广东省汕头市2026届高中毕业班1月教学质量监测数学试卷含解析（word版+pdf版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.复数 的共轭复数是
A. B. C. D.
【答案】A
【题源】必修第二册复习参考题 7 第 1 题 (2)
【解析】.
2.已知 ,则
A. B. C. D.
【答案】C
【题源】必修第一册习题 4.4 第 12 题
【解析】因为 ,所以 .
3.如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为 0 的直线上, 则下列结论错误的是
A. 解释变量和响应变量线性相关 B. 相关系数
C. 决定系数 D. 残差平方和等于 1
【答案】D
【题源】选择性必修第三册习题 8.2 第 1 题
【解析】残差平方和等于 0.
4. 的展开式的中间一项是
A. 20 B. -20C. D.
【答案】B
【题源】选择性必修第三册习题 6.3 第 5 题(3)
【解析】.
5.已知 是异面直线,设平面 满足 ,且 ,则这样的
A. 不存在 B. 有且仅有 1 个 C. 有且仅有 2 个 D. 有无数多个
【答案】B
【题源】必修第二册习题 8.5 第 6 题
【解析】过 上任一点作 ,则 确定的平面就是 ,且由作法知, 唯一确定.
6.已知 ,则 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【题源】必修第一册习题 2.1 第 5 题
【解析】因为 ,所以 ,从而 .
7.已知 是椭圆 上一点，且在 轴上方， 、 分别是椭圆的左、右焦点，直线 的斜率为 ，则 的面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【题源】选择性必修第一册复习参考题 3 第 7 题
【解析】由题设得: ,所以 ,
设 ,则 ,由余弦定理得: ,解得 ,
所以 的面积为 .
8.设 满足 , 则 的值为
A. 0 B. 1 C. -1 D. -2
【答案】A
【解析】令 得 ,即 ,
令 得 ,即 ,
所以 ,故 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.设 是平面内相交的两条数轴, 分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量,且它们的夹角为 . 若向量 ,则把有序实数对 叫做 在坐标系 中的坐标,即 . 设 ,则
A.
B.
C. 在 上的投影向量的坐标为
D.
【答案】ACD
【题源】必修第二册习题 6.3 第 15 题
【解析】依题意, ,则
,
,
在 上的投影向量为
,所以 正确, B 错误.
10.已知函数 ,函数 是奇函数,则
A.
B. 有两个零点
C. 不等式 的解集为
D. 曲线 在点 处的切线与曲线 有三个公共点
【答案】BC
【题源】必修第一册习题 3.2 第 13 题
【解析】由 是奇函数,可知三次曲线 的对称中心为 , 由 得, ,即 ,从而 ,所以 . 故 A 错误; 由 知, 有两个零点 ,故 B 正确;
由 得, 或 ,结合曲线 的图象, 可知 C 正确;
由导数的几何意义与曲线 的图象及对称性,可直观得出曲线 在对称中心处的切线与曲线仅有一个公共点,即对称中心,所以 错误.
11.在正三棱柱 中， 、 分别是侧棱 、 上的点， ，则
A. 平面 与平面 的夹角的余弦值为
B. 直线 与平面 所成角的正切值为
C. 在侧棱 上存在唯一的一点 ,使
D. 若棱柱 的外接球半径 ，则
【答案】ACD
【题源】选择性必修第一册复习参考题 1 第 9 题
【解析】如图,分别延长 与 交于点 ,则 为 中点,
易知 中, ,则在鳖臑 中,
二面角 的平面角为 ,
直线 与平面 所成角为 ,
所以 ， ，故 A 正确，B 错误；
不妨设 ，设 ，
则 ， 所以 ，故 C 正确；
设 为外接球球心，则正四面体 的高为 ，所以 ，
从而 ,而 ,故 D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.某水果店店长为了解本店苹果的日销售情况, 记录了过去 30 天苹果的日销售量 (单位: kg)，结果如下:
店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能 80% 地满足顾客的需求(即 100 天中，约有 80 天可以满足顾客需求)，则每天估计应该进_____ 苹果.
【答案】99.5
【题源】必修第二册复习参考题 9 第 9 题
【解析】80%地满足顾客的需求(即 100 天中, 约有 80 天可以满足顾客需求)相当于估计苹果日销售量的 80% 分位数,由 30 × 80% = 24 , 可知 80% 分位数为第 24 个数 99 和第 25 个数 100 的平均数 99.5 , 故每天估计应该进 99.5k g 苹果 .
13.以双曲线 上一点 为圆心的圆与 轴相切于双曲线的一个焦点 ，且与 轴相交于 、 两点，若 为正三角形，则双曲线的离心率是_______.
【答案】
【题源】选择性必修第二册习题 2.5 第 4 题
【解析】由对称性,不妨设 ,则 ,即 , 从而 ,解得 .
14.把 1 到 37 这 37 个整数排成一个数列 ，其前 项和为 ，已知 ，且对于任意的 ， ，都有 能被 整除，则 ________.
【答案】19
【解析】显然 ,由 整除 知, 整除 ,故 . 事实上,该数列为37,1,2,20,3,21,4,22,5,23,6,24,7,25,8,26,9,29,10, 28,11,29,12,30,13,31,14,32,15,33,16,34,17,35,18,36,19 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.据调查，某校学生大约 40% 的人近视，而该校大约有 20% 的学生每天玩手机超过 1 小时， 这些人的近视率约为 50%.
(1)从该校任选一名学生，记事件 “该生每天玩手机超过 1 小时”， “该生近视”， 试判断 与 是否相互独立，并说明理由；
(2)现从每天玩手机不超过 1 小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率.
(3) 根据上述结果, 能得出什么结论?
【题源】选择性必修第三册复习参考题 7 第 7 题
【解析】(1)依题意， ， ，
所以， ，
而 ,
从而 ,即 与 不相互独立.
(2)由全概率公式得, ,
所以， ，
解得: ,
即从每天玩手机不超过 1 小时的学生中任意调查一名学生, 他近视的概率是 0.375 .
(3)长时间使用手机可能影响视力 .
16.已知函数 .
(1)求 在 上的单调递增区间；
(2)设 分别是 内角 的对边,若 ， 成等比数列,求证: 成等比数列,并求公比 的取值范围.
【题源】必修第一册复习参考题 5 第 20 题
【解析】(1)因为 ,
令 ,得 ,
所以, 在 上的单调递增区间为 .
( 2 )由题设得， ， ， 成等比数列，即 ， 由正弦定理得: ，即 ， ， 成等比数列，
从而,最大边只能是 或 ,
进而 ,即 ,
所以公比 的取值范围 .
17.已知抛物线 ,过 的焦点 作直线交 于 两点,直线 为 的顶点) 交 的准线 于点 .
(1)求证: ；
(2)求 的最小值.
【题源】选择性必修第一册 3.3.2 例 5
【解析】(1)设直线 的方程为 ， ， ， ，
由 得: ,
所以 ,即 ,
又直线 的方程为 ,从而 ,
故 .
(2)由(1)知， ， ，
所以, ,
当且仅当 时， 的最小值为 9 .
18.已知矩形 中， ， 为边 的中点，将 沿直线 翻折成 ，如图所示.
(1)证明:不存在某个位置，使 ；
(2)设点 为线段 的中点，
①判断线段 的长是否为定值，并说明理由；
②当平面 与平面 的夹角 为 时，求异面直线 与 所成角 的余弦值.
【题源】必修第二册习题 8.6 第 18 题
【解析】(1) [法一] ,
所以, 与 不垂直,即不存在某个位置,使 .
[法 2]若 ,则
因为矩形 中, ,且 ,所以 平面 ,
从而由 平面 知, ,这与 矛盾.
综上,不存在某个位置,使 .
(2)①
[法 1] 取 中点 ,连结 交 于点 ,连结 ,
则 ,所以 平面 ,
在平面 内作直线 ,
以 为原点,分别以直线 为 轴建立空间直角坐标系, 如图所示,
设 ,则 ,
所以, ,
从而 ,即线段 的长为定值.
[法 2] 如图,分别延长 与 交于点 ,连结 ,
因为 ,所以 为 中点，
从而 ，
又 中,由余弦定理得:
,
所以线段 的长为 ,是定值.
[法 3] 取 中点 ,连结 ,
则 ,
从而 ,
中,由余弦定理得:
所以线段 的长为 ,是定值.
②由①知， 为二面角 的平面角，且 ，
所以， ，
故当 时, 或 ,此时 .
19.某些函数如 和 的图象具有性质: 曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方. 这个性质可表示为: 设 是定义在区间 上的函数,则对于 上的任意 与任意 ,总有 成立.
(1)设 ，求证: ；
(2)设 ，求证: ；
(3)某同学研究发现，若函数 在 上存在导函数 ，则上述性质的充要条件为 在 上递增,求证: ,其中 均为正数.
【题源】必修第一册复习参考题 3 第 8 题
【解析】(1)要证 ,
只须证 ,
只须证 ,
上式显然成立, 故原不等式成立.
(2)要证 ，
只须证 ,
令 ,只须证 ,
设 ,则 ,
由 ,得 ,
列表得:
所以 ,故原不等式成立.
(3)因为 ，只须证 ，
只须证 ,即 ，(*)
令 ,则 在 上递增,
由题设知, ,
即 成立,故原不等式成立 .(0,1)
1
(1,+∞)
-
0
+
↘
极小值
↗