除，，
也能被整除，，
的正因数有，且，，
．
故答案为：．
15．(1)与不相互独立
(2)
(3)长时间玩手机与近视存在一定的关联.
【详解】（1）与不相互独立，理由如下：
已知，，
所以；
因为；
所以，
所以与不相互独立.
（2）设为 “每天玩手机不超过 1 小时”，则
所以
即，所以.
（3）从计算结果可以看出：每天玩手机超过1小时的学生近视率50%明显高于不超过1小时的学生近视率37.5%，说明长时间玩手机与近视存在一定的关联.
16．(1)
(2)证明见解析，公比的取值范围是.
【详解】（1）
.
由，可得.
因为，当时，；当时，；
所以在上的单调递增区间为.
（2）由（1）知，
则，，.
因，成等比数列，则，
即，也即，
由正弦定理得，所以成等比数列，因，则，
由余弦定理，可得，
因为，所以，即.
解得，所以公比的取值范围是.
17．(1)证明见解析
(2)9
【详解】（1）抛物线的焦点为 ，准线 ，顶点
设
因为直线过点；
所以，即
即，
因为，所以；
直线 AO 的方程为，代入准线，得；
因为，所以，所以，
所以点与的纵坐标相同，
因此 BP方程为，与准线垂直，
所以.
（2）令，则，则；
所以
所以；
当且仅当时取等，有最小值9.
18．(1)证明见解析
(2)①线段的长是定值，为，理由见解析.②
【详解】（1）假设存在某个位置，使.
因为在矩形中，为的中点，.
所以，则都是等腰直角三角形，
所以，那么，即.
若，且平面，可得平面，
又因为平面，所以，这与是由翻折而成，
矛盾，所以不存在某个位置，使.
（2）①线段的长是否为定值，理由如下：
取的中点，连接，因为为线段的中点，为的中点，
所以，且，又因为，所以.
在矩形中，为的中点，，则.
所以，因为，所以.
在中，，根据余弦定理得，
所以，为定值.
②取中点为，连接.
因为是等腰直角三角形，所以，.
而，所以，
所以为平面与平面的夹角，
因为平面与平面的夹角为，所以.
在中，根据余弦定理得.
在中，根据余弦定理得.
取的中点为，连接.
在中，根据余弦定理得.
因为，所以.
所以四边形为平行四边形，所以.
所以异面直线与所成角即为与所成的角，即.
由①知，所以.
在中，根据余弦定理得.
故异面直线与所成角的余弦值为.
19．(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)证明过程见解析
【详解】（1）因为，
所以，
，
所以
，
因为，所以，即，
所以.
（2）要证，即成立，
只需证（因为），即成立，
令，则只需证成立.
整理得.
令，，则.
令，解得.
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以在处取得最小值，所以，故原不等式成立.
所以.
（3）因为当，时，，当且仅当时取等号，
所以若证，只需证成立，
同时取自然对数得，即证成立，
也即证成立.
令，，则，令，则.
因为，所以，故在上单调递增，
所以具有题干中的性质.
所以，即，故原不等式成立.