四川省德阳市2023~2024学年高二下学期期末数学试卷[附解析]

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A．−1,0,1,2B．1C．2D．1,2
【答案】D
【知识点】交集及其运算；简单函数定义域
【解析】【解答】解：集合A=−1,0,1,2，集合B=xy=x−1=xx≥1，
则集合A∩B=1,2.
故答案为：D.
【分析】先利用二次根式有意义化简集合B，再利用交集的概念即可求解.
2．（2024高二下·德阳期末）平面向量a=1,2，b=m,−2，若a⊥a−b，则实数m=（ ）
A．−9B．9C．−7D．7
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：已知a⊥a−b，则a⋅a−b=0,，
a=1,2,a−b=1−m,4，即1−m+2×4=0，m=9
故答案为：B
【分析】利用向量的数量积的坐标运算公式结合向量垂直数量积为0即可求解.
3．（2024高二下·德阳期末）已知二项式1+ax5的展开式中x3的系数是−80，则实数a的值为（ ）
A．−4B．4C．−2D．2
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：已知二项式1+ax5的展开式中x3的系数是−80，
则C53a3=−80，解得a=−2.
故答案为：C.
【分析】利用二项式定理的展开式列出方程即可求解.
4．（2024高二下·德阳期末）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布N78,42．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：若η~Nμ,σ2，则Pμ−α0，解得x∈0,e2，
x∈0,e2，f'x>0,fx单调递增，所以00，
所以fμ在4,9上单调递增，从而fμ∈916,169，
即k∈34,43∪−43,−34，
所以直线l在x轴上的截距−1k的取值范围为34,43∪−43,−34.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用焦点到准线可得出p=2，即可求解；
（2）先设直线方程y=kx+1，再联立方程可得x2−4kx−4=0，利用向量的线性关系可得k2=14μ+1u−12，最后利用导函数正负结合单调性得出参数范围即可求解.
（1）由题意得：p2=1，所以p=2，从而抛物线C的方程为：x2=4y.
（2）由（1）知F0,1，且l必然存在斜率，故可设l：y=kx+1，Ax1,y1，Bx2,y2.
由y=kx+1x2=4y得：x2−4kx−4=0，Δ=16k2+16>0，
则x1+x2=4kx1x2=−4，由AF=μFB得：−x1=μx2，
从而k2=14μ+1u−12，
令fμ=14μ+1μ−12，由于μ∈4,9，
则f'μ=141−1μ2=μ+1μ−14μ2>0，
所以fμ在4,9上单调递增，从而fμ∈916,169，
即k∈34,43∪−43,−34，
所以直线l在x轴上的截距−1k的取值范围为34,43∪−43,−34.
22．（2024高二下·德阳期末）已知在△ABC中，Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3，记△ABC的面积为S．
（1）请利用所学过的相关知识证明：S=12x1−x3y2−y3−x2−x3y1−y3；
（2）已知O为坐标原点，曲线fx=x3−3x+λ在点Pm,fmm≠0处的切线与该曲线的另一个交点为Q，若存在m∈1,2，使得△OPQ的面积为32，求实数λ的取值范围.
【答案】（1）证明：由题意得：csC=CA⋅CBCACB，C∈0,π.
所以sinC=1−cs2C=CA2CB2−CA⋅CB2CA2CB2
=CA2CB2−CA⋅CB2CACB，
从而S=12CACB×CA2CB2−CA⋅CB2CACB=12CA2CB2−CA⋅CB2，
又CA=x1−x3,y1−y3，CB=x2−x3,y2−y3，
所以CA2=x1−x32+y1−y32，CB2=x2−x32+y2−y32，
CA⋅CB=x1−x3x2−x3+y1−y3y2−y3，
所以CA2⋅CB2−CA⋅CB2
=x1−x32y2−y32+x2−x32y1−y32−2x1−x3y2−y3x2−x3y1−y3
=x1−x3y2−y3−x2−x3y1−y32，
从而S=12x1−x3y2−y3−x2−x3y1−y3；
（2）解：f'x=3x2−1，所以切线的斜率为f'm=3m2−1，
从而切线方程为y−m2−3m+λ=3m2−1x−m，
由y−m3−3m+λ=3m2−1x−my=x3−3x+λ，
得：x−m2x+2m=0，
所以Q−2m,−8m3+6m+λ，又Pm,m3−3m+λ，
所以△OPQ的面积S=12m−8m3+6m+λ−−2mm3−3m+λ=12−6m4+3mλ，
于是问题转化为关于m的方程12−6m4+3mλ=32在1,2上有解，
即λ=2m4+1m=2m3+1m在1,2上有解或λ=2m4−1m=2m3−1m在1,2上有解，
当λ=2m3+1m时，λ'=6m2−1m2>0m∈1,2，
所以λ=2m3+1m在1,2上单调递增，故而λ∈3,332，
当λ=2m3−1m时，λ'=6m2+1m2>0，
所以λ=2m3−1m在1,2上单调递增，故而λ∈1,312，
综上得λ的取值范围为1,332.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；直线与圆锥曲线的综合问题；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先利用面积公式可得S=12CACB×CA2CB2−CA⋅CB2CACB结合向量的夹角公式计算证明即可；
（2）先求出切线方程可得y−m2−3m+λ=3m2−1x−m再结合面积公式S=12−6m4+3mλ，最后求出导函数判断函数的单调性即可求出参数范围即可求解.
（1）由题意得：csC=CA⋅CBCACB，C∈0,π.
所以sinC=1−cs2C=CA2CB2−CA⋅CB2CA2CB2
=CA2CB2−CA⋅CB2CACB，
从而S=12CACB×CA2CB2−CA⋅CB2CACB=12CA2CB2−CA⋅CB2，
又CA=x1−x3,y1−y3，CB=x2−x3,y2−y3，
所以CA2=x1−x32+y1−y32，CB2=x2−x32+y2−y32，
CA⋅CB=x1−x3x2−x3+y1−y3y2−y3，
所以CA2⋅CB2−CA⋅CB2
=x1−x32y2−y32+x2−x32y1−y32−2x1−x3y2−y3x2−x3y1−y3
=x1−x3y2−y3−x2−x3y1−y32，
从而S=12x1−x3y2−y3−x2−x3y1−y3；
（2）f'x=3x2−1，所以切线的斜率为f'm=3m2−1，
从而切线方程为y−m2−3m+λ=3m2−1x−m，
由y−m3−3m+λ=3m2−1x−my=x3−3x+λ，
得：x−m2x+2m=0，
所以Q−2m,−8m3+6m+λ，又Pm,m3−3m+λ，
所以△OPQ的面积S=12m−8m3+6m+λ−−2mm3−3m+λ=12−6m4+3mλ，
于是问题转化为关于m的方程12−6m4+3mλ=32在1,2上有解，
即λ=2m4+1m=2m3+1m在1,2上有解或λ=2m4−1m=2m3−1m在1,2上有解，
当λ=2m3+1m时，λ'=6m2−1m2>0m∈1,2，
所以λ=2m3+1m在1,2上单调递增，故而λ∈3,332，
当λ=2m3−1m时，λ'=6m2+1m2>0，
所以λ=2m3−1m在1,2上单调递增，故而λ∈1,312，
综上得λ的取值范围为1,332.温度x（℃）
6
8
10
病毒数量y（万个）
30
22
20
X
0
1
2
P
110
35
310

满意
不满意
男
60
40
女
40
10
α
0.150
0.100
0.050
0.025
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
ξ
0
1
2
3
P
827
49
29
127
ξ
0
1
2
3
P
827
49
29
127